Grupo de faroleros

En matemáticas , el grupo farolero L de la teoría de grupos es el producto de corona restringida . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\wr \mathbf {Z} }$

Introducción

El nombre del grupo proviene de considerar al grupo como si actuara sobre una secuencia doblemente infinita de farolas, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada, y un farolero parado en alguna farola. Una descripción equivalente para esto, llamada el grupo base de es ${\displaystyle \dots ,l_{-2},l_{-1},l_{0},l_{1},l_{2},l_{3},\dots }$ ${\displaystyle l_{k}.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle B=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }\mathbf {Z} _{2},}$

una suma directa infinita de copias del grupo cíclico donde corresponde a una luz apagada y corresponde a una luz encendida, y la suma directa se utiliza para garantizar que solo haya un número finito de luces encendidas a la vez. Un elemento de da la posición del farolero y para codificar qué bombillas están encendidas. ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle B}$

Existen dos generadores para el grupo: el generador t incrementa k , de modo que el farolero pasa a la siguiente lámpara ( t  ^-1 decrementa k ), mientras que el generador a hace que el estado de la lámpara l _k cambie (de apagada a encendida o de encendida a apagada). La multiplicación de grupos se realiza "siguiendo" estas operaciones.

Podemos suponer que sólo un número finito de lámparas están encendidas en cualquier momento, ya que la acción de cualquier elemento de L cambia, como máximo, un número finito de lámparas. Sin embargo, el número de lámparas encendidas es ilimitado. La acción del grupo es, por tanto, similar a la acción de una máquina de Turing en dos sentidos. La máquina de Turing tiene una memoria ilimitada, pero sólo ha utilizado una cantidad finita de memoria en un momento dado. Además, la cabeza de la máquina de Turing es análoga a la del farolero.

Presentación

La presentación estándar para el grupo de faroleros surge de la estructura del producto de corona.

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},[t^{m}at^{-m},t^{n}at^{-n}],m,n\in \mathbb {Z} \rangle }$, que puede simplificarse a

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},(at^{n}at^{-n})^{2},n\in \mathbb {Z} \rangle }$.

La tasa de crecimiento del grupo, la función que describe el número de elementos del grupo que se pueden formar como producto de generadores para cada , se define generalmente con respecto a estos dos generadores y . Esta es exponencial, con la proporción áurea como base, la misma tasa que el crecimiento de los números de Fibonacci . ^[1] En algunos casos la tasa de crecimiento se estudia con respecto a dos generadores diferentes y , cambiando el logaritmo de la tasa de crecimiento como máximo por un factor de 2. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle at}$

Esta presentación no es finita. Tiene infinitas relaciones, como lo especifican los índices y . De hecho, no existe una presentación finita para el grupo de los faroleros, es decir, no se presenta finitamente . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Representación matricial

Permitiendo ser una variable formal, el grupo de faroleros es isomorfo al grupo de matrices ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t^{k}&p\\0&1\end{pmatrix}},}$

donde y abarca todos los polinomios en ^[2] ${\displaystyle k\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}[t,t^{-1}].}$

Utilizando las presentaciones anteriores, el isomorfismo viene dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\mapsto {\begin{pmatrix}t&0\\0&1\end{pmatrix}}\\a&\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Generalizaciones

También se pueden definir grupos de faroleros , con , de modo que las "lámparas" puedan tener más que solo la opción de "apagado" y "encendido". El grupo clásico de faroleros se recupera cuando ${\displaystyle L_{n}=\mathbf {Z} _{n}\wr \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n=2.}$

Referencias

1. Bartholdi, Laurent (2017). "Crecimiento de grupos y productos de corona". En Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (eds.). Grupos, gráficos y paseos aleatorios: artículos seleccionados del taller celebrado en Cortona, del 2 al 6 de junio de 2014. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 436. Cambridge Univ. Press. págs. 1–76. arXiv : 1512.07044 . ISBN 978-1-316-60440-3.Señor 3644003  .Véase el apéndice C.2.
2. Clay, Matt; Margalit, Dan , eds. (11 de julio de 2017). Office Hours with a Geometric Group Theorist . Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press. ISBN 9780691158662.

Lectura adicional

• Nekrashevych, Volodymyr (2005). Grupos autosimilares . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 117. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/surv/117. ISBN. 0-8218-3831-8. Sr.  2162164.