Variedad casi compleja

Colector liso

En matemáticas , una variedad casi compleja es una variedad suave dotada de una estructura compleja lineal suave en cada espacio tangente . Toda variedad compleja es una variedad casi compleja, pero existen variedades casi complejas que no son variedades complejas. Las estructuras casi complejas tienen importantes aplicaciones en la geometría simpléctica .

El concepto se debe a Charles Ehresmann y Heinz Hopf en la década de 1940. ^[1]

Definición formal

Sea M una variedad suave. Una estructura casi compleja J en M es una estructura compleja lineal (es decir, una función lineal que eleva al cuadrado a −1) en cada espacio tangente de la variedad, que varía suavemente en la variedad. En otras palabras, tenemos un cuerpo tensorial suave J de grado (1, 1) tal que cuando se lo considera como un fibrado vectorial isomorfismo en el fibrado tangente . Una variedad equipada con una estructura casi compleja se denomina variedad casi compleja . ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$

Si M admite una estructura casi compleja, debe ser de dimensión par. Esto se puede ver de la siguiente manera. Supóngase que M es n -dimensional y sea J  : TM → TM una estructura casi compleja. Si J ² = −1 entonces (det J ) ² = (−1) ⁿ . Pero si M es una variedad real, entonces det J es un número real – por lo tanto n debe ser par si M tiene una estructura casi compleja. Se puede demostrar que también debe ser orientable .

Un ejercicio sencillo de álgebra lineal muestra que cualquier espacio vectorial de dimensión par admite una estructura compleja lineal. Por lo tanto, una variedad de dimensión par siempre admite un tensor de rango (1, 1) puntualmente (que es simplemente una transformación lineal en cada espacio tangente) tal que J _p ² = −1 en cada punto p . Solo cuando este tensor local puede ser parcheado para ser definido globalmente, la estructura compleja lineal puntualmente produce una estructura casi compleja, que entonces está determinada de manera única. La posibilidad de este parcheo, y por lo tanto la existencia de una estructura casi compleja en una variedad M es equivalente a una reducción del grupo de estructura del fibrado tangente de GL(2 n , R ) a GL( n , C ) . La cuestión de la existencia es entonces una cuestión topológica puramente algebraica y se entiende bastante bien.

Ejemplos

Para cada entero n, el espacio plano R ^{2 n} admite una estructura casi compleja. Un ejemplo de dicha estructura casi compleja es (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): para i impar , para i par . ${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}}$ ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}}$

Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son S ² y S ⁶ (Borel & Serre (1953)). En particular, a S ⁴ no se le puede dar una estructura casi compleja (Ehresmann y Hopf). En el caso de S ² , la estructura casi compleja proviene de una estructura compleja honesta en la esfera de Riemann . La 6-esfera, S ⁶ , cuando se considera como el conjunto de octoniones imaginarios de norma unitaria , hereda una estructura casi compleja de la multiplicación de octoniones; la cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^[2]

Topología diferencial de variedades casi complejas

Así como una estructura compleja en un espacio vectorial V permite una descomposición de V ^C en V ⁺ y V ⁻ (los espacios propios de J correspondientes a + i y − i , respectivamente), una estructura casi compleja en M permite una descomposición del fibrado tangente complejizado TM ^C (que es el fibrado vectorial de espacios tangentes complejizados en cada punto) en TM ⁺ y TM ⁻ . Una sección de TM ⁺ se denomina cuerpo vectorial de tipo (1, 0), mientras que una sección de TM ⁻ es un cuerpo vectorial de tipo (0, 1). Por lo tanto, J corresponde a la multiplicación por i en los cuerpos vectoriales (1, 0) del fibrado tangente complejizado, y a la multiplicación por − i en los cuerpos vectoriales (0, 1).

De la misma manera que construimos formas diferenciales a partir de potencias exteriores del fibrado cotangente , podemos construir potencias exteriores del fibrado cotangente complejizado (que es canónicamente isomorfo al fibrado de espacios duales del fibrado tangente complejizado). La estructura casi compleja induce la descomposición de cada espacio de r -formas

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

En otras palabras, cada Ω ^r ( M ) ^C admite una descomposición en una suma de Ω ^{( p ,  q )} ( M ), con r  =  p  +  q .

Como en cualquier suma directa , existe una proyección canónica π _{p , q} de Ω ^r ( M ) ^C a Ω ^{( p , q )} . También tenemos la derivada exterior d que asigna Ω ^r ( M ) ^C a Ω ^{r +1} ( M ) ^C . Por lo tanto, podemos usar la estructura casi compleja para refinar la acción de la derivada exterior a las formas de tipo definido

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

de modo que es un mapa que incrementa la parte holomorfa del tipo en uno (toma formas de tipo ( p ,  q ) en formas de tipo ( p +1, q )), y es un mapa que incrementa la parte antiholomórfica del tipo en uno. Estos operadores se denominan operadores de Dolbeault . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

Dado que la suma de todas las proyecciones debe ser el mapa identidad , observamos que la derivada exterior se puede escribir

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

Estructuras casi complejas integrables

Toda variedad compleja es en sí misma una variedad casi compleja. En coordenadas holomorfas locales se pueden definir las aplicaciones ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(como una rotación en sentido antihorario de π/2) o

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Se puede comprobar fácilmente que esta función define una estructura casi compleja. Por tanto, cualquier estructura compleja en una variedad produce una estructura casi compleja, que se dice que está "inducida" por la estructura compleja, y la estructura compleja se dice que es "compatible" con la estructura casi compleja.

La cuestión inversa, si la estructura casi compleja implica la existencia de una estructura compleja, es mucho menos trivial y no es cierta en general. En una variedad casi compleja arbitraria siempre se pueden encontrar coordenadas para las cuales la estructura casi compleja toma la forma canónica anterior en cualquier punto dado p . Sin embargo, en general no es posible encontrar coordenadas para que J tome la forma canónica en un entorno completo de p . Tales coordenadas, si existen, se denominan "coordenadas holomorfas locales para J". Si M admite coordenadas holomorfas locales para J alrededor de cada punto, entonces estas se unen para formar un atlas holomorfo para M que le da una estructura compleja, que además induce a J . Entonces se dice que J es " integrable ". Si J es inducido por una estructura compleja, entonces es inducido por una estructura compleja única.

Dado cualquier mapa lineal A en cada espacio tangente de M ; es decir, A es un cuerpo tensorial de rango (1, 1), entonces el tensor de Nijenhuis es un cuerpo tensorial de rango (1,2) dado por

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

o, para el caso habitual de una estructura casi compleja A=J tal que , ${\displaystyle J^{2}=-Id}$

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

Las expresiones individuales de la derecha dependen de la elección de los campos vectoriales suaves X e Y , pero el lado izquierdo en realidad depende solo de los valores puntuales de X e Y , por lo que N _A es un tensor. Esto también queda claro a partir de la fórmula del componente

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

En términos del corchete de Frölicher–Nijenhuis , que generaliza el corchete de Lie de los campos vectoriales, el tensor de Nijenhuis N _A es solo la mitad de [ A ,  A ].

El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura casi compleja J es integrable si y solo si N _J  = 0. La estructura compleja compatible es única, como se ha comentado anteriormente. Puesto que la existencia de una estructura casi compleja integrable es equivalente a la existencia de una estructura compleja, a veces se la considera la definición de una estructura compleja.

Existen otros criterios que son equivalentes a la desaparición del tensor de Nijenhuis y que, por lo tanto, proporcionan métodos para comprobar la integrabilidad de una estructura casi compleja (y, de hecho, cada uno de ellos se puede encontrar en la literatura):

• El corchete de Lie de cualesquiera dos campos vectoriales (1, 0) es nuevamente del tipo (1, 0)
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Cualquiera de estas condiciones implica la existencia de una estructura compleja única compatible.

La existencia de una estructura casi compleja es una cuestión topológica y es relativamente fácil de responder, como se discutió anteriormente. La existencia de una estructura casi compleja integrable, por otro lado, es una cuestión analítica mucho más difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si S ⁶ admite una estructura casi compleja integrable, a pesar de una larga historia de afirmaciones en última instancia no verificadas. Las cuestiones de suavidad son importantes. Para J , el teorema de Newlander-Nirenberg se deduce del teorema de Frobenius ; para C ^∞ (y menos suave) J , se requiere análisis (con técnicas más difíciles a medida que se debilita la hipótesis de regularidad).

Triples compatibles

Supóngase que M está dotado de una forma simpléctica ω , una métrica riemanniana g y una estructura casi compleja J . Puesto que ω y g no son degenerados , cada uno induce un isomorfismo de fibrado TM → T*M , donde la primera función, denotada φ _ω , viene dada por el producto interior φ _ω ( u ) =  i _u ω  =  ω ( u , •) y la otra, denotada φ _g , viene dada por la operación análoga para g . Con esto entendido, las tres estructuras ( g , ω , J ) forman una terna compatible cuando cada estructura puede ser especificada por las otras dos de la siguiente manera:

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )
• J ( tu ) = ( φ _gramo ) ⁻¹ ( φ _ω ( tu )).

En cada una de estas ecuaciones, las dos estructuras del lado derecho se denominan compatibles cuando la construcción correspondiente produce una estructura del tipo especificado. Por ejemplo, ω y J son compatibles si y solo si ω (•, J •) es una métrica de Riemann. El fibrado en M cuyas secciones son las estructuras casi complejas compatibles con ω tiene fibras contráctiles : las estructuras complejas en las fibras tangentes son compatibles con la restricción a las formas simplécticas.

Utilizando propiedades elementales de la forma simpléctica ω , se puede demostrar que una estructura casi compleja compatible J es una estructura casi Kähler para la métrica riemanniana ω ( u , Jv ). Además, si J es integrable, entonces ( M , ω , J ) es una variedad Kähler .

Estos triples están relacionados con la propiedad 2 de 3 del grupo unitario .

Estructura casi compleja generalizada

Nigel Hitchin introdujo la noción de una estructura casi compleja generalizada en la variedad M , que fue elaborada en las tesis doctorales de sus estudiantes Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti. Una estructura casi compleja ordinaria es una elección de un subespacio semidimensional de cada fibra del fibrado tangente complejizado TM . Una estructura casi compleja generalizada es una elección de un subespacio isótropo semidimensional de cada fibra de la suma directa de los fibrados tangente y cotangente complejizados . En ambos casos se exige que la suma directa del subfibrado y su conjugado complejo produzca el fibrado original.

Una estructura casi compleja se integra en una estructura compleja si el subespacio semidimensional está cerrado bajo el corchete de Lie . Una estructura casi compleja generalizada se integra en una estructura compleja generalizada si el subespacio está cerrado bajo el corchete de Courant . Si además este espacio semidimensional es el aniquilador de un espinor puro que no desaparece en ninguna parte , entonces M es una variedad de Calabi–Yau generalizada .

Véase también

• Variedad casi cuaterniónica  – Concepto en geometríaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Clase Chern  – Clases características de los fibrados vectoriales
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Variedad de Kähler  – Variedad con estructura riemanniana, compleja y simpléctica
• Variedad de Poisson  – Estructura matemática en geometría diferencial
• Colector Rizza
• Variedad simpléctica  – Tipo de variedad en geometría diferencial

Referencias

1. Van de Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números de Chern de ciertas variedades complejas y casi complejas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 55 (6): 1624–1627. Bibcode :1966PNAS...55.1624V. doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC  224368 . PMID  16578639.
2. Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Sobre la historia del problema de Hopf". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi :10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID  119297359.

• Newlander, August; Nirenberg, Louis (1957). "Coordenadas analíticas complejas en variedades casi complejas". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 65 (3): 391–404. doi :10.2307/1970051. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970051. MR  0088770.
• Cannas da Silva, Ana (2001). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 3-540-42195-5.Información sobre triples compatibles, variedades Kähler y hermíticas, etc.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-90419-0.Sección corta que introduce el material básico estándar.
• Rubei, Elena (2014). Geometría algebraica, un diccionario conciso . Berlín/Boston: Walter De Gruyter. ISBN 978-3-11-031622-3.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1953). "Grupos de mentiras y potencias reducidas de Steenrod". Revista Estadounidense de Matemáticas . 75 (3): 409–448. doi :10.2307/2372495. JSTOR  2372495. SEÑOR  0058213.