Diferencial Kähler

Forma diferencial en álgebra conmutativa

En matemáticas , las diferenciales de Kähler proporcionan una adaptación de las formas diferenciales a anillos o esquemas conmutativos arbitrarios . El concepto fue introducido por Erich Kähler en la década de 1930. Fue adoptado como estándar en álgebra conmutativa y geometría algebraica un poco más tarde, una vez que se sintió la necesidad de adaptar métodos del cálculo y la geometría sobre los números complejos a contextos donde tales métodos no están disponibles.

Definición

Sean R y S anillos conmutativos y φ  : R → S un homomorfismo de anillos . Un ejemplo importante es el de R, un cuerpo , y S, un álgebra unital sobre R (como el anillo de coordenadas de una variedad afín ). Las diferenciales de Kähler formalizan la observación de que las derivadas de polinomios son nuevamente polinómicas. En este sentido, la diferenciación es una noción que puede expresarse en términos puramente algebraicos. Esta observación puede convertirse en una definición del módulo.

${\displaystyle \Omega _{S/R}}$

de diferenciales de maneras diferentes, pero equivalentes.

Definición mediante derivaciones

Una derivación R -lineal sobre S es un homomorfismo de módulo R con un módulo S M que satisface la regla de Leibniz (de esta definición se sigue automáticamente que la imagen de R está en el núcleo de d ^[1] ). El módulo de las diferenciales de Kähler se define como el módulo S para el que existe una derivación universal . Como ocurre con otras propiedades universales , esto significa que d es la mejor derivación posible en el sentido de que cualquier otra derivación puede obtenerse a partir de ella por composición con un homomorfismo de módulo S. En otras palabras, la composición con d proporciona, para cada módulo S M , un isomorfismo de módulo S. ${\displaystyle d:S\to M}$ ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$ ${\displaystyle \Omega _{S/R}}$ ${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Una construcción de Ω _{S / R} y d se realiza construyendo un módulo S libre con un generador formal ds para cada s en S , e imponiendo las relaciones

• dr = 0 ,
• d ( s + t ) = ds + dt ,
• d ( st ) = s dt + t ds ,

para todo r en R y todo s y t en S . La derivación universal envía s a ds . Las relaciones implican que la derivación universal es un homomorfismo de R -módulos.

Definición utilizando el ideal de aumento

Otra construcción procede dejando que I sea el ideal en el producto tensorial definido como el núcleo del mapa de multiplicación. ${\displaystyle S\otimes _{R}S}$

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

Entonces el módulo de los diferenciales de Kähler de S se puede definir de manera equivalente por ^[2]

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

y la derivación universal es el homomorfismo d definido por

${\displaystyle ds=1\otimes s-s\otimes 1.}$

Esta construcción es equivalente a la anterior porque I es el núcleo de la proyección

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

Así que tenemos:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

Entonces puede identificarse con I por el mapa inducido por la proyección complementaria ${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

Esto identifica a I con el módulo S generado por los generadores formales ds para s en S , sujeto a que d es un homomorfismo de módulos R que envía cada elemento de R a cero. Tomar el cociente por I ² impone precisamente la regla de Leibniz.

Ejemplos y datos básicos

Para cualquier anillo conmutativo R , las diferenciales de Kähler del anillo polinomial son un S -módulo libre de rango n generado por las diferenciales de las variables: ${\displaystyle S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}$

Las diferenciales de Kähler son compatibles con la extensión de escalares , en el sentido de que para una segunda R -álgebra R ′ y para , existe un isomorfismo ${\displaystyle S'=R'\otimes _{R}S}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}$

Como caso particular de esto, los diferenciales de Kähler son compatibles con las localizaciones , lo que significa que si W es un conjunto multiplicativo en S , entonces hay un isomorfismo

${\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}$

Dados dos homomorfismos de anillo , existe una secuencia corta y exacta de T -módulos ${\displaystyle R\to S\to T}$

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}$

Si para algún ideal I , el término se desvanece y la secuencia puede continuar hacia la izquierda de la siguiente manera: ${\displaystyle T=S/I}$ ${\displaystyle \Omega _{T/S}}$

${\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}$

Una generalización de estas dos secuencias exactas cortas la proporciona el complejo cotangente .

La última secuencia y el cálculo anterior para el anillo polinómico permiten el cálculo de las diferenciales de Kähler de R -álgebras finitamente generadas . Brevemente, estas son generadas por las diferenciales de las variables y tienen relaciones que provienen de las diferenciales de las ecuaciones. Por ejemplo, para un solo polinomio en una sola variable, ${\displaystyle T=R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$

${\displaystyle \Omega _{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)\,dt.}$

Diferenciales de Kähler para esquemas

Debido a que las diferenciales de Kähler son compatibles con la localización, se pueden construir en un esquema general realizando cualquiera de las dos definiciones anteriores en subesquemas abiertos afines y pegado. Sin embargo, la segunda definición tiene una interpretación geométrica que se globaliza inmediatamente. En esta interpretación, I representa el ideal que define la diagonal en el producto de fibra de Spec( S ) consigo mismo sobre Spec( S ) → Spec( R ) . Por lo tanto, esta construcción tiene un sabor más geométrico, en el sentido de que la noción de primer vecindario infinitesimal de la diagonal se captura de este modo, a través de funciones que se desvanecen módulo funciones que se desvanecen al menos hasta el segundo orden (ver espacio cotangente para nociones relacionadas). Además, se extiende a un morfismo general de esquemas al establecer que sea el ideal de la diagonal en el producto de fibra . El haz cotangente , junto con la derivación definida análogamente a antes, es universal entre las derivaciones -lineales de -módulos. Si U es un subesquema afín abierto de X cuya imagen en Y está contenida en un subesquema afín abierto V , entonces el haz cotangente se restringe a un haz en U que es igualmente universal. Es por tanto el haz asociado al módulo de las diferenciales de Kähler para los anillos subyacentes a U y V . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

De manera similar al caso del álgebra conmutativa, existen sucesiones exactas asociadas a morfismos de esquemas. Dados morfismos y de esquemas existe una sucesión exacta de haces en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

Además, si es un subesquema cerrado dado por el haz ideal , entonces y hay una secuencia exacta de haces en ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \Omega _{Y/Z}|_{X}\to \Omega _{X/Z}\to 0}$

Ejemplos

Extensiones de campos finitos separables

Si es una extensión de campo finito, entonces si y solo si es separable. En consecuencia, si es una extensión de campo finito separable y es una variedad (o esquema) suave, entonces la secuencia cotangente relativa ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \Omega _{K/k}^{1}=0}$ ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \pi :Y\to \operatorname {Spec} (K)}$

${\displaystyle \pi ^{*}\Omega _{K/k}^{1}\to \Omega _{Y/k}^{1}\to \Omega _{Y/K}^{1}\to 0}$

prueba . ${\displaystyle \Omega _{Y/k}^{1}\cong \Omega _{Y/K}^{1}}$

Módulos cotangentes de una variedad proyectiva

Dado un esquema proyectivo , su haz cotangente se puede calcular a partir de la gavillación del módulo cotangente en el álgebra graduada subyacente. Por ejemplo, considere la curva compleja ${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /\mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)=\operatorname {Proj} (R)}$

entonces podemos calcular el módulo cotangente como

${\displaystyle \Omega _{R/\mathbb {C} }={\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy\oplus R\cdot dz}{nx^{n-1}dx+ny^{n-1}dy-nz^{n-1}dz}}}$

Entonces,

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }={\widetilde {\Omega _{R/\mathbb {C} }}}}$

Morfismos de esquemas

Considere el morfismo

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)=\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])=Y}$

en . Entonces, usando la primera secuencia vemos que ${\displaystyle \operatorname {Sch} /\mathbb {C} }$

${\displaystyle {\widetilde {R\cdot dt}}\to {\widetilde {\frac {R\cdot dt\oplus R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy-dt}}}\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

por eso

${\displaystyle \Omega _{X/Y}={\widetilde {\frac {R\cdot dx\oplus R\cdot dy}{ydx+xdy}}}}$

Formas diferenciales superiores y cohomología de Rham algebraica

complejo de rham

Como antes, fija un mapa . Las formas diferenciales de grado superior se definen como las potencias exteriores (sobre ), ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

La derivación se extiende de forma natural a una secuencia de mapas. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

satisfactorio Este es un complejo de cocadena conocido como complejo de De Rham . ${\displaystyle d\circ d=0.}$

El complejo de De Rham disfruta de una estructura multiplicativa adicional, el producto de cuña.

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

Esto convierte al complejo de De Rham en un álgebra graduada diferencial conmutativa . También tiene una estructura de coalgebra heredada de la del álgebra exterior . ^[3]

Cohomología de De Rham

La hipercohomología del complejo de haces de De Rham se denomina cohomología algebraica de De Rham de X sobre Y y se denota por o simplemente si Y se desprende claramente del contexto. (En muchas situaciones, Y es el espectro de un campo de característica cero). La cohomología algebraica de De Rham fue introducida por Grothendieck (1966a). Está estrechamente relacionada con la cohomología cristalina . ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$

Como es conocido a partir de la cohomología coherente de otros haces cuasi-coherentes, el cálculo de la cohomología de De Rham se simplifica cuando X = Spec S e Y = Spec R son esquemas afines. En este caso, debido a que los esquemas afines no tienen una cohomología superior, se puede calcular como la cohomología del complejo de grupos abelianos ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

que son, terminológicamente, las secciones globales de las haces . ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$

Para tomar un ejemplo muy particular, supongamos que es el grupo multiplicativo sobre Debido a que este es un esquema afín, la hipercohomología se reduce a la cohomología ordinaria. El complejo algebraico de De Rham es ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

La diferencial d obedece las reglas usuales del cálculo, lo que significa que el núcleo y el conúcleo calculan la cohomología de De Rham algebraica, por lo que ${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

y todos los demás grupos de cohomología de De Rham algebraicos son cero. A modo de comparación, los grupos de cohomología de De Rham algebraicos de son mucho más grandes, es decir, ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

Dado que los números de Betti de estos grupos de cohomología no son los esperados, se desarrolló la cohomología cristalina para remediar este problema; define una teoría de cohomología de Weil sobre campos finitos.

Teorema de comparación de Grothendieck

Si X es una variedad algebraica compleja suave , existe un mapa de comparación natural de complejos de haces

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

entre el complejo de De Rham algebraico y el complejo de De Rham suave definido en términos de formas diferenciales (de valor complejo) en , la variedad compleja asociada a X . Aquí, denota el funtor de analitificación complejo. Esta función está lejos de ser un isomorfismo. No obstante, Grothendieck (1966a) demostró que la función de comparación induce un isomorfismo ${\displaystyle X^{\text{an}}}$ ${\textstyle (-)^{\text{an}}}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

de la cohomología algebraica a la cohomología de De Rham suave (y, por lo tanto, a la cohomología singular por el teorema de De Rham ). En particular, si X es una variedad algebraica afín suave incluida en , entonces la inclusión del subcomplejo de formas diferenciales algebraicas en el de todas las formas suaves en X es un cuasi-isomorfismo . Por ejemplo, si ${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$ ${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$,

entonces, como se muestra arriba, el cálculo de la cohomología algebraica de De Rham da generadores explícitos para y , respectivamente, mientras que todos los demás grupos de cohomología se desvanecen. Dado que X es homotópicamente equivalente a un círculo , esto es como lo predice el teorema de Grothendieck. ${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$

Se pueden encontrar contraejemplos en el caso singular con singularidades no Du Bois, como el anillo graduado con donde y . ^[4] Se pueden encontrar otros contraejemplos en curvas planas algebraicas con singularidades aisladas cuyos números de Milnor y Tjurina no son iguales. ^[5] ${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \deg(y)=3}$ ${\displaystyle \deg(x)=2}$

Cisinski y Déglise (2013) dieron una prueba del teorema de Grothendieck utilizando el concepto de una teoría de cohomología de Weil mixta.

Aplicaciones

Divisor canónico

Si X es una variedad suave sobre un cuerpo k , ^{[ aclaración necesaria ]} entonces es un fibrado vectorial (es decir, un módulo localmente libre ) de rango igual a la dimensión de X . Esto implica, en particular, que ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

es un fibrado lineal o, equivalentemente, un divisor . Se lo denomina divisor canónico . El divisor canónico es, como se ha demostrado, un complejo dualizante y, por lo tanto, aparece en varios teoremas importantes de la geometría algebraica, como la dualidad de Serre o la dualidad de Verdier .

Clasificación de curvas algebraicas

El género geométrico de una variedad algebraica suave X de dimensión d sobre un cuerpo k se define como la dimensión

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

Para las curvas, esta definición puramente algebraica concuerda con la definición topológica (para ) como el "número de asas" de la superficie de Riemann asociada a X . Existe una tricotomía bastante marcada de propiedades geométricas y aritméticas dependiendo del género de una curva, para g siendo 0 ( curvas racionales ), 1 ( curvas elípticas ) y mayor que 1 (superficies de Riemann hiperbólicas, incluidas las curvas hiperelípticas ), respectivamente. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Fibrado tangente y teorema de Riemann-Roch

El fibrado tangente de una variedad suave X es, por definición, el dual del haz cotangente . El teorema de Riemann-Roch y su generalización de largo alcance, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , contienen como ingrediente crucial la clase de Todd del fibrado tangente. ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$

Morfismos no ramificados y suaves

El haz de diferenciales está relacionado con varias nociones algebro-geométricas. Un morfismo de esquemas no se ramifica si y solo si es cero. ^[6] Un caso especial de esta afirmación es que para un cuerpo k , es separable sobre k si y solo si , lo que también se puede leer a partir del cálculo anterior. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle K:=k[t]/f}$ ${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$

Un morfismo f de tipo finito es un morfismo suave si es plano y si es un módulo localmente libre de rango apropiado. El cálculo anterior muestra que la proyección desde el espacio afín es suave. ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$

Periodos

Los períodos son, en términos generales, integrales de ciertas formas diferenciales definidas aritméticamente. ^[7] El ejemplo más simple de un período es, que surge como ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

La cohomología algebraica de De Rham se utiliza para construir períodos como sigue: ^[8] Para una variedad algebraica X definida sobre la compatibilidad mencionada anteriormente con el cambio de base produce un isomorfismo natural ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

Por otra parte, el grupo de cohomología de la derecha es isomorfo a la cohomología de De Rham de la variedad compleja asociada a X , denotada aquí Otro resultado clásico, el teorema de De Rham , afirma un isomorfismo del último grupo de cohomología con cohomología singular (o cohomología de haz) con coeficientes complejos, , que por el teorema del coeficiente universal es a su vez isomorfo a La composición de estos isomorfismos produce dos espacios vectoriales racionales que, después de tensarse con se vuelven isomorfos. Eligiendo bases de estos subespacios racionales (también llamados retículos), el determinante de la matriz de cambio de base es un número complejo, bien definido hasta la multiplicación por un número racional. Tales números son períodos . ${\displaystyle X^{\text{an}}}$ ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$ ${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Teoría algebraica de números

En la teoría de números algebraicos , las diferenciales de Kähler pueden utilizarse para estudiar la ramificación en una extensión de cuerpos de números algebraicos . Si L / K es una extensión finita con anillos de números enteros R y S respectivamente, entonces el ideal diferente δ _{L / K} , que codifica los datos de ramificación, es el aniquilador del módulo R Ω _{R / S} : ^[9]

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$

Nociones relacionadas

La homología de Hochschild es una teoría de homología para anillos asociativos que resulta estar estrechamente relacionada con los diferenciales de Kähler. Esto se debe al teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg, que establece que la homología de Hochschild de un álgebra de una variedad suave es isomorfa al complejo de-Rham para un cuerpo de característica . Una mejora derivada de este teorema establece que la homología de Hochschild de un álgebra graduada diferencial es isomorfa al complejo de-Rham derivado. ${\displaystyle HH_{\bullet }(R)}$ ${\displaystyle \Omega _{R/k}^{\bullet }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$

El complejo de De Rham-Witt es, en términos muy generales, una mejora del complejo de De Rham para el anillo de vectores de Witt .

Notas

1. "Proyecto Stacks" . Consultado el 21 de noviembre de 2022 .
2. Hartshorne (1977, pág. 172)
3. Laurent-Gengoux, C.; Pichereau, A.; Vanhaecke, P. (2013), Estructuras de Poisson , §3.2.3: Springer, ISBN 978-3-642-31090-4{{citation}}: CS1 maint: location (link)
4. "cohomología algebraica de De Rham de variedades singulares", mathoverflow.net
5. Arapura, Donu; Kang, Su-Jeong (2011), "Cohomología de Kähler-de Rham y clases de Chern" (PDF) , Communications in Algebra , 39 (4): 1153–1167, doi :10.1080/00927871003610320, MR  2782596, S2CID  15924437, archivado desde el original (PDF) el 2015-11-12
6. Milne, James , Cohomología de Etale , Proposición I.3.5{{citation}}: CS1 maint: location (link);Se supone que el mapa f es localmente de tipo finito para esta declaración.
7. André, Yves (2004), Una introducción a los motivos , Parte III: Société Mathématique de France
8. Periodos y motivos Nori (PDF) , Ejemplos elementales
9. Neukirch (1999, pág. 201)

Referencias

• Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2013), "Cohomologías de Weil mixtas", Advances in Mathematics , 230 (1): 55–130, arXiv : 0712.3291 , doi : 10.1016/j.aim.2011.10.021

• Grothendieck, Alexander (1966a), "Sobre la cohomología de variedades algebraicas de De Rham", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 29 (29): 95–103, doi :10.1007/BF02684807, ISSN  0073-8301, MR  0199194, S2CID  123434721(carta a Michael Atiyah , 14 de octubre de 1963)

• Grothendieck, Alexander (1966b), Carta a John Tate (PDF)

• Grothendieck, Alexander (1968), "Cristales y la cohomología de esquemas de De Rham" (PDF) , en Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander ; Kleiman, Steven L. ; et al. (eds.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Estudios avanzados en matemáticas puras, vol. 3, Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 306–358, MR  0269663
• Johnson, James (1969), "Diferenciales de Kähler y álgebra diferencial", Anales de Matemáticas , 89 (1): 92–98, doi :10.2307/1970810, JSTOR  1970810, Zbl  0179.34302
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Matsumura, Hideyuki (1986), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge University Press
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021
• Rosenlicht, M. (1976), "Sobre la teoría de funciones elementales de Liouville" (PDF) , Pacific Journal of Mathematics , 65 (2): 485–492, doi : 10.2140/pjm.1976.65.485 , Zbl  0318.12107
• Fu, Guofeng; Halás, Miroslav; Li, Ziming (2011), "Algunas observaciones sobre diferenciales de Kähler y diferenciales ordinarios en sistemas de control no lineales", Systems and Control Letters , 60 : 699–703, doi :10.1016/j.sysconle.2011.05.006

Enlaces externos

• Notas sobre la cohomología de-Rham algebraica p-ádica: proporciona muchos cálculos sobre la característica 0 como motivación
• Un hilo dedicado a la relación entre formas diferenciales algebraicas y analíticas.
• Diferenciales (proyecto Stacks)