Cohomología

Secuencias de grupos abelianos unidos con espacios topológicos.

En matemáticas , específicamente en teoría de la homología y topología algebraica , la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos , generalmente uno asociado con un espacio topológico , a menudo definido a partir de un complejo de cocadenas . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos más ricos a un espacio que la homología. Algunas versiones de cohomología surgen al dualizar la construcción de homología. En otras palabras, las cocadenas son funciones del grupo de cadenas en la teoría de la homología.

Desde sus inicios en la topología , esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Desde la idea inicial de la homología como método de construcción de invariantes algebraicos de espacios topológicos, la gama de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido por la geometría y el álgebra . La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante , es más natural que la homología en muchas aplicaciones. En un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y retrocesos en situaciones geométricas: dados espacios X e Y , y algún tipo de función F en Y , para cualquier mapeo f  : X → Y , la composición con f da lugar a una función F ∘ f en X . Las teorías de cohomología más importantes tienen un producto, el producto de copa , que les confiere una estructura de anillo . Debido a esta característica, la cohomología suele ser una invariante más fuerte que la homología.

Cohomología singular

La cohomología singular es un invariante poderoso en topología, que asocia un anillo conmutativo graduado con cualquier espacio topológico. Cada mapa continuo f : X → Y determina un homomorfismo del anillo de cohomología de Y al de X ; esto impone fuertes restricciones a los posibles mapas de X a Y. A diferencia de invariantes más sutiles, como los grupos de homotopía , el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para espacios de interés.

Para un espacio topológico X , la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular : ^[1]

$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$

homología singularXC _igrupo abeliano libreiXiX_iiCi _soni

Ahora arregle un grupo abeliano A y reemplace cada grupo Ci por su grupo dual y por su homomorfismo dual _. ${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$

$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo de cocadena.

$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

Para un número entero i , el i- ^ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes en A se define como ker( d _i )/im( d _{i −1} ) y se denota por H ⁱ ( X , A ). El grupo H ⁱ ( X , A ) es cero para i negativo. Los elementos de se llaman i -cocadenas singulares con coeficientes en A . (De manera equivalente, una i -cocadena en X se puede identificar con una función del conjunto de i -simplices singulares en X a A ). Los elementos de ker( d ) e im( d ) se denominan cociclos y colímites , respectivamente, mientras que los elementos de ker( d )/im( d ) = H ⁱ ( X , A ) se llaman clases de cohomología (porque son clases de equivalencia de cociclos). ${\displaystyle C_{i}^{*}}$

A continuación, a veces no se escribe el grupo de coeficientes A. Es común tomar A como un anillo conmutativo R ; entonces los grupos de cohomología son módulos R. Una elección estándar es el anillo Z de números enteros .

Algunas de las propiedades formales de la cohomología son sólo variantes menores de las propiedades de la homología:

• Un mapa continuo determina un homomorfismo de avance en homología y un homomorfismo de retroceso en cohomología. Esto convierte la cohomología en un functor contravariante desde espacios topológicos hasta grupos abelianos (o R -módulos). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ ${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$
• Dos mapas homotópicos de X a Y inducen el mismo homomorfismo en cohomología (al igual que en homología).
• La secuencia de Mayer-Vietoris es una herramienta computacional importante en cohomología, como en homología. Tenga en cuenta que el homomorfismo de límites aumenta (en lugar de disminuir) el grado en cohomología. Es decir, si un espacio X es la unión de los subconjuntos abiertos U y V , entonces existe una secuencia exacta larga :
  $${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• Hay grupos de cohomología relativa para cualquier subespacio Y de un espacio X. Están relacionados con los grupos de cohomología habituales mediante una secuencia larga y exacta: ${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$
  $${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• El teorema del coeficiente universal describe la cohomología en términos de homología, utilizando grupos Ext . Es decir, hay una secuencia corta y exacta.
  $${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$
  Una afirmación relacionada es que para un campo F , es precisamente el espacio dual del espacio vectorial . ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$
• Si X es una variedad topológica o un complejo CW , entonces los grupos de cohomología son cero para i mayor que la dimensión de X. ^[2] Si X es una variedad compacta (posiblemente con límite), o un complejo CW con un número finito de celdas en cada dimensión, y R es un anillo noetheriano conmutativo , entonces el módulo R Hi ( X , R ) se genera de forma finita ^. para cada i . ^[3] ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$

Por otro lado, la cohomología tiene una estructura crucial que la homología no tiene: para cualquier espacio topológico X y anillo conmutativo R , existe un mapa bilineal , llamado producto de copa :

$${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$

uvuvuvsuma directa

$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$

anillo graduadocohomologíaX.conmutativo graduado^[4]

$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

Para cualquier mapa continuo, el retroceso es un homomorfismo de álgebras R graduadas . De ello se deduce que si dos espacios son equivalentes de homotopía , entonces sus anillos de cohomología son isomórficos. ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ ${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$

Estas son algunas de las interpretaciones geométricas del producto de copa. En lo que sigue, se entiende que las variedades no tienen límites, a menos que se indique lo contrario. Una variedad cerrada significa una variedad compacta (sin límite), mientras que una subvariedad cerrada N de una variedad M significa una subvariedad que es un subconjunto cerrado de M , no necesariamente compacto (aunque N es automáticamente compacto si M lo es).

• Sea X una variedad orientada cerrada de dimensión n . Entonces la dualidad de Poincaré da un isomorfismo H ⁱ X ≅ H _{n − i} X . Como resultado, una subvariedad orientada cerrada S de codimensión i en X determina una clase de cohomología en H ⁱ X , llamada [ S ]. En estos términos, el producto de copa describe la intersección de subvariedades. Es decir, si S y T son subvariedades de codimensión i y j que se cruzan transversalmente , entonces
  $${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$
  donde la intersección S ∩ T es una subvariedad de codimensión i + j , con una orientación determinada por las orientaciones de S , T y X . En el caso de variedades suaves , si S y T no se cruzan transversalmente, esta fórmula aún se puede usar para calcular el producto de copa [ S ][ T ], perturbando S o T para hacer la intersección transversal.
  De manera más general, sin asumir que X tiene una orientación, una subvariedad cerrada de X con una orientación en su paquete normal determina una clase de cohomología en X. Si X es una variedad no compacta, entonces una subvariedad cerrada (no necesariamente compacta) determina una clase de cohomología en X. En ambos casos, el producto de copa se puede describir nuevamente en términos de intersecciones de subvariedades.
  Tenga en cuenta que Thom construyó una clase de cohomología integral de grado 7 en una variedad suave de 14 que no es la clase de ninguna subvariedad suave. ^[5] Por otro lado, demostró que cada clase de cohomología integral de grado positivo en una variedad suave tiene un múltiplo positivo que es la clase de una subvariedad suave. ^[6] Además, cada clase de cohomología integral en una variedad puede representarse mediante una "pseudovariedad", es decir, un complejo simplicial que es una variedad fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2.
• Para una variedad suave X , el teorema de De Rham dice que la cohomología singular de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham de X , definida mediante formas diferenciales . El producto de copa corresponde al producto de formas diferenciales. Esta interpretación tiene la ventaja de que el producto en formas diferenciales es conmutativo graduado, mientras que el producto en cocadenas singulares solo es conmutativo graduado hasta la homotopía de cadena . De hecho, es imposible modificar la definición de cocadenas singulares con coeficientes en números enteros o en para un número primo p para hacer que el producto sea conmutativo graduado en la nariz. El fracaso de la conmutatividad graduada a nivel de cocadena conduce a las operaciones de Steenrod en la cohomología mod p . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

De manera muy informal, para cualquier espacio topológico X , los elementos de pueden considerarse representados por subespacios de codimensión -i de X que pueden moverse libremente en X . Por ejemplo, una forma de definir un elemento de es dar un mapa continuo f desde X hasta una variedad M y una subvariedad i de codimensión cerrada N de M con una orientación en el paquete normal. Informalmente, uno piensa que la clase resultante se encuentra en el subespacio de X ; esto se justifica porque la clase se restringe a cero en la cohomología del subconjunto abierto. La clase de cohomología puede moverse libremente sobre X en el sentido de que N podría ser reemplazado por cualquier deformación continua de N dentro de M. ${\displaystyle H^{i}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X)}$ ${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle f^{*}([N])}$ ${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$ ${\displaystyle f^{*}([N])}$

Ejemplos

En lo que sigue, la cohomología se toma con coeficientes en los números enteros Z , a menos que se indique lo contrario.

• El anillo de cohomología de un punto es el anillo Z en grado 0. Por invariancia de homotopía, este es también el anillo de cohomología de cualquier espacio contráctil , como el espacio euclidiano R ⁿ .

• 

  El primer grupo de cohomología del toro bidimensional tiene una base dada por las clases de los dos círculos mostrados.

  Para un entero positivo n , el anillo de cohomología de la esfera es Z [ x ]/( x ² ) (el anillo cociente de un anillo polinómico por el ideal dado ), con x en grado n . En términos de la dualidad de Poincaré anterior, x es la clase de un punto en la esfera. ${\displaystyle S^{n}}$
• El anillo de cohomología del toro es el álgebra exterior sobre Z en n generadores de grado 1. ^[7] Por ejemplo, sea P un punto en el círculo y Q el punto ( P , P ) en el toro bidimensional . Entonces la cohomología de ( S ¹ ) ² tiene una base como un módulo Z libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, x  := [ P × S ¹ ] e y  := [ S ¹ × P ] en grado 1, y xy = [ Q ] en grado 2. (Implícitamente, las orientaciones del toroide y de los dos círculos se han fijado aquí). Tenga en cuenta que yx = − xy = −[ Q ], por conmutatividad graduada. ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle (S^{1})^{2}}$
• De manera más general, sea R un anillo conmutativo y sean X e Y espacios topológicos tales que H ^* ( X , R ) sea un módulo R libre finitamente generado en cada grado. (No se necesita ninguna suposición sobre Y. ) Entonces, la fórmula de Künneth da que el anillo de cohomología del espacio producto X × Y es un producto tensorial de R -álgebras: ^[8]
  $${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• El anillo de cohomología del espacio proyectivo real RP ⁿ con coeficientes Z /2 es Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), con x en grado 1. ^[9] Aquí x es la clase de un hiperplano RP ^{n −1} en RP ^norte ; esto tiene sentido aunque RP ^j no es orientable para j par y positivo, porque la dualidad de Poincaré con coeficientes Z /2 funciona para variedades arbitrarias.
  Con coeficientes enteros, la respuesta es un poco más complicada. La cohomología Z de RP ^{2 a} tiene un elemento y de grado 2 tal que toda la cohomología es la suma directa de una copia de Z abarcada por el elemento 1 en grado 0 junto con copias de Z /2 abarcadas por los elementos y ⁱ para i =1,..., a . La cohomología Z de RP ^{2 a +1} es la misma junto con una copia extra de Z en grado 2 a +1. ^[10]
• El anillo de cohomología del espacio proyectivo complejo CP ⁿ es Z [ x ]/( x ^{n +1} ), con x en grado 2. ^[9] Aquí x es la clase de un hiperplano CP ^{n −1} en CP ⁿ . De manera más general, x ^j es la clase de un subespacio lineal CP ^{n − j} en CP ⁿ .
• El anillo de cohomología de la superficie orientada cerrada X de género g ≥ 0 tiene una base como módulo Z libre de _la forma: el elemento 1 en grado 0, A ₁ ,..., Ag y B ₁ ,... , B _g en grado 1, y la clase P de un punto en grado 2. El producto viene dado por: A _i A _j = B _i B _j = 0 para todos i y j , A _i B _j = 0 si i ≠ j , y A _i B _i = P para todo i . ^[11] Por conmutatividad graduada, se deduce que B _i A _i = − P .
• En cualquier espacio topológico, la conmutatividad graduada del anillo de cohomología implica que 2 x ² = 0 para todas las clases de cohomología de grado impar x . De ello se deduce que para un anillo R que contiene 1/2, todos los elementos de grado impar de H ^* ( X , R ) tienen cero cuadrado. Por otro lado, los elementos de grado impar no necesitan tener cero cuadrado si R es Z /2 o Z , como se ve en el ejemplo de RP ² (con coeficientes Z /2) o RP ⁴ × RP ² (con coeficientes Z ) .

la diagonal

Se puede considerar que el producto de taza en cohomología proviene del mapa diagonal Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). Es decir, para cualquier espacio X e Y con clases de cohomología u ∈ H ⁱ ( X , R ) y v ∈ H ^j ( Y , R ), existe una clase de cohomología de producto externo (o producto cruzado ) u × v ∈ H ^{i + j} ( X × Y , R ). El producto de copa de las clases u ∈ H ⁱ ( X , R ) y v ∈ H ^j ( X , R ) se puede definir como el retroceso del producto externo por la diagonal: ^[12]

$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

Alternativamente, el producto externo puede definirse en términos del producto de taza. Para los espacios X e Y , escriba f : X × Y → X y g : X × Y → Y para las dos proyecciones. Entonces el producto externo de las clases u ∈ H ⁱ ( X , R ) y v ∈ H ^j ( Y , R ) es:

$${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

Dualidad de Poincaré

Otra interpretación de la dualidad de Poincaré es que el anillo de cohomología de una variedad orientada cerrada es autodual en un sentido fuerte. Es decir, sea X una variedad cerrada , conectada y orientada de dimensión n , y sea F un campo. Entonces H ⁿ ( X , F ) es isomorfo a F y el producto

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

es un emparejamiento perfecto para cada número entero i . ^[13] En particular, los espacios vectoriales H ⁱ ( X , F ) y H ^{n − i} ( X , F ) tienen la misma dimensión (finita). Asimismo, el producto de cohomología integral módulo de torsión con valores en H ⁿ ( X , Z ) ≅ Z es un emparejamiento perfecto sobre Z .

Clases características

Un paquete de vectores reales orientado E de rango r sobre un espacio topológico X determina una clase de cohomología en X , la clase de Euler χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). Informalmente, la clase de Euler es la clase del conjunto cero de una sección general de E. Esa interpretación puede hacerse más explícita cuando E es un paquete de vectores suave sobre una variedad suave X , ya que entonces una sección general suave de X desaparece en una subvariedad de codimensión r de X.

Hay varios otros tipos de clases características para paquetes de vectores que toman valores en cohomología, incluidas las clases de Chern , las clases de Stiefel-Whitney y las clases de Pontryagin .

Espacios de Eilenberg-MacLane

Para cada grupo abeliano A y número natural j , hay un espacio cuyo j -ésimo grupo de homotopía es isomorfo a A y cuyos otros grupos de homotopía son cero. Un espacio así se llama espacio de Eilenberg-MacLane . Este espacio tiene la notable propiedad de que es un espacio de clasificación para cohomología: hay un elemento natural u de , y cada clase de cohomología de grado j en cada espacio X es el retroceso de u por algún mapa continuo . Más precisamente, retirar la clase u da una biyección ${\displaystyle K(A,j)}$ ${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$ ${\displaystyle X\to K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

para cada espacio X con el tipo de homotopía de un complejo CW. [ ^14] Aquí se denota el conjunto de clases de homotopía de mapas continuos de X a Y. ${\displaystyle [X,Y]}$

Por ejemplo, el espacio (definido hasta la equivalencia de homotopía) puede tomarse como el círculo . Entonces, la descripción anterior dice que cada elemento de es retirado de la clase u de un punto por algún mapa . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X\to S^{1}}$

Hay una descripción relacionada de la primera cohomología con coeficientes en cualquier grupo abeliano A , digamos para un complejo CW X. Es decir, está en correspondencia uno a uno con el conjunto de clases de isomorfismo de Galois que cubren espacios de X con el grupo A , también llamados paquetes A principales sobre X. Para X conexo, se deduce que es isomorfo a , donde está el grupo fundamental de X . Por ejemplo, clasifica los espacios de doble cobertura de X , con el elemento correspondiente a la doble cobertura trivial, la unión disjunta de dos copias de X . ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

Producto de tapa

Para cualquier espacio topológico X , el producto límite es un mapa bilineal

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

para cualquier número entero i y j y cualquier anillo conmutativo R. El mapa resultante

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

convierte la homología singular de X en un módulo sobre el anillo de cohomología singular de X .

Para i = j , el producto límite da el homomorfismo natural

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

que es un isomorfismo para R un campo.

Por ejemplo, sea X una variedad orientada, no necesariamente compacta. Entonces, una subvariedad Y de X (no necesariamente compacta) de codimensión i orientada cerrada determina un elemento de H ⁱ ( X , R ), y una subvariedad Z de X de dimensión j orientada compacta determina un elemento de H _j ( X , R ) . El producto límite [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) se puede calcular perturbando Y y Z para hacer que se crucen transversalmente y luego tomando la clase de su intersección, que es una subvariedad de dimensión orientada compacta j - yo .

Una variedad orientada cerrada X de dimensión n tiene una clase fundamental [ X ] en H _n ( X , R ). El isomorfismo de la dualidad de Poincaré

$${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$

X

Breve historia de la cohomología singular.

Aunque la cohomología es fundamental para la topología algebraica moderna, su importancia no se vio hasta unos 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de estructura celular dual , que Henri Poincaré utilizó en su demostración de su teorema de dualidad de Poincaré, contenía el comienzo de la idea de cohomología, pero esto no se vio hasta más tarde.

Hubo varios precursores de la cohomología. ^[15] A mediados de la década de 1920, JW Alexander y Solomon Lefschetz fundaron la teoría de la intersección de ciclos en variedades. En una variedad cerrada orientada de n dimensiones, M , un ciclo i y un ciclo j con intersección no vacía tendrán, si están en la posición general , como intersección un ciclo ( i  +  j  −  n ). Esto conduce a una multiplicación de clases de homología.

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

que (en retrospectiva) puede identificarse con el producto de copa en la cohomología de M.

En 1930, Alexander había definido una primera noción de cocadena, al pensar en una i -cocadena en un espacio X como una función en pequeñas vecindades de la diagonal en X ^{i +1} .

En 1931, Georges de Rham relacionó homología y formas diferenciales, demostrando el teorema de de Rham . Este resultado se puede expresar de manera más simple en términos de cohomología.

En 1934, Lev Pontryagin demostró el teorema de la dualidad de Pontryagin ; un resultado en grupos topológicos . Esto (en casos bastante especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y de la dualidad de Alexander en términos de personajes grupales .

En una conferencia de 1935 en Moscú , Andrey Kolmogorov y Alexander introdujeron la cohomología y trataron de construir una estructura de producto de cohomología.

En 1936, Norman Steenrod construyó la cohomología de Čech dualizando la homología de Čech.

De 1936 a 1938, Hassler Whitney y Eduard Čech desarrollaron el producto copa (convirtiendo la cohomología en un anillo graduado) y el producto tapa , y se dieron cuenta de que la dualidad de Poincaré se puede expresar en términos del producto tapa. Su teoría todavía se limitaba a complejos de células finitas.

En 1944, Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas y dio la definición moderna de homología y cohomología singulares.

En 1945, Eilenberg y Steenrod establecieron los axiomas que definen una teoría de homología o cohomología, que se analizan a continuación. En su libro de 1952, Foundations of Algebraic Topology , demostraron que las teorías de homología y cohomología existentes efectivamente satisfacían sus axiomas.

En 1946, Jean Leray definió la cohomología de la gavilla.

En 1948, Edwin Spanier , basándose en el trabajo de Alexander y Kolmogorov, desarrolló la cohomología Alexander-Spanier .

Cohomología de la gavilla

La cohomología de gavilla es una rica generalización de la cohomología singular, que permite "coeficientes" más generales que simplemente un grupo abeliano. Para cada haz de grupos abelianos E en un espacio topológico X , se tienen grupos de cohomología H ⁱ ( X , E ) para números enteros i . En particular, en el caso de la gavilla constante en X asociada con un grupo abeliano A , los grupos resultantes H ⁱ ( X , A ) coinciden con la cohomología singular para X una variedad o complejo CW (aunque no para espacios arbitrarios X ). A partir de la década de 1950, la cohomología de haces se ha convertido en una parte central de la geometría algebraica y el análisis complejo , en parte debido a la importancia de los haces de funciones regulares o de las funciones holomorfas .

Grothendieck definió y caracterizó elegantemente la cohomología de la gavilla en el lenguaje del álgebra homológica . El punto esencial es fijar el espacio X y pensar en la cohomología de gavillas como un functor de la categoría abeliana de gavillas en X a grupos abelianos. Comience con el functor llevando un haz E en X a su grupo abeliano de secciones globales sobre X , E ( X ). Este funtor es exacto a la izquierda , pero no necesariamente exacto a la derecha. Grothendieck definió los grupos de cohomología de gavilla como los funtores derivados por la derecha del funtor exacto izquierdo E ↦ E ( X ). ^[dieciséis]

Esa definición sugiere varias generalizaciones. Por ejemplo, se puede definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo de haces, antes llamada hipercohomología (pero ahora normalmente simplemente "cohomología"). Desde ese punto de vista, la cohomología de gavillas se convierte en una secuencia de funtores de la categoría derivada de gavillas en X a grupos abelianos.

En un sentido amplio de la palabra, "cohomología" se usa a menudo para los funtores derivados por la derecha de un funtor exacto izquierdo en una categoría abeliana, mientras que "homología" se usa para los funtores derivados por la izquierda de un funtor exacto derecho. Por ejemplo, para un anillo R , los grupos Tor Tor _i ^R ( M , N ) forman una "teoría de homología" en cada variable, los functores derivados por la izquierda del producto tensorial M ⊗ _R N de R -módulos. Asimismo, los grupos Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) pueden verse como una "teoría de cohomología" en cada variable, los functores derivados derechos del functor Hom Hom _R ( M , N ).

La cohomología de la gavilla se puede identificar con un tipo de grupo Ext. Es decir, para una gavilla E en un espacio topológico X , H ⁱ ( X , E ) es isomorfa a Ext ⁱ ( Z _X , E ), donde Z _X denota la gavilla constante asociada con los números enteros Z , y Ext se toma en el categoría abeliana de gavillas en X .

Cohomología de variedades.

Existen numerosas máquinas construidas para calcular la cohomología de variedades algebraicas. El caso más simple es la determinación de la cohomología para variedades proyectivas suaves en un campo de características . Las herramientas de la teoría de Hodge, llamadas estructuras de Hodge , ayudan a realizar cálculos de cohomología de estos tipos de variedades (con la adición de información más refinada). En el caso más simple, la cohomología de una hipersuperficie lisa se puede determinar únicamente a partir del grado del polinomio. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Al considerar variedades en un campo finito, o un campo de características , se requieren herramientas más poderosas porque las definiciones clásicas de homología/cohomología fallan. Esto se debe a que las variedades en campos finitos sólo serán un conjunto finito de puntos. A Grothendieck se le ocurrió la idea de una topología de Grothendieck y utilizó la cohomología de gavilla sobre la topología étale para definir la teoría de la cohomología para variedades en un campo finito. Usando la topología étale para una variedad en un campo de características, se puede construir una cohomología -ádica para . Esto se define como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell \neq p}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

Si tenemos un esquema de tipo finito

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

entonces hay una igualdad de dimensiones para la cohomología de Betti de y la cohomología -ádica de siempre que la variedad sea suave en ambos campos. Además de estas teorías de cohomología, existen otras teorías de cohomología llamadas teorías de cohomología de Weil que se comportan de manera similar a la cohomología singular. Existe una teoría conjeturada de los motivos que subyacen a todas las teorías de cohomología de Weil. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$

Otra herramienta computacional útil es la secuencia de explosión. Dado un subesquema de codimensión existe un cuadrado cartesiano ${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

A partir de esto hay una secuencia larga exacta asociada

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

Si la subvariedad es suave, entonces los morfismos de conexión son todos triviales, por lo tanto ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

Axiomas y teorías de cohomología generalizadas.

Hay varias formas de definir la cohomología para espacios topológicos (como la cohomología singular, la cohomología de Čech , la cohomología de Alexander-Spanier o la cohomología de gavilla ). (Aquí la cohomología de la gavilla se considera sólo con coeficientes en una gavilla constante). Estas teorías dan respuestas diferentes para algunos espacios, pero hay una gran clase de espacios en los que todas están de acuerdo. Esto se entiende más fácilmente axiomáticamente: hay una lista de propiedades conocidas como axiomas de Eilenberg-Steenrod , y dos construcciones cualesquiera que compartan esas propiedades coincidirán al menos en todos los complejos CW. ^[17] Hay versiones de los axiomas para una teoría de homología así como para una teoría de cohomología. Algunas teorías pueden verse como herramientas para calcular la cohomología singular para espacios topológicos especiales, como la cohomología simplicial para complejos simpliciales , la cohomología celular para complejos CW y la cohomología de De Rham para variedades suaves.

Uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para una teoría de cohomología es el axioma de dimensión : si P es un solo punto, entonces H ⁱ ( P ) = 0 para todo i ≠ 0. Alrededor de 1960, George W. Whitehead observó que es fructífero omitir el axioma de dimensión por completo: esto da la noción de una teoría de homología generalizada o una teoría de cohomología generalizada, que se define a continuación. Existen teorías de cohomología generalizadas, como la teoría K o el cobordismo complejo, que brindan información rica sobre un espacio topológico, no directamente accesible desde la cohomología singular. (En este contexto, la cohomología singular a menudo se denomina "cohomología ordinaria".)

Por definición, una teoría de homología generalizada es una secuencia de funtores h _i (para números enteros i ) desde la categoría de pares CW ( X ,  A ) (por lo que X es un complejo CW y A es un subcomplejo) hasta la categoría de grupos abelianos. , junto con una transformación natural ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) llamada homomorfismo de límites (aquí h _{i −1} ( A ) es una abreviatura de h _{i −1} ( A ,∅) ). Los axiomas son:

1. Homotopía : si es homotópico , entonces los homomorfismos inducidos en la homología son los mismos. ${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$
2. Exactitud : Cada par ( X , A ) induce una secuencia exacta larga en homología, a través de las inclusiones f : A → X y g : ( X ,∅) → ( X , A ) :
   $${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. Escisión : Si X es la unión de los subcomplejos A y B , entonces la inclusión f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induce un isomorfismo
   $${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$
   por cada i .
4. Aditividad : Si ( X , A ) es la unión disjunta de un conjunto de pares ( X _α , A _α ), entonces las inclusiones ( X _α , A _α ) → ( X , A ) inducen un isomorfismo a partir de la suma directa :
   $${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$
   por cada i .

Los axiomas de una teoría de cohomología generalizada se obtienen invirtiendo las flechas, en términos generales. Con más detalle, una teoría de cohomología generalizada es una secuencia de funtores contravariantes h ⁱ (para números enteros i ) desde la categoría de pares CW a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) llamado homomorfismo de límites (escribiendo h ⁱ ( A ) para h ⁱ ( A ,∅)). Los axiomas son:

1. Homotopía : los mapas homotópicos inducen el mismo homomorfismo en la cohomología.
2. Exactitud : cada par ( X , A ) induce una secuencia exacta larga en cohomología, a través de las inclusiones f : A → X y g : ( X ,∅) → ( X , A ):
   $${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. Escisión : Si X es la unión de los subcomplejos A y B , entonces la inclusión f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induce un isomorfismo
   $${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$
   por cada i .
4. Aditividad : Si ( X , A ) es la unión disjunta de un conjunto de pares ( X _α , A _α ), entonces las inclusiones ( X _α , A _α ) → ( X , A ) inducen un isomorfismo al grupo de productos :
   $${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$
   por cada i .

Un espectro determina tanto una teoría de homología generalizada como una teoría de cohomología generalizada. Un resultado fundamental de Brown, Whitehead y Adams dice que toda teoría de homología generalizada proviene de un espectro, y de la misma manera toda teoría de cohomología generalizada proviene de un espectro. ^[18] Esto generaliza la representabilidad de la cohomología ordinaria mediante espacios de Eilenberg-MacLane.

Un punto sutil es que el functor de la categoría de homotopía estable (la categoría de homotopía de los espectros) a las teorías de homología generalizadas en pares CW no es una equivalencia, aunque proporciona una biyección sobre clases de isomorfismo; Hay mapas distintos de cero en la categoría de homotopía estable (llamados mapas fantasma ) que inducen el mapa cero entre teorías de homología en pares CW. Asimismo, el functor de la categoría de homotopía estable a las teorías de cohomología generalizada en pares CW no es una equivalencia. ^[19] Es la categoría de homotopía estable, no estas otras categorías, la que tiene buenas propiedades, como estar triangulada .

Si se prefiere que las teorías de homología o cohomología se definan en todos los espacios topológicos en lugar de en complejos CW, un enfoque estándar es incluir el axioma de que toda equivalencia de homotopía débil induce un isomorfismo en la homología o cohomología. (Eso es cierto para la homología singular o la cohomología singular, pero no para la cohomología de gavilla, por ejemplo). Dado que cada espacio admite una equivalencia de homotopía débil de un complejo CW, este axioma reduce las teorías de homología o cohomología en todos los espacios a la teoría correspondiente en CW. complejos. ^[20]

Algunos ejemplos de teorías de cohomología generalizadas son:

• Grupos de homotopía estable La teoría de homología correspondiente se utiliza con más frecuencia: grupos de homotopía estable ${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• Varios tipos diferentes de grupos de cobordismo , basados ​​en el estudio de un espacio considerando todos los mapas desde él hasta las variedades: cobordismo no orientado, cobordismo orientado, cobordismo complejo , etc. El cobordismo complejo ha resultado ser especialmente poderoso en la teoría de la homotopía. Está estrechamente relacionado con los grupos formales , mediante un teorema de Daniel Quillen . ${\displaystyle MO^{*}(X)}$ ${\displaystyle MSO^{*}(X),}$ ${\displaystyle MU^{*}(X),}$
• Varios tipos diferentes de teoría K topológica , basados ​​en el estudio de un espacio considerando todos los paquetes de vectores sobre él: (teoría K periódica real), (teoría K conectiva real), (teoría K periódica compleja), (teoría K conectiva compleja). -teoría), y así sucesivamente. ${\displaystyle KO^{*}(X)}$ ${\displaystyle ko^{*}(X)}$ ${\displaystyle K^{*}(X)}$ ${\displaystyle ku^{*}(X)}$
• Cohomología de Brown-Peterson , teoría K de Morava , teoría E de Morava y otras teorías construidas a partir de un cobordismo complejo.
• "Varios sabores de cohomología elíptica ".

Muchas de estas teorías contienen información más rica que la cohomología ordinaria, pero son más difíciles de calcular.

Una teoría de cohomología E se dice que es multiplicativa si tiene la estructura de un anillo graduado para cada espacio X. En el lenguaje de los espectros, existen varias nociones más precisas de espectro en anillo , como un espectro en anillo E ∞ , donde el producto es conmutativo y asociativo en un sentido fuerte. ${\displaystyle E^{*}(X)}$

Otras teorías de cohomología

Las teorías de cohomología en un sentido más amplio (invariantes de otras estructuras algebraicas o geométricas, en lugar de espacios topológicos) incluyen:

• Teoría K algebraica
• Cohomología de André-Quillen
• Cohomología limitada
• Cohomología BRST
• cohomología checa
• Cohomología de gavilla coherente
• Cohomología cristalina
• Cohomología cíclica
• cohomología deligne
• Cohomología equivalente
• Cohomología Étale
• grupos externos
• Cohomología plana
• Homología de flor
• cohomología de Galois
• Cohomología de grupo
• cohomología de Hochschild
• Cohomología de intersección
• Homología de Khovanov
• Cohomología del álgebra de mentiras
• Cohomología local
• Cohomología motívica
• Cohomología no abeliana
• Cohomología cuántica

Ver también

• teoría de la cohomología orientada a complejos

Citas

1. Hatcher 2001, pag. 108.
2. Hatcher (2001), Teorema 3.5; Dold (1972), Proposición VIII.3.3 y Corolario VIII.3.4.
3. Dold 1972, Proposiciones IV.8.12 y V.4.11.
4. Hatcher 2001, Teorema 3.11.
5. Thom 1954, págs. 62–63.
6. Thom 1954, Teorema II.29.
7. Hatcher 2001, ejemplo 3.16.
8. Hatcher 2001, Teorema 3.15.
9. Hatcher 2001, Teorema 3.19.
10. Hatcher 2001, pag. 222.
11. Hatcher 2001, ejemplo 3.7.
12. Hatcher 2001, pag. 186.
13. Hatcher 2001, Proposición 3.38.
14. Mayo de 1999, pág. 177.
15. Dieudonné 1989, Sección IV.3.
16. Hartshorne 1977, sección III.2.
17. Mayo de 1999, pág. 95.
18. Suiza 1975, pag. 117, 331, Teorema 9.27; Corolario 14.36; Observaciones.
19. "¿Son realmente los espectros lo mismo que las teorías de cohomología?". Desbordamiento matemático .
20. Suiza 1975, 7,68.

Referencias

• Dieudonné, Jean (1989), Historia de la topología algebraica y diferencial , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3388-X, señor  0995842
• Dold, Albrecht (1972), Conferencias sobre topología algebraica , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58660-9, señor  0415602
• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (1952), Fundamentos de la topología algebraica , Princeton University Press , ISBN 9780691627236, SEÑOR  0050886
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 52, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, señor  1867354
• "Cohomología", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994].
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso en topología algebraica (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, SEÑOR  1702278
• Switzer, Robert (1975), Topología algebraica: homología y homotopía , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42750-3, SEÑOR  0385836
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi :10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638^{[ enlace muerto permanente ]}