En geometría algebraica , una curva hiperelíptica es una curva algebraica de género g > 1, dada por una ecuación de la forma
Una función hiperelíptica es un elemento del campo funcional de dicha curva, o de la variedad jacobiana de la curva; Estos dos conceptos son idénticos para funciones elípticas , pero diferentes para funciones hiperelípticas.
El grado del polinomio determina el género de la curva: un polinomio de grado 2 g + 1 o 2 g + 2 da una curva de género g . Cuando el grado es igual a 2 g + 1, la curva se llama curva hiperelíptica imaginaria . Mientras tanto, una curva de grado 2 g + 2 se denomina curva hiperelíptica real . Esta afirmación sobre el género sigue siendo cierta para g = 0 o 1, pero esos casos especiales no se denominan "hiperelípticos". En el caso g = 1 (si se elige un punto distinguido), dicha curva se llama curva elíptica .
Si bien este modelo es la forma más sencilla de describir curvas hiperelípticas, dicha ecuación tendrá un punto singular en el infinito en el plano proyectivo . Esta característica es específica del caso n > 3. Por lo tanto, al dar una ecuación de este tipo para especificar una curva no singular, casi siempre se supone que un modelo no singular (también llamado terminación suave ), equivalente en el sentido de Se entiende por geometría biracional .
Para ser más precisos, la ecuación define una extensión cuadrática de C ( x ), y es ese campo de función al que se refiere. El punto singular en el infinito se puede eliminar (ya que es una curva) mediante el proceso de normalización ( cierre integral ). Resulta que después de hacer esto, queda una cubierta abierta de la curva por dos gráficos afines: el que ya está dado por
Los mapas de pegado entre los dos gráficos están dados por
De hecho, se supone una taquigrafía geométrica, definiéndose la curva C como una doble cobertura ramificada de la línea proyectiva , ocurriendo la ramificación en las raíces de f , y también para n impar en el punto del infinito. De esta manera se pueden unificar los casos n = 2 g + 1 y 2 g + 2, ya que también podríamos usar un automorfismo del plano proyectivo para alejar cualquier punto de ramificación del infinito.
Usando la fórmula de Riemann-Hurwitz , la curva hiperelíptica con género g se define mediante una ecuación con grado n = 2 g + 2. Supongamos que f : X → P 1 es una cobertura ramificada con grado de ramificación 2 , donde X es una curva con género g y P 1 es la esfera de Riemann . Sea g 1 = g y g 0 el género de P 1 ( = 0 ), entonces la fórmula de Riemann-Hurwitz resulta ser
donde s está sobre todos los puntos ramificados en X. El número de puntos ramificados es n , entonces n = 2 g + 2.
Todas las curvas del género 2 son hiperelípticas, pero para el género ≥ 3 la curva genérica no es hiperelíptica. Esto se ve heurísticamente mediante una verificación de dimensión del espacio de módulos . Contando constantes, con n = 2 g + 2, el conjunto de n puntos sujetos a la acción de los automorfismos de la recta proyectiva tiene (2 g + 2) − 3 grados de libertad, lo que es menor que 3 g − 3, la número de módulos de una curva de género g , a menos que g sea 2. Se sabe mucho más sobre el lugar hiperelíptico en el espacio de módulos de curvas o variedades abelianas , [ se necesita aclaración ] aunque es más difícil exhibir curvas generales no hiperelípticas con curvas simples modelos. [1] Una caracterización geométrica de las curvas hiperelípticas es a través de los puntos de Weierstrass . La geometría más detallada de las curvas no hiperelípticas se lee en la teoría de las curvas canónicas , siendo el mapeo canónico 2 a 1 en las curvas hiperelípticas pero 1 a 1 en caso contrario para g > 2. Las curvas trigonales son aquellas que corresponden a tomar una raíz cúbica, en lugar de raíz cuadrada, de un polinomio.
La definición por extensiones cuadráticas del campo de funciones racionales funciona para campos en general excepto en la característica 2; en todos los casos está disponible la definición geométrica como doble cubierta ramificada de la línea proyectiva, si se supone que la extensión es separable.
Las curvas hiperelípticas se pueden utilizar en criptografía de curvas hiperelípticas para criptosistemas basados en el problema del logaritmo discreto .
También aparecen curvas hiperelípticas que componen componentes enteros conectados de ciertos estratos del espacio de módulos de los diferenciales abelianos. [2]
Se utilizó la hiperelipticidad de las curvas de género 2 para probar la conjetura del área de llenado de Gromov en el caso de empastes de género =1.
Las curvas hiperelípticas de un género g dado tienen un espacio de módulos, estrechamente relacionado con el anillo de invariantes de una forma binaria de grado 2 g +2. [ especificar ]
Las funciones hiperelípticas fueron publicadas por primera vez [ cita necesaria ] por Adolph Göpel (1812-1847) en su último artículo Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Trascendentes abelianos de primer orden) (en Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 35, 1847). Independientemente, Johann G. Rosenhain trabajó en ese asunto y publicó Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (en Mémoires des savants etc., vol. 11, 1851).
