Teoría de la cohomología de Weil

En geometría algebraica , una cohomología de Weil o teoría de cohomología de Weil es una cohomología que satisface ciertos axiomas relacionados con la interacción de ciclos algebraicos y grupos de cohomología. El nombre es en honor a André Weil . Cualquier teoría de cohomología de Weil factoriza únicamente a través de la categoría de motivos de Chow , pero la categoría de motivos de Chow en sí misma no es una teoría de cohomología de Weil, ya que no es una categoría abeliana .

Definición

Fijemos un cuerpo base k de característica arbitraria y un "cuerpo de coeficientes" K de característica cero. Una teoría de cohomología de Weil es un funtor contravariante

${\displaystyle H^{*}:\{{\text{smooth projective varieties over }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\}}$

que satisface los axiomas siguientes. Para cada variedad algebraica proyectiva suave X de dimensión n sobre k , entonces el K -álgebra graduado

${\displaystyle H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)}$

Se requiere satisfacer lo siguiente:

• ${\displaystyle H^{i}(X)}$es un espacio vectorial K de dimensión finita para cada entero i .

• ${\displaystyle H^{i}(X)=0}$para cada i < 0 o i > 2 n .

• ${\displaystyle H^{2n}(X)}$es isomorfo a K (el llamado mapa de orientación).

• Dualidad de Poincaré : existe un emparejamiento perfecto

${\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.}$

• Existe un isomorfismo canónico de Künneth

${\displaystyle H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).}$

• Para cada entero r , hay un mapa de ciclos definido en el grupo de ciclos algebraicos de codimensión r en X , ${\displaystyle Z^{r}(X)}$

${\displaystyle \gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),}$

que satisface ciertas condiciones de compatibilidad con respecto a la funtorialidad de H y el isomorfismo de Künneth. Si X es un punto, se requiere que la función cíclica sea la inclusión Z ⊂ K .

• Axioma débil de Lefschetz : Para cualquier sección de hiperplano suave j : W ⊂ X (es decir, W = X ∩ H , H algún hiperplano en el espacio proyectivo ambiental), las aplicaciones

${\displaystyle j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W)}$

son isomorfismos para e inyecciones para ${\displaystyle i\leqslant n-2}$ ${\displaystyle i\leqslant n-1.}$

• Axioma duro de Lefschetz : Sea W una sección de hiperplano y su imagen bajo la función de clase de ciclo. El operador de Lefschetz se define como ${\displaystyle w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)}$

${\displaystyle {\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{cases}}}$

donde el punto denota el producto en el álgebra Entonces ${\displaystyle H^{*}(X).}$

${\displaystyle L^{i}:H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)}$

es un isomorfismo para i = 1, ..., n .

Ejemplos

Existen cuatro teorías de cohomología de Weil denominadas clásicas:

• cohomología singular (= Betti) , considerando las variedades sobre C como espacios topológicos utilizando su topología analítica (ver GAGA ),

• Cohomología de De Rham sobre un cuerpo base de característica cero: sobre C definido por formas diferenciales y en general por medio del complejo de diferenciales de Kähler (ver cohomología de De Rham algebraica ),

• ${\displaystyle \ell }$-cohomología ádica para variedades sobre campos de características diferentes de , ${\displaystyle \ell }$

• cohomología cristalina .

Las demostraciones de los axiomas de la cohomología de Betti y de De Rham son relativamente fáciles y clásicas. En el caso de la cohomología -ádica, por ejemplo, la mayoría de las propiedades anteriores son teoremas profundos. ${\displaystyle \ell }$

La desaparición de los grupos de cohomología de Betti que exceden el doble de la dimensión es clara a partir del hecho de que una variedad (compleja) de dimensión compleja n tiene dimensión real 2 n , por lo que estos grupos de cohomología superiores se desvanecen (por ejemplo, comparándolos con la (co)homología simple ).

El mapa de ciclos de De Rham también tiene una explicación realista: dada una subvariedad Y de codimensión compleja r en una variedad completa X de dimensión compleja n , la dimensión real de Y es 2 n −2 r , por lo que se puede integrar cualquier forma diferencial (2 n −2 r ) a lo largo de Y para producir un número complejo . Esto induce un funcional lineal . Por la dualidad de Poincaré, dar un funcional de este tipo es equivalente a dar un elemento de ; ese elemento es la imagen de Y bajo el mapa de ciclos. ${\displaystyle \textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{2r}(X)}$

Véase también

• Fundamentos de la geometría algebraica

Referencias

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523(contiene pruebas de todos los axiomas de la cohomología de Betti y de-Rham)
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7(ídem para cohomología l -ádica)
• Kleiman, SL (1968), "Ciclos algebraicos y conjeturas de Weil", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 359–386, MR  0292838