Divisor (geometría algebraica)

Generalizaciones de subvariedades de codimensión-1 de variedades algebraicas.

En geometría algebraica , los divisores son una generalización de subvariedades de codimensión -1 de variedades algebraicas . Se utilizan comúnmente dos generalizaciones diferentes: los divisores Cartier y los divisores Weil (llamados así en honor a Pierre Cartier y André Weil por David Mumford ). Ambos se derivan de la noción de divisibilidad en los campos de números enteros y algebraicos .

Globalmente, cada subvariedad de codimensión 1 del espacio proyectivo se define por la desaparición de un polinomio homogéneo ; por el contrario, una subvariedad de codimensión -r no necesita ser definible únicamente mediante r ecuaciones cuando r es mayor que 1. (Es decir, no todas las subvariedades del espacio proyectivo son una intersección completa ). Localmente, cada subvariedad de codimensión-1 de una variedad suave puede definirse mediante una ecuación en una vecindad de cada punto. Nuevamente, la afirmación análoga falla para las subvariedades de codimensión superior. Como resultado de esta propiedad, gran parte de la geometría algebraica estudia una variedad arbitraria analizando sus subvariedades de codimensión 1 y los correspondientes paquetes de líneas .

En variedades singulares, esta propiedad también puede fallar, por lo que hay que distinguir entre subvariedades de codimensión 1 y variedades que pueden definirse localmente mediante una ecuación. Los primeros son divisores Weil mientras que los segundos son divisores Cartier.

Topológicamente, los divisores de Weil desempeñan el papel de clases de homología , mientras que los divisores de Cartier representan clases de cohomología . En una variedad suave (o más generalmente en un esquema regular ), un resultado análogo a la dualidad de Poincaré dice que los divisores de Weil y Cartier son iguales.

El nombre "divisor" se remonta al trabajo de Dedekind y Weber , quienes mostraron la relevancia de los dominios de Dedekind para el estudio de las curvas algebraicas . ^[1] El grupo de divisores en una curva (el grupo abeliano libre generado por todos los divisores) está estrechamente relacionado con el grupo de ideales fraccionarios para un dominio de Dedekind.

Un ciclo algebraico es una generalización de codimensión superior de un divisor; por definición, un divisor de Weil es un ciclo de codimensión 1.

Divisores sobre una superficie de Riemann

Una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional , por lo que sus subvariedades de codimensión-1 tienen dimensión 0. El grupo de divisores en una superficie compacta de Riemann X es el grupo abeliano libre en los puntos de X.

De manera equivalente, un divisor en una superficie compacta de Riemann X es una combinación lineal finita de puntos de X con coeficientes enteros . El grado de un divisor en X es la suma de sus coeficientes.

Para cualquier función meromorfa distinta de cero f en X , se puede definir el orden de desaparición de f en un punto p en X , ord _p ( f ). Es un número entero, negativo si f tiene un polo en p . El divisor de una función meromorfa f distinta de cero en la superficie compacta de Riemann X se define como

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

que es una suma finita. Los divisores de la forma ( f ) también se denominan divisores principales . Dado que ( fg ) = ( f ) + ( g ), el conjunto de divisores principales es un subgrupo del grupo de divisores. Dos divisores que se diferencian por un divisor principal se llaman linealmente equivalentes .

En una superficie compacta de Riemann, el grado de un divisor principal es cero; es decir, el número de ceros de una función meromorfa es igual al número de polos, contados con multiplicidad. Como resultado, el grado está bien definido en las clases de divisores de equivalencia lineal.

Dado un divisor D sobre una superficie compacta de Riemann X , es importante estudiar el espacio vectorial complejo de funciones meromorfas sobre X con polos como máximo dados por D , llamado H ⁰ ( X , O ( D )) o el espacio de secciones de el paquete de líneas asociado a D . El grado de D dice mucho sobre la dimensión de este espacio vectorial. Por ejemplo, si D tiene grado negativo, entonces este espacio vectorial es cero (porque una función meromorfa no puede tener más ceros que polos). Si D tiene un grado positivo, entonces la dimensión de H ⁰ ( X , O ( mD ) ) crece linealmente en m para que m sea suficientemente grande. El teorema de Riemann-Roch es una afirmación más precisa en este sentido. Por otro lado, la dimensión precisa de H ⁰ ( X , O ( D )) para divisores D de bajo grado es sutil y no está completamente determinada por el grado de D. En estas dimensiones se reflejan las características distintivas de una superficie compacta de Riemann.

Un divisor clave en una superficie compacta de Riemann es el divisor canónico . Para definirlo, primero se define el divisor de una forma 1 meromórfica distinta de cero siguiendo las líneas anteriores. Dado que el espacio de las formas 1 meromorfas es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo de funciones meromorfas, dos formas 1 meromorfas distintas de cero producen divisores linealmente equivalentes. Cualquier divisor en esta clase de equivalencia lineal se llama divisor canónico de X , K _X. El género g de X se puede leer a partir del divisor canónico: es decir, K _X tiene grado 2 g − 2. La tricotomía clave entre las superficies compactas de Riemann X es si el divisor canónico tiene grado negativo (por lo que X tiene género cero), grado cero (género uno), o grado positivo (género al menos 2). Por ejemplo, esto determina si X tiene una métrica de Kähler con curvatura positiva , curvatura cero o curvatura negativa. El divisor canónico tiene grado negativo si y sólo si X es isomorfo a la esfera de Riemann CP ¹ .

divisores bien

Sea X un esquema integral localmente noetheriano . Un divisor primo o divisor irreducible en X es un subesquema cerrado integral Z de codimensión 1 en X. Un divisor de Weil en X es una suma formal sobre los divisores primos Z de X ,

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

donde la colección es localmente finita. Si X es cuasicompacto, la finitud local equivale a ser finito. El grupo de todos los divisores de Weil se denota Div( X ) . Un divisor de Weil D es efectivo si todos los coeficientes son no negativos. Se escribe D ≥ D′ si la diferencia D − D′ es efectiva. ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$

Por ejemplo, un divisor en una curva algebraica sobre un campo es una suma formal de un número finito de puntos cerrados. Un divisor en Spec Z es una suma formal de números primos con coeficientes enteros y, por lo tanto , corresponde a un ideal fraccionario distinto de cero en Q. Una caracterización similar es válida para los divisores en los que K es un campo numérico. ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$

Si Z ⊂ X es un divisor primo, entonces el anillo local tiene dimensión de Krull uno. Si es distinto de cero, entonces el orden de desaparición de f a lo largo de Z , escrito como _Z ( f ) , es la longitud de Esta longitud es finita, ^[2] y es aditiva con respecto a la multiplicación, es decir, como _Z ( fg ) = orden _Z ( f ) + orden _Z ( g ) . ^[3] Si k ( X ) es el campo de funciones racionales en X , entonces cualquier f ∈ k ( X ) distinto de cero puede escribirse como un cociente g / h , donde g y h están en y el orden de desaparición de f se define como ord _Z ( g ) - ord _Z ( h ) . ^[4] Con esta definición, el orden de desaparición es una función ord _Z  : k ( X ) ^× → Z . Si X es normal , entonces el anillo local es un anillo de valoración discreto y la función ord _Z es la valoración correspondiente. Para una función racional distinta de cero f en X , el principal divisor de Weil asociado a f se define como el divisor de Weil ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

Se puede demostrar que esta suma es localmente finita y, por tanto, que efectivamente define un divisor de Weil. El principal divisor de Weil asociado a f también se anota ( f ) . Si f es una función regular, entonces su divisor principal de Weil es efectivo, pero en general esto no es cierto. La aditividad del orden de la función evanescente implica que

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

En consecuencia, div es un homomorfismo y, en particular, su imagen es un subgrupo del grupo de todos los divisores de Weil.

Sea X un esquema noetheriano integral normal. Cada divisor de Weil D determina una gavilla coherente en X . Concretamente puede definirse como un subhaz del haz de funciones racionales ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

Es decir, una función racional distinta de cero f es una sección de U si y solo si para cualquier divisor primo Z que interseque a U , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

donde n _Z es el coeficiente de Z en D . Si D es principal, entonces D es el divisor de una función racional g , entonces hay un isomorfismo

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

puesto que es un divisor efectivo y también lo es regular gracias a la normalidad de X . Por el contrario, si es isomorfo a un módulo, entonces D es principal. De ello se deduce que D es localmente principal si y sólo si es invertible; es decir, un paquete de líneas. ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Si D es un divisor efectivo que corresponde a un subesquema de X (por ejemplo, D puede ser un divisor reducido o un divisor primo), entonces el haz ideal del subesquema D es igual a Esto conduce a una secuencia exacta corta de uso frecuente, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

La cohomología de la gavilla de esta secuencia muestra que contiene información sobre si las funciones regulares en D son restricciones de funciones regulares en X. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$

También hay una inclusión de gavillas.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Esto proporciona un elemento canónico , a saber, la imagen de la sección global 1. Esto se llama sección canónica y puede denotarse como s _D. Mientras que la sección canónica es la imagen de una función racional que no desaparece en ninguna parte, su imagen se desvanece a lo largo de D porque las funciones de transición desaparecen a lo largo de D. Cuando D es un divisor Cartier suave, se puede identificar el núcleo de la inclusión anterior; consulte los divisores #Cartier a continuación. ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Supongamos que X es un esquema separado integral normal de tipo finito sobre un campo. Sea D un divisor de Weil. Entonces es una gavilla reflexiva de rango uno y, dado que se define como una subgavilla, es una gavilla ideal fraccionaria (ver más abajo). Por el contrario, cada haz reflexivo de rango uno corresponde a un divisor de Weil: el haz puede restringirse al lugar regular, donde se vuelve libre y, por lo tanto, corresponde a un divisor de Cartier (nuevamente, ver más abajo), y debido a que el lugar singular tiene codimensión al menos dos, el cierre del divisor Cartier es un divisor Weil. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$

grupo de clase divisor

El grupo de clases de divisores de Weil Cl( X ) es el cociente de Div( X ) por el subgrupo de todos los divisores principales de Weil. Se dice que dos divisores son linealmente equivalentes si su diferencia es principal, por lo que el grupo de clases de divisores es el grupo de divisores módulo de equivalencia lineal. Para una variedad X de dimensión n sobre un campo, el grupo de clase divisor es un grupo Chow ; es decir, Cl( X ) es el grupo Chow CH _{n −1} ( X ) de ( n −1 ) ciclos dimensionales.

Sea Z un subconjunto cerrado de X . Si Z es irreducible de codimensión uno, entonces Cl( X − Z ) es isomorfo al grupo cociente de Cl( X ) por la clase de Z . Si Z tiene codimensión al menos 2 en X , entonces la restricción Cl( X ) → Cl( X − Z ) es un isomorfismo. ^[6] (Estos hechos son casos especiales de la secuencia de localización para grupos Chow).

En un esquema noetheriano integral normal X , dos divisores de Weil D , E son linealmente equivalentes si y sólo si y son isomórficos como -módulos. Las clases de isomorfismo de haces reflexivos en X forman un monoide con el producto dado como la cáscara reflexiva de un producto tensorial. Luego define un isomorfismo monoide del grupo de clases divisor de Weil de X al monoide de clases de isomorfismo de haces reflexivos de rango uno en X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

Ejemplos

• Sea k un campo y sea n un entero positivo. Dado que el anillo polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] es un dominio de factorización único, el grupo de clase divisor del espacio afín An ^sobre k es igual a cero. ^[7] Dado que el espacio proyectivo P ⁿ sobre k menos un hiperplano H es isomorfo a An ^, se deduce que el grupo de clase divisor de P ⁿ es generado por la clase de H . A partir de ahí , es sencillo comprobar que Cl( P ⁿ ) es de hecho isomorfo a los números enteros Z , generados por H. Concretamente, esto significa que cada subvariedad de codimensión 1 de P ⁿ está definida por la desaparición de un único polinomio homogéneo.

• Sea X una curva algebraica sobre un campo k . Todo punto cerrado p en X tiene la forma Spec E para algún campo de extensión finito E de k , y el grado de p se define como el grado de E sobre k . Extender esto por linealidad da la noción de grado para un divisor en X. Si X es una curva proyectiva sobre k , entonces el divisor de una función racional distinta de cero f en X tiene grado cero. ^[8] Como resultado, para una curva proyectiva X , el grado da un homomorfismo grados : Cl( X ) → Z.

• Para la línea proyectiva P ¹ sobre un campo k , el grado da un isomorfismo Cl( P ¹ ) ≅ Z . Para cualquier curva proyectiva suave X con un k - punto racional , el homomorfismo de grado es sobreyectivo y el núcleo es isomorfo al grupo de k -puntos en la variedad jacobiana de X , que es una variedad abeliana de dimensión igual al género de X . De ello se deduce, por ejemplo, que el grupo de clases divisor de una curva elíptica compleja es un grupo abeliano incontable .

• Generalizando el ejemplo anterior: para cualquier variedad proyectiva suave X sobre un campo k tal que X tenga un k -punto racional, el grupo de clases divisor Cl( X ) es una extensión de un grupo abeliano generado finitamente , el grupo de Néron-Severi , por el grupo de k puntos de un esquema de grupo conexo ^[9] Para k de característica cero, es una variedad abeliana, la variedad Picard de X. ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$

• Para R, el anillo de números enteros de un campo numérico , el grupo de clase divisor Cl( R ):= Cl(Spec R ) también se llama grupo de clase ideal de R. Es un grupo abeliano finito. Comprender los grupos de clases ideales es un objetivo central de la teoría algebraica de números .

• El cono cuádrico afín xy = z ² .

  Sea X el cono cuádrico de dimensión 2, definido por la ecuación xy = z ² en un espacio tridimensional afín sobre un campo. Entonces la recta D en X definida por x = z = 0 no es principal en X cerca del origen. Tenga en cuenta que D puede definirse como un conjunto de una ecuación en X , es decir, x = 0; pero la función x en X desaparece para ordenar 2 a lo largo de D , por lo que solo encontramos que 2 D es Cartier (como se define a continuación) en X . De hecho, el grupo de clase divisor Cl( X ) es isomorfo al grupo cíclico Z /2, generado por la clase de D. ^[10]

• Sea X el cono cuádrico de dimensión 3, definido por la ecuación xy = zw en 4 espacios afines sobre un campo. Entonces el plano D en X definido por x = z = 0 no puede definirse en X mediante una ecuación cercana al origen, ni siquiera como un conjunto. De ello se deduce que D no es Q-Cartier en X ; es decir, ningún múltiplo positivo de D es Cartier. De hecho, el grupo de clase divisor Cl( X ) es isomorfo a los números enteros Z , generados por la clase de D. ^[11]

El divisor canónico

Sea X una variedad normal sobre un campo perfecto . El locus suave U de X es un subconjunto abierto cuyo complemento tiene codimensión al menos 2. Sea j : U → X el mapa de inclusión, luego el homomorfismo de restricción:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

es un isomorfismo, ya que X − U tiene codimensión al menos 2 en X . Por ejemplo, se puede utilizar este isomorfismo para definir el divisor canónico K _X de X : es el divisor de Weil (hasta equivalencia lineal) correspondiente al conjunto de líneas de formas diferenciales de grado superior en U. De manera equivalente, la gavilla en X es la gavilla de imagen directa donde n es la dimensión de X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$

Ejemplo : Sea X = P ⁿ el espacio n proyectivo con coordenadas homogéneas x ₀ , ..., x _n . Sea U = { x ₀ ≠ 0}. Entonces U es isomorfo al espacio n afín con las coordenadas y _i = x _i / x ₀ . Dejar

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

Entonces ω es una forma diferencial racional en U ; por tanto, es una sección racional que tiene polos simples a lo largo de Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., n . Cambiar a un gráfico afín diferente cambia solo el signo de ω, por lo que vemos que ω también tiene un polo simple a lo largo de Z ₀ . Por tanto, el divisor de ω es ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

y su clase divisoria es

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

donde [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., n . (Ver también la secuencia de Euler ).

Divisores Cartier

Sea X un esquema noetheriano integral. Entonces X tiene un haz de funciones racionales. Todas las funciones regulares son funciones racionales, lo que conduce a una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Un divisor Cartier en X es una sección global de Una descripción equivalente es que un divisor Cartier es una colección donde hay una cubierta abierta de es una sección de una y otra vez hasta la multiplicación por una sección de ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X,f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle U_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Los divisores Cartier también tienen una descripción teórica de gavilla. Una gavilla ideal fraccionaria es un submódulo de Una gavilla ideal fraccionaria J es invertible si, para cada x en X , existe una vecindad abierta U de x en la cual la restricción de J a U es igual a donde y el producto es tomado en Cada divisor Cartier define una gavilla ideal fraccionaria invertible utilizando la descripción del divisor Cartier como una colección y, a la inversa, las gavillas ideales fraccionarias invertibles definen los divisores Cartier. Si el divisor de Cartier se denota D , entonces la gavilla ideal fraccionaria correspondiente se denota o L ( D ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Según la secuencia exacta anterior, existe una secuencia exacta de grupos de cohomología de gavillas :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Un divisor de Cartier se dice que es principal si es a imagen del homomorfismo, es decir, si es el divisor de una función racional sobre X. Dos divisores Cartier son linealmente equivalentes si su diferencia es principal. Cada paquete de líneas L en un esquema noetheriano integral X es la clase de algún divisor Cartier. Como resultado, la secuencia exacta anterior identifica el grupo Picard de haces de líneas en un esquema noetheriano integral X con el grupo de divisores Cartier de equivalencia lineal de módulo. Esto es válido de manera más general para esquemas noetherianos reducidos, o para esquemas cuasiproyectivos sobre un anillo noetheriano, ^[12] pero puede fallar en general (incluso para esquemas adecuados sobre C ), lo que disminuye el interés de los divisores Cartier en general. ^[13] ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$

Supongamos que D es un divisor Cartier efectivo. Luego hay una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Esta secuencia se deriva de la secuencia corta exacta que relaciona las gavillas estructurales de X y D y la gavilla ideal de D. Debido a que D es un divisor de Cartier, es localmente libre y, por lo tanto, al tensar esa secuencia se obtiene otra secuencia corta y exacta, la anterior. Cuando D es suave, el paquete normal de D está en X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle O_{D}(D)}$

Comparación de divisores Weil y divisores Cartier

Un divisor de Weil D se dice que es Cartier si y sólo si el haz es invertible. Cuando esto sucede, (con su incrustación en M _X ) se asocia el haz de líneas a un divisor Cartier. Más precisamente, si es invertible, entonces existe una cubierta abierta { U _i } tal que se restringe a un paquete trivial en cada conjunto abierto. Para cada U _i , elija un isomorfismo. La imagen de debajo de este mapa es una sección de U _i . Debido a que se define como un subhaz del haz de funciones racionales, la imagen de 1 puede identificarse con alguna función racional f _i . La colección es entonces un divisor Cartier. Esto está bien definido porque las únicas opciones involucradas fueron la cobertura y el isomorfismo, ninguno de los cuales cambia el divisor Cartier. Este divisor de Cartier se puede utilizar para producir una gavilla, que para distinguirla anotaremos L ( D ). Hay un isomorfismo de con L ( D ) definido trabajando en la cubierta abierta { U _i }. El hecho clave a verificar aquí es que las funciones de transición de y L ( D ) son compatibles, y esto equivale al hecho de que todas estas funciones tienen la forma ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$ ${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

En la dirección opuesta, un divisor de Cartier en un esquema noetheriano integral X determina un divisor de Weil en X de forma natural, aplicándolo a las funciones f _i en los conjuntos abiertos U _i . ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} }$

Si X es normal, un divisor de Cartier está determinado por el divisor de Weil asociado, y un divisor de Weil es Cartier si y sólo si es localmente principal.

Un esquema noetheriano X se llama factorial si todos los anillos locales de X son dominios de factorización únicos . ^[5] (Algunos autores dicen "localmente factorial".) En particular, todo esquema regular es factorial. ^[14] En un esquema factorial X , cada divisor de Weil D es localmente principal y, por tanto, siempre es un paquete de líneas. ^[7] En general, sin embargo, un divisor de Weil en un esquema normal no necesita ser localmente principal; vea los ejemplos de conos cuádricos anteriores. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Divisores Cartier efectivos

Los divisores Cartier eficaces son aquellos que corresponden a poleas ideales. De hecho, la teoría de los divisores Cartier efectivos se puede desarrollar sin ninguna referencia a haces de funciones racionales o haces ideales fraccionarios.

Sea X un esquema. Un divisor Cartier efectivo en X es un haz ideal I que es invertible y tal que para cada punto x en X , el tallo I _x es principal. Es equivalente a requerir que alrededor de cada x exista un subconjunto afín abierto U = Spec A tal que U ∩ D = Spec A / ( f ) , donde f es un divisor distinto de cero en A . La suma de dos divisores Cartier efectivos corresponde a la multiplicación de haces ideales.

Existe una buena teoría de las familias de divisores Cartier efectivos. Sea φ : X → S un morfismo. Un divisor Cartier relativamente efectivo para X sobre S es un divisor Cartier efectivo D sobre X que es plano sobre S. Debido al supuesto de planitud, para cada hay un retroceso de D to y este retroceso es un divisor efectivo de Cartier. En particular, esto es cierto para las fibras de φ. ${\displaystyle S'\to S,}$ ${\displaystyle X\times _{S}S',}$

El lema de Kodaira

Como resultado básico del (gran) divisor Cartier, existe un resultado llamado lema de Kodaira: ^{[15] [16]}

Sea X una variedad proyectiva irreducible y sea D un gran divisor de Cartier en X y sea H un divisor de Cartier efectivo arbitrario en X. Entonces

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$.

para todos lo suficientemente grande . ${\displaystyle m\in N(X,D)}$

El lema de Kodaira da algunos resultados sobre el gran divisor.

Funcionalidad

Sea φ : X → Y un morfismo de esquemas integrales localmente noetherianos. A menudo, pero no siempre, es posible utilizar φ para transferir un divisor D de un esquema a otro. Que esto sea posible depende de si el divisor es un divisor de Weil o Cartier, de si el divisor debe moverse de X a Y o viceversa, y de qué propiedades adicionales podría tener φ.

Si Z es un divisor primo de Weil en X , entonces es un subesquema cerrado irreducible de Y. Dependiendo de φ, puede ser o no un divisor primo de Weil. Por ejemplo, si φ es la ampliación de un punto en el plano y Z es el divisor excepcional, entonces su imagen no es un divisor de Weil. Por lo tanto, φ _* Z se define como si ese subesquema es un divisor primo y se define como el divisor cero en caso contrario. Extender esto por linealidad, suponiendo que X es cuasicompacto, definirá un homomorfismo Div( X ) → Div( Y ) llamado pushforward . (Si X no es cuasicompacto, entonces el pushforward puede no ser una suma localmente finita.) Este es un caso especial del pushforward en grupos de Chow. ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$

Si Z es un divisor de Cartier, entonces, bajo hipótesis suaves sobre φ, hay un retroceso . En teoría, cuando hay un mapa de retroceso , este retroceso se puede utilizar para definir el retroceso de los divisores Cartier. En términos de secciones locales, el retroceso de se define como . El retroceso siempre se define si φ es dominante, pero no se puede definir en general. Por ejemplo, si X = Z y φ es la inclusión de Z en Y , entonces φ ^* Z no está definido porque las secciones locales correspondientes serían cero en todas partes. (Sin embargo, se define el retroceso del paquete de líneas correspondiente). ${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$

Si φ es plano, entonces se define el retroceso de los divisores de Weil. En este caso, el retroceso de Z es φ ^* Z = φ ⁻¹ ( Z ) . La planitud de φ asegura que la imagen inversa de Z siga teniendo codimensión uno. Esto puede fallar para morfismos que no son planos, por ejemplo, para una pequeña contracción.

La primera clase Chern

Para un esquema noetheriano integral X , el homomorfismo natural del grupo de divisores de Cartier al de los divisores de Weil da un homomorfismo

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

conocida como la primera clase Chern . ^{[17] [18]} La primera clase de Chern es inyectiva si X es normal, y es un isomorfismo si X es factorial (como se definió anteriormente). En particular, los divisores de Cartier se pueden identificar con los divisores de Weil en cualquier esquema regular, por lo que la primera clase de Chern es un isomorfismo para X regular.

Explícitamente, la primera clase Chern se puede definir de la siguiente manera. Para un paquete de líneas L en un esquema noetheriano integral X , sea una sección racional distinta de cero de L (es decir, una sección en algún subconjunto abierto no vacío de L ), que existe por trivialidad local de L. Defina el divisor de Weil en X por analogía con el divisor de una función racional. Entonces, la primera clase Chern de L se puede definir como el divisor ( s ). Cambiar la sección racional s cambia este divisor por equivalencia lineal, ya que ( fs ) = ( f ) + ( s ) para una función racional distinta de cero f y una sección racional s distinta de cero de L. Entonces el elemento c ₁ ( L ) en Cl( X ) está bien definido.

Para una variedad compleja X de dimensión n , no necesariamente suave o propia sobre C , existe un homomorfismo natural, el mapa de ciclos , desde el grupo de clases divisor hasta la homología de Borel-Moore :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

El último grupo se define utilizando el espacio X ( C ) de puntos complejos de X , con su topología clásica (euclidiana). Asimismo, el grupo Picard se asigna a la cohomología integral , por la primera clase de Chern en el sentido topológico:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Los dos homomorfismos están relacionados mediante un diagrama conmutativo , donde el mapa vertical derecho es el producto máximo con la clase fundamental de X en la homología Borel-Moore:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

Para X suave sobre C , ambos mapas verticales son isomorfismos.

Secciones globales de haces de líneas y sistemas lineales.

Un divisor de Cartier es efectivo si sus funciones definitorias locales f _i son regulares (no sólo funciones racionales). En ese caso, el divisor de Cartier puede identificarse con un subesquema cerrado de codimensión 1 en X , el subesquema definido localmente por f _i = 0. Un divisor de Cartier D es linealmente equivalente a un divisor efectivo si y sólo si su paquete de líneas asociado tiene una sección global distinta de cero s ; entonces D es linealmente equivalente al lugar cero de s . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Sea X una variedad proyectiva sobre un campo k . Entonces, multiplicar una sección global de por un escalar distinto de cero en k no cambia su lugar cero. Como resultado, el espacio proyectivo de líneas en el k -espacio vectorial de secciones globales H 0 ⁽ X , O ( D ) ) puede identificarse con el conjunto de divisores efectivos linealmente equivalentes a D , llamado sistema lineal completo de D. Un subespacio lineal proyectivo de este espacio proyectivo se denomina sistema lineal de divisores . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Una razón para estudiar el espacio de las secciones globales de un haz de líneas es comprender las posibles aplicaciones de una variedad determinada al espacio proyectivo. Esto es esencial para la clasificación de variedades algebraicas. Explícitamente, un morfismo de una variedad X al espacio proyectivo P ⁿ sobre un campo k determina un paquete de líneas L en X , el retroceso del paquete de líneas estándar en P ⁿ . Además, L viene con n +1 secciones cuyo lugar geométrico base (la intersección de sus conjuntos de ceros) está vacío. Por el contrario, cualquier paquete de líneas L con n +1 secciones globales cuyo lugar de base común esté vacío determina un morfismo X → P ⁿ . ^[19] Estas observaciones conducen a varias nociones de positividad para los divisores Cartier (o paquetes de líneas), como los divisores amplios y los divisores nef . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Para un divisor D en una variedad proyectiva X sobre un campo k , el k -espacio vectorial H ⁰ ( X , O ( D )) tiene dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch es una herramienta fundamental para calcular la dimensión de este espacio vectorial cuando X es una curva proyectiva. Las generalizaciones sucesivas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , brindan cierta información sobre la dimensión de H ⁰ ( X , O ( D )) para una variedad proyectiva X de cualquier dimensión sobre un campo.

Debido a que el divisor canónico está intrínsecamente asociado a una variedad, los mapas del espacio proyectivo dados por K _X y sus múltiplos positivos desempeñan un papel clave en la clasificación de variedades . La dimensión de Kodaira de X es un invariante biracional clave , que mide el crecimiento de los espacios vectoriales H ⁰ ( X , mK _X ) (es decir, H ⁰ ( X , O ( mK _X )))) a medida que m aumenta. La dimensión de Kodaira divide todas las variedades n -dimensionales en n +2 clases, que (de manera muy aproximada) van de la curvatura positiva a la curvatura negativa.

Q-divisores

Sea X una variedad normal. Un divisor Q (Weil) es una combinación lineal formal finita de subvariedades codimension-1 irreducibles de X con coeficientes racionales. (Un divisor R se define de manera similar). Un divisor Q es efectivo si los coeficientes no son negativos. Un Q -divisor D es Q-Cartier si mD es un divisor de Cartier para algún entero positivo m . Si X es suave, entonces cada Q -divisor es Q -Cartier.

Si

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

es un Q -divisor, entonces su redondeo hacia abajo es el divisor

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

donde es el mayor número entero menor o igual a a . La gavilla entonces se define como ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

El teorema del hiperplano de Grothendieck-Lefschetz

El teorema del hiperplano de Lefschetz implica que para una variedad proyectiva compleja suave X de dimensión al menos 4 y un divisor amplio suave Y en X , la restricción Pic( X ) → Pic( Y ) es un isomorfismo. Por ejemplo, si Y es una variedad de intersección completa y suave de dimensión al menos 3 en un espacio proyectivo complejo, entonces el grupo Picard de Y es isomorfo a Z , generado por la restricción del paquete de líneas O (1) en el espacio proyectivo.

Grothendieck generalizó el teorema de Lefschetz en varias direcciones, involucrando campos base arbitrarios, variedades singulares y resultados en anillos locales en lugar de variedades proyectivas. En particular, si R es un anillo local de intersección completa que es factorial en codimensión como máximo 3 (por ejemplo, si el lugar no regular de R tiene codimensión al menos 4), entonces R es un dominio de factorización único (y por lo tanto cada dominio de Weil El divisor en Spec( R ) es Cartier). ^[21] La dimensión limitada aquí es óptima, como se muestra en el ejemplo del cono cuádrico tridimensional, arriba.

Notas

1. Dieudonné (1985), sección VI.6.
2. Proyecto de pilas, etiqueta 00PF.
3. Proyecto pilas, etiqueta 02MC.
4. Proyecto Stacks, etiqueta 02MD.
5. Kollár (2013), Notación 1.2.
6. Hartshorne (1977), Proposición II.6.5.
7. Hartshorne (1977), Proposición II.6.2.
8. Proyecto pilas, etiqueta 02RS.
9. Kleiman (2005), Teoremas 2.5 y 5.4, Observación 6.19.
10. Hartshorne (1977), Ejemplo II.6.5.2.
11. Hartshorne(1977), Ejercicio II.6.5.
12. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Proposición 21.3.4, Corolario 21.3.5.
13. Lazarsfeld (2004), Ejemplo 1.1.6.
14. Proyecto Stacks, etiqueta 0AFW.
15. "Capítulo 2. Preliminares". Fundamentos del programa modelo mínimo . Memorias de la Sociedad Matemática de Japón. 2017, págs. 16–47. doi : 10.2969/msjmemoirs/03501C020. ISBN 978-4-86497-045-7.
16. (Lazarsfeld 2004, p. 141, Proposición 2.2.6.)
17. Para una variedad X sobre un campo, las clases Chern de cualquier paquete de vectores en X actúan por producto máximo en los grupos Chow de X , y el homomorfismo aquí se puede describir como L ↦ c ₁ ( L ) ∩ [ X ].
18. Eisenbud y Harris 2016, § 1.4.
19. Hartshorne (1977), Teorema II.7.1.
20. (Lazarsfeld 2004, Capítulo 1)
21. Grothendieck, SGA 2, Corolario XI.3.14.

Referencias

• Dieudonné, Jean (1985), Historia de la geometría algebraica , Wadsworth Mathematics Series, traducido por Judith D. Sally , Belmont, CA: Wadsworth International Group, ISBN 0-534-03723-2, señor  0780183
• Eisenbud, David; Harris, Joe (2016), 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Grothendieck, Alejandro ; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (ed.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) , Documents Mathématiques, vol. 4, París: Société Mathématique de France , arXiv : math/0511279 , Bibcode : 2005math.....11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, señor  2171939
• Sección II.6 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 52, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4757-3849-0, ISBN 0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Kleiman, Steven (2005), "El esquema de Picard", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Encuestas Monogr., vol. 123, Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K, MR  2223410
• Kollár, János (2013), Singularidades del programa modelo mínimo , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8, señor  3057950
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , vol. 1, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, señor  2095471

enlaces externos

• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks