En la teoría de grupos abelianos , el subgrupo de torsión A T de un grupo abeliano A es el subgrupo de A formado por todos los elementos que tienen orden finito (los elementos de torsión de A [1] ). Un grupo abeliano A se llama grupo de torsión (o grupo periódico) si cada elemento de A tiene orden finito y se llama libre de torsión si cada elemento de A , excepto la identidad, es de orden infinito.
La prueba de que A T es cerrado bajo la operación de grupo se basa en la conmutatividad de la operación (ver la sección de ejemplos).
Si A es abeliano, entonces el subgrupo de torsión T es un subgrupo completamente característico de A y el grupo de factores A / T está libre de torsión. Existe un funtor covariante de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos de torsión que envía cada grupo a su subgrupo de torsión y cada homomorfismo a su restricción al subgrupo de torsión. Hay otro functor covariante de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos libres de torsión que envía cada grupo a su cociente por su subgrupo de torsión, y envía cada homomorfismo al homomorfismo inducido obvio (que se ve fácilmente como bien definido ).
Si A es finitamente generado y abeliano, entonces puede escribirse como la suma directa de su subgrupo de torsión T y un subgrupo libre de torsión (pero esto no es cierto para todos los grupos abelianos generados infinitamente). En cualquier descomposición de A como suma directa de un subgrupo de torsión S y un subgrupo libre de torsión, S debe ser igual a T (pero el subgrupo libre de torsión no está determinado de forma única). Este es un paso clave en la clasificación de grupos abelianos generados finitamente .
Para cualquier grupo abeliano y cualquier número primo p, el conjunto A Tp de elementos de A que tienen orden una potencia de p es un subgrupo llamado subgrupo de torsión de potencia p o, más libremente, subgrupo de torsión de p :
El subgrupo de torsión A T es isomorfo a la suma directa de sus p -subgrupos de torsión de potencia sobre todos los números primos p :
Cuando A es un grupo abeliano finito, A Tp coincide con el único subgrupo p de Sylow de A.
Cada subgrupo de torsión de potencia p de A es un subgrupo completamente característico . Más fuertemente, cualquier homomorfismo entre grupos abelianos envía cada subgrupo de torsión de potencia p al subgrupo de torsión de potencia p correspondiente .
Para cada número primo p , esto proporciona un functor de la categoría de grupos abelianos a la categoría de p -grupos de torsión de potencia que envía cada grupo a su p -subgrupo de torsión de potencia, y restringe cada homomorfismo a los p -subgrupos de torsión. El producto del conjunto de todos los números primos de la restricción de estos funtores a la categoría de grupos de torsión es un funtor fiel de la categoría de grupos de torsión al producto de todos los números primos de las categorías de p -grupos de torsión. En cierto sentido, esto significa que estudiar p -grupos de torsión de forma aislada nos dice todo sobre los grupos de torsión en general.
