En teoría de grupos , una palabra métrica en un grupo discreto es una forma de medir la distancia entre dos elementos cualesquiera . Como sugiere el nombre, la palabra métrica es una métrica , que asigna a dos elementos cualesquiera , una distancia que mide la eficiencia con la que su diferencia puede expresarse como una palabra cuyas letras provienen de un conjunto generador del grupo. La palabra métrica en G está muy relacionada con el gráfico de Cayley de G : la palabra métrica mide la longitud del camino más corto en el gráfico de Cayley entre dos elementos de G.
Primero se debe elegir un grupo electrógeno para antes de especificar una palabra métrica en. Las diferentes opciones de un grupo electrógeno normalmente producirán diferentes métricas de palabras. Si bien esto parece al principio una debilidad en el concepto de la palabra métrica, puede aprovecharse para demostrar teoremas sobre propiedades geométricas de grupos, como se hace en la teoría geométrica de grupos .
El grupo de números enteros es generado por el conjunto {-1,+1}. El número entero -3 se puede expresar como -1-1-1+1-1, una palabra de longitud 5 en estos generadores. Pero la palabra que expresa -3 con mayor eficacia es -1-1-1, una palabra de longitud 3. La distancia entre 0 y -3 en la palabra métrica es, por tanto, igual a 3. De manera más general, la distancia entre dos números enteros m y n en la palabra métrica es igual a | m - n |, porque la palabra más corta que representa la diferencia m - n tiene una longitud igual a | metro - norte |.
Para un ejemplo más ilustrativo, los elementos del grupo pueden considerarse como vectores en el plano cartesiano con coeficientes enteros. El grupo es generado por los vectores unitarios estándar y sus inversos . El gráfico de Cayley es la llamada geometría del taxi . Se puede representar en el plano como una cuadrícula infinita de calles de una ciudad, donde cada línea horizontal y vertical con coordenadas enteras es una calle, y cada punto de se encuentra en la intersección de una calle horizontal y una vertical. Cada segmento horizontal entre dos vértices representa el vector generador o , dependiendo de si el segmento se recorre hacia adelante o hacia atrás, y cada segmento vertical representa o . Un automóvil que parte y recorre las calles puede hacer el viaje por muchas rutas diferentes. Pero no importa qué ruta se tome, el coche debe recorrer al menos |1 - (-2)| = 3 bloques horizontales y al menos |2 - 4| = 2 bloques verticales, para una distancia total de viaje de al menos 3 + 2 = 5. Si el auto se sale de su camino el viaje puede ser más largo, pero la distancia mínima recorrida por el auto, igual en valor a la palabra métrica entre y por tanto es igual a 5.
En general, dados dos elementos y de , la distancia entre y en la palabra métrica es igual a .
Sea G un grupo, sea S un conjunto generador para G y supongamos que S está cerrado bajo la operación inversa en G. Una palabra sobre el conjunto S es simplemente una secuencia finita cuyas entradas son elementos de S. El número entero L se llama longitud de la palabra . Usando la operación de grupo en G , las entradas de una palabra se pueden multiplicar en orden, recordando que las entradas son elementos de G. El resultado de esta multiplicación es un elemento del grupo G , que se llama evaluación de la palabra w . Como caso especial, la palabra vacía tiene longitud cero y su evaluación es el elemento de identidad de G.
Dado un elemento g de G , su palabra norma | gramo | con respecto al conjunto generador S se define como la longitud más corta de una palabra sobre S cuya evaluación es igual a g . Dados dos elementos g , h en G , la distancia d(g,h) en la palabra métrica con respecto a S se define como . De manera equivalente, d ( g , h ) es la longitud más corta de una palabra w sobre S tal que .
La palabra métrica en G satisface los axiomas de una métrica , y no es difícil demostrarlo. La prueba del axioma de simetría d( g , h ) = d( h , g ) para una métrica utiliza el supuesto de que el conjunto generador S está cerrado en inversa.
La palabra métrica tiene una definición equivalente formulada en términos más geométricos utilizando el gráfico de Cayley de G con respecto al conjunto generador S. Cuando a cada borde del gráfico de Cayley se le asigna una métrica de longitud 1, la distancia entre dos elementos del grupo g , h en G es igual a la longitud más corta de un camino en el gráfico de Cayley desde el vértice g hasta el vértice h .
La palabra métrica en G también se puede definir sin asumir que el conjunto generador S está cerrado en inversa. Para hacer esto, primero simetrice S , reemplazándolo por un conjunto generador más grande que consta tanto de S como de su inverso . Luego defina la palabra métrica con respecto a S como la palabra métrica con respecto a la simetrización de S.
Supongamos que F es el grupo libre en el conjunto de dos elementos . Se dice que una palabra w en el conjunto generador simétrico está reducida si las letras no aparecen una al lado de la otra en w , ni tampoco las letras . Cada elemento está representado por una palabra reducida única, y esta palabra reducida es la palabra más corta que representa g . Por ejemplo, dado que la palabra se reduce y tiene una longitud de 2, la palabra norma de es igual a 2, por lo que la distancia en la palabra norma entre y es igual a 2. Esto se puede visualizar en términos del gráfico de Cayley, donde el camino más corto entre b y a tiene longitud 2.
El grupo G actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda: la acción de cada uno lleva a cada uno a . Esta acción es una isometría de la palabra métrica. La prueba es simple: la distancia entre y es igual a , que es igual a la distancia entre y .
En general, la palabra métrica en un grupo G no es única, porque diferentes conjuntos generadores simétricos dan diferentes palabras métricas. Sin embargo, las métricas de palabras generadas finitamente son únicas hasta la equivalencia bilipschitz : si son dos conjuntos generadores finitos y simétricos para G con las métricas de palabras correspondientes , entonces hay una constante tal que para cualquier ,
Esta constante K es solo el máximo de las normas verbales de elementos de y las normas verbales de elementos de . Esta prueba también es sencilla: cualquier palabra sobre S se puede convertir mediante sustitución en una palabra sobre T , expandiendo la longitud de la palabra en un factor de como máximo K , y de manera similar para convertir palabras sobre T en palabras sobre S .
La equivalencia bilipschitz de métricas de palabras implica a su vez que la tasa de crecimiento de un grupo generado finitamente es un invariante de isomorfismo bien definido del grupo, independiente de la elección de un conjunto generador finito. Esto implica, a su vez, que varias propiedades del crecimiento, como el crecimiento polinomial, el grado de crecimiento polinomial y el crecimiento exponencial, son invariantes de isomorfismo de grupos. Este tema se analiza con más detalle en el artículo sobre la tasa de crecimiento de un grupo.
En la teoría geométrica de grupos , los grupos se estudian por sus acciones sobre espacios métricos. Un principio que generaliza la invariancia bilipschitz de las métricas de palabras dice que cualquier métrica de palabras generada finitamente en G es cuasi-isométrica a cualquier espacio métrico geodésico adecuado sobre el cual G actúa , propiamente discontinua y cocopactamente . Los espacios métricos sobre los que G actúa de esta manera se denominan espacios modelo para G.
A su vez , se deduce que cualquier propiedad cuasi isométricamente invariante satisfecha por la palabra métrica de G o por cualquier espacio modelo de G es un isomorfismo invariante de G. La teoría de grupos geométricos moderna es en gran parte el estudio de invariantes de cuasiisometría.
