Álgebra de Lie parabólica

En álgebra , un álgebra de Lie parabólica es un subálgebra de un álgebra de Lie semisimple que satisface una de las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$contiene una subálgebra resoluble máxima (una subálgebra de Borel ) de ; ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El complemento ortogonal con respecto a la forma Killing de en es el nilradical de . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Estas condiciones son equivalentes en un campo algebraicamente cerrado de característica cero , como el de los números complejos . Si el campo no es algebraicamente cerrado, entonces la primera condición se reemplaza por el supuesto de que ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$contiene una subálgebra de Borel de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$

¿Dónde está el cierre algebraico de ? ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Ejemplos

Para el álgebra de Lie lineal general , un subálgebra parabólica es el estabilizador de una bandera parcial de , es decir, una secuencia de subespacios lineales anidados. Para una bandera completa, el estabilizador da una subálgebra de Borel. Para un solo subespacio lineal , se obtiene un subálgebra parabólica máxima , y el espacio de posibles elecciones es el Grassmanniano . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}\subset \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}$

En general, para un álgebra de Lie simple compleja , las subálgebras parabólicas están en biyección con subconjuntos de raíces simples , es decir, subconjuntos de los nodos del diagrama de Dynkin . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Véase también

• Variedad de banderas generalizadas
• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión

Bibliografía

• Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (2016) [1989], La transformada de Penrose: su interacción con la teoría de la representación, Dover, ISBN 9780486816623
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur la Classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann", Amer. J. Matemáticas. , 79 (1): 121–138, doi :10.2307/2372388, JSTOR  2372388.
• Humphreys, J. (1972), Grupos algebraicos lineales , Springer, ISBN 978-0-387-90108-4