Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico

En la teoría geométrica de grupos , el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico , demostrado por primera vez por Mikhail Gromov , ^[1] caracteriza los grupos de crecimiento polinómico finitamente generados , como aquellos grupos que tienen subgrupos nilpotentes de índice finito .

Declaración

La tasa de crecimiento de un grupo es una noción bien definida a partir del análisis asintótico . Decir que un grupo generado finitamente tiene crecimiento polinómico significa que el número de elementos de longitud como máximo n (en relación con un conjunto generador simétrico) está limitado anteriormente por una función polinómica p ( n ). El orden de crecimiento es entonces el menor grado de cualquier función polinómica p .

Un grupo nilpotente G es un grupo con una serie central inferior que termina en el subgrupo de identidad.

El teorema de Gromov establece que un grupo generado finitamente tiene crecimiento polinómico si y sólo si tiene un subgrupo nilpotente de índice finito.

Tasas de crecimiento de grupos nilpotentes.

Existe una vasta literatura sobre las tasas de crecimiento que conduce al teorema de Gromov. Un resultado anterior de Joseph A. Wolf ^[2] mostró que si G es un grupo nilpotente generado finitamente, entonces el grupo tiene crecimiento polinómico. Yves Guivarc'h ^[3] e independientemente Hyman Bass ^[4] (con diferentes pruebas) calcularon el orden exacto del crecimiento polinomial. Sea G un grupo nilpotente finitamente generado con series centrales inferiores

${\displaystyle G=G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots .}$

En particular, el grupo cociente G _k / G _{k +1} es un grupo abeliano generado finitamente.

La fórmula de Bass-Guivarc'h establece que el orden de crecimiento polinomial de G es

${\displaystyle d(G)=\sum _{k\geq 1}k\operatorname {rank} (G_{k}/G_{k+1})}$

dónde:

rango denota el rango de un grupo abeliano , es decir, el mayor número de elementos independientes y libres de torsión del grupo abeliano.

En particular, el teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarc'h implican que el orden de crecimiento polinomial de un grupo generado finitamente es siempre un número entero o infinito (excluyendo, por ejemplo, potencias fraccionarias).

Otra buena aplicación del teorema de Gromov y la fórmula de Bass-Guivarca es la rigidez cuasi isométrica de grupos abelianos generados finitamente: cualquier grupo que sea cuasi isométrico para un grupo abeliano generado finitamente contiene un grupo abeliano libre de índice finito.

Pruebas del teorema de Gromov

Para demostrar este teorema, Gromov introdujo una convergencia para espacios métricos. Esta convergencia, ahora llamada convergencia de Gromov-Hausdorff , es actualmente muy utilizada en geometría.

Bruce Kleiner encontró una demostración relativamente simple del teorema . ^[5] Más tarde, Terence Tao y Yehuda Shalom modificaron la prueba de Kleiner para hacer una prueba esencialmente elemental, así como una versión del teorema con límites explícitos. ^{[6] [7]} El teorema de Gromov también se deriva de la clasificación de grupos aproximados obtenida por Breuillard, Green y Tao. Ozawa ofrece una prueba simple y concisa basada en métodos analíticos funcionales . ^[8]

La conjetura de la brecha

Más allá del teorema de Gromov, uno puede preguntarse si existe una brecha en el espectro de crecimiento para grupos finitamente generados justo por encima del crecimiento polinómico, separando grupos virtualmente nilpotentes de otros. Formalmente, esto significa que existiría una función tal que un grupo generado finitamente sea prácticamente nilpotente si y sólo si su función de crecimiento es . Shalom y Tao obtuvieron tal teorema, con una función explícita para algunos . Todos los grupos conocidos con crecimiento intermedio (es decir, tanto superpolinomiales como subexponenciales) son esencialmente generalizaciones del grupo de Grigorchuk y tienen funciones de crecimiento más rápidas; entonces todos los grupos conocidos tienen un crecimiento más rápido que , con , donde está la raíz real del polinomio . ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle O(f(n))}$ ${\displaystyle n^{\log \log(n)^{c}}}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle e^{n^{\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha =\log(2)/\log(2/\eta )\approx 0.767}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-2}$

Se conjetura que el verdadero límite inferior de las tasas de crecimiento de los grupos con crecimiento intermedio es . Esto se conoce como la conjetura de Gap . ^[10] ${\displaystyle e^{\sqrt {n}}}$

Referencias

1. Gromov, Mikhail (1981). "Grupos de mapas polinómicos de crecimiento y expansión". Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas . 53 . Con un apéndice de Jacques Tetas : 53–73. doi :10.1007/BF02698687. SEÑOR  0623534. S2CID  121512559.
2. Lobo, Joseph A. (1968). "Crecimiento de grupos solubles generados finitamente y curvatura de variedades de Riemann". Revista de Geometría Diferencial . 2 (4): 421–446. doi : 10.4310/jdg/1214428658 . SEÑOR  0248688.
3. Guivarc'h, Yves (1973). "Croissance polinomiale et périodes des fonctions harmoniques". Toro. Soc. Matemáticas. Francia (en francés). 101 : 333–379. doi : 10.24033/bsmf.1764 . SEÑOR  0369608.
4. Bajo, Hyman (1972). "El grado de crecimiento polinómico de grupos nilpotentes generados finitamente". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . Serie 3. 25 (4): 603–614. doi :10.1112/plms/s3-25.4.603. SEÑOR  0379672.
5. Kleiner, Bruce (2010). "Una nueva prueba del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 23 (3): 815–829. arXiv : 0710.4593 . Código Bib : 2010JAMS...23..815K. doi :10.1090/S0894-0347-09-00658-4. SEÑOR  2629989. S2CID  328337.
6. Tao, Terence (18 de febrero de 2010). "Una prueba del teorema de Gromov". Qué hay de nuevo .
7. Shalom, Yehudá; Tao, Terence (2010). "Una versión finita del teorema de crecimiento polinómico de Gromov". Geom. Función. Anal. 20 (6): 1502-1547. arXiv : 0910.4148 . doi :10.1007/s00039-010-0096-1. SEÑOR  2739001. S2CID  115182677.
8. Ozawa, Narutaka (2018). "Una prueba de análisis funcional del teorema de crecimiento polinómico de Gromov". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 51 (3): 549–556. arXiv : 1510.04223 . doi :10.24033/asens.2360. SEÑOR  3831031. S2CID  119278398.
9. Erschler, Anna; Zheng, Tianyi (2018). "Crecimiento de grupos periódicos de Grigorchuk". arXiv : 1802.09077 .
10. Grigorchuk, Rostislav I. (1991). "Sobre el crecimiento en la teoría de grupos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I, II (Kioto, 1990) . Matemáticas. Soc. Japón. págs. 325–338.