Mapa de Abel-Jacobi

Construcción en geometría algebraica.

En matemáticas , el mapa de Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana . En geometría de Riemann , es una construcción más general que asigna una variedad a su toro de Jacobi. El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi de que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y sólo si son indistinguibles bajo el mapa de Abel-Jacobi.

Construcción del mapa

En geometría algebraica compleja , el jacobiano de una curva C se construye mediante integración de trayectorias. Es decir, supongamos que C tiene género g , lo que significa topológicamente que

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

Geométricamente, este grupo de homología consta de (clases de homología de) ciclos en C , o en otras palabras, bucles cerrados. Por lo tanto, podemos elegir bucles de 2 g que lo generen. Por otro lado, otra forma más algebro-geométrica de decir que el género de C es g es que ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}}$

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

donde K es el paquete canónico en C .

Por definición, este es el espacio de formas diferenciales holomorfas definidas globalmente en C , por lo que podemos elegir g formas linealmente independientes . Dadas formas y bucles cerrados podemos integrar y definimos 2 g vectores ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

De las relaciones bilineales de Riemann se deduce que generan una red no degenerada (es decir, son una base real para ), y el jacobiano se define por ${\displaystyle \Omega _{j}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

El mapa de Abel-Jacobi se define entonces de la siguiente manera. Elegimos algún punto base y, casi imitando la definición de definir el mapa ${\displaystyle p_{0}\in C}$ ${\displaystyle \Lambda ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

Aunque esto aparentemente depende de un camino desde a dos caminos cualesquiera definen un circuito cerrado en y, por lo tanto, un elemento de integración sobre él da un elemento de Por lo tanto, la diferencia se borra en el paso al cociente por . Cambiar el punto base cambia el mapa, pero solo mediante una traslación del toroide. ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \Lambda .}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle p_{0}}$

El mapa de Abel-Jacobi de una variedad de Riemann

Sea una variedad compacta y lisa . Sea su grupo fundamental. Sea su mapa de abelianización . Sea el subgrupo de torsión de . Sea el cociente por torsión. Si es una superficie, es no canónicamente isomorfa a , donde es el género; de manera más general, es no canónicamente isomorfo a , donde es el primer número de Betti . Sea el homomorfismo compuesto. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$ ${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}}$ ${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$

Definición. La cobertura de la variedad correspondiente al subgrupo se denomina cobertura abeliana libre universal (o máxima). ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$

Ahora supongamos que tiene una métrica de Riemann . Sea el espacio de las formas 1 armónicas en , con el dual canónicamente identificado con . Al integrar una forma 1 armónica integral a lo largo de caminos desde un punto base , obtenemos un mapa del círculo . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

De manera similar, para definir un mapa sin elegir una base para la cohomología, argumentamos lo siguiente. Sea un punto en la funda universal de . Por lo tanto, está representado por un punto junto con un camino desde él. Integrando a lo largo de la trayectoria , obtenemos una forma lineal en : ${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

Esto da lugar a un mapa.

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

que, además, desciende a un mapa

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

¿Dónde está la cobertura abeliana gratuita universal? ${\displaystyle {\overline {M}}}$

Definición. La variedad Jacobi (Jacobi torus) es el toro. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

Definición. El mapa de Abel-Jacobi

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

se obtiene del mapa de arriba pasando a cocientes.

El mapa de Abel-Jacobi es único hasta las traducciones del toro de Jacobi. El mapa tiene aplicaciones en geometría sistólica . El mapa de Abel-Jacobi de una variedad de Riemann aparece en las asintóticas de tiempo grande del núcleo de calor en una variedad periódica (Kotani y Sunada (2000) y Sunada (2012)).

De la misma manera, se puede definir un análogo teórico de grafos del mapa de Abel-Jacobi como un mapa lineal por partes de un gráfico finito a un toro plano (o un gráfico de Cayley asociado con un grupo abeliano finito), que está estrechamente relacionado a comportamientos asintóticos de paseos aleatorios en redes cristalinas y puede usarse para el diseño de estructuras cristalinas.

El mapa de Abel-Jacobi de una superficie compacta de Riemann

Proporcionamos una construcción analítica del mapa de Abel-Jacobi sobre superficies compactas de Riemann.

Let denota una superficie compacta de Riemann de género . Sea una base de homología canónica y la base dual de , que es un espacio vectorial complejo dimensional que consta de formas diferenciales holomorfas . Base dual queremos decir , para . Podemos formar una matriz simétrica cuyas entradas sean , para . Sea la red generada por las columnas de la matriz cuyas entradas consisten en for donde . A la variedad jacobiana la llamamos grupo de Lie complejo compacto, conmutativo y dimensional. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle g\times 2g}$ ${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$ ${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

Podemos definir un mapa eligiendo un punto y una configuración que sea un mapeo holomórfico bien definido con rango 1 (rango máximo). Entonces, naturalmente, podemos extender esto a un mapeo de clases de divisores; ${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$ ${\displaystyle P_{0}\in M}$ ${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).}$

Si denotamos el grupo de clase divisor de entonces definimos un mapa estableciendo ${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (M)\to J(M)}$ ${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

Tenga en cuenta que si entonces este mapa es independiente de la elección del punto base, podemos definir el mapa independiente del punto base donde denota los divisores de grado cero de . ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$ ${\displaystyle M}$

El siguiente teorema de Abel muestra que el núcleo del mapa es precisamente el subgrupo de divisores principales. Junto con el problema de inversión de Jacobi, podemos decir que es isomorfo como grupo al grupo de divisores de grado cero módulo su subgrupo de divisores principales. ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle J(M)}$

Teorema de Abel-Jacobi

Abel demostró el siguiente teorema (conocido como teorema de Abel): Supongamos que

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

es un divisor (es decir, una combinación lineal entera formal de puntos de C ). podemos definir

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

y por tanto hablamos del valor del mapa de Abel-Jacobi sobre divisores. El teorema es entonces que si D y E son dos divisores efectivos , lo que significa que son todos números enteros positivos, entonces ${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle u(D)=u(E)}$si y sólo si es linealmente equivalente a Esto implica que el mapa de Abel-Jacobi induce un mapa inyectivo (de grupos abelianos) desde el espacio de clases de divisores de grado cero al jacobiano. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E.}$

Jacobi demostró que este mapa también es sobreyectivo (conocido como problema de inversión de Jacobi), por lo que los dos grupos son naturalmente isomorfos.

El teorema de Abel-Jacobi implica que la variedad albanesa de una curva compleja compacta (dual de períodos de módulo de formas 1 holomorfas) es isomorfa a su variedad jacobiana (divisores de equivalencia de módulo de grado 0). Para variedades proyectivas compactas de dimensiones superiores, la variedad Albanese y la variedad Picard son duales pero no necesitan ser isomorfas.

Referencias

• E. Arbarello; M. Cornalba; P. Griffiths; J.Harris (1985). "1.3, Teorema de Abel ". Geometría de curvas algebraicas, vol. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90997-4.
• Kotani, Motoko ; Sunada, Toshikazu (2000), "Mapas albaneses y una asintótica de largo tiempo fuera de la diagonal para el núcleo de calor", Comm. Matemáticas. Física. , 209 : 633–670, código Bib : 2000CMaPh.209..633K, doi : 10.1007/s002200050033
• Sunada, Toshikazu (2012), "Conferencia sobre cristalografía topológica", Japón. J. Matemáticas. , 7 : 1–39, doi : 10.1007/s11537-012-1144-4
• Farkas, Hershel M; Kra, Irwin (23 de diciembre de 1991), Superficies Riemann , Nueva York: Springer, ISBN 978-0387977034