Curva hiperelíptica real

En matemáticas, existen dos tipos de curvas hiperelípticas , una clase de curvas algebraicas : curvas hiperelípticas reales y curvas hiperelípticas imaginarias que se diferencian por el número de puntos en el infinito. Existen curvas hiperelípticas para cada género . La fórmula general de la curva hiperelíptica sobre un campo finito viene dada por ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$

punto en el infinito ${\displaystyle h(x),f(x)\in K}$

Definición

Una curva hiperelíptica real de género g sobre K se define mediante una ecuación de la forma donde tiene un grado no mayor que g +1 mientras que debe tener un grado 2 g +1 o 2 g +2. Esta curva es una curva no singular donde ningún punto en el cierre algebraico de satisface la ecuación de la curva y ambas ecuaciones derivadas parciales : y . El conjunto de puntos racionales (finitos) en C está dado por ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle h(x)\in K}$ ${\displaystyle f(x)\in K}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle 2y+h(x)=0}$ ${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle C(K)=\left\{(a,b)\in K^{2}\mid b^{2}+h(a)b=f(a)\right\}\cup S}$$

x a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \infty _{1}}$ ${\displaystyle \infty _{2}}$ ${\displaystyle P(a,b)\in C(K)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-b-h)}$

Ejemplo

deja donde ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$

$${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x=x(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)(x+3)}$$

g ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \deg f(x)=2g+2}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle C}$

La versión homogénea de la ecuación de la curva viene dada por

$${\displaystyle Y^{2}Z^{4}=X^{6}+3X^{5}Z-5X^{4}Z^{2}-15X^{3}Z^{3}+4X^{2}Z^{4}+12XZ^{5}.}$$

ampliación ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \infty _{1}}$ ${\displaystyle \infty _{2}}$

En general, cada curva dada por una ecuación donde f tiene grado par tiene dos puntos en el infinito y es una curva hiperelíptica real, mientras que aquellas donde f tiene grado impar tienen un solo punto en la ampliación sobre (0:1:0) y son por tanto, curvas hiperelípticas imaginarias . En ambos casos, esto supone que la parte afín de la curva no es singular (consulte las condiciones de las derivadas anteriores)

Aritmética en una curva hiperelíptica real

En la curva hiperelíptica real, la suma ya no se define en puntos como en las curvas elípticas sino en divisores y el jacobiano . Sea una curva hiperelíptica de género g sobre un campo finito K . Un divisor de es una suma finita formal de puntos de . Nosotros escribimos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$$

${\displaystyle n_{P}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n_{p}=0}$ ${\displaystyle P}$

El grado de está definido por ${\textstyle D=\sum _{P\in C}{n_{P}P}}$

$${\displaystyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{n_{P}}.}$$

${\displaystyle D}$los automorfismosgrupo abeliano ${\displaystyle K}$ ${\textstyle D^{\sigma }=\sum _{P\in C}n_{P}P^{\sigma }=D}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Div(K)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \sum a_{P}P+\sum b_{P}P=\sum {(a_{P}+b_{P})P}.}$$

El conjunto de todos los divisores de grado cero de definido sobre es un subgrupo de . ${\displaystyle Div^{0}(K)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Div(K)}$

Tomemos un ejemplo:

Deja y . Si los sumamos entonces . El grado de es y el grado de es . Entonces, ${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$ ${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}+D_{2}=7P_{1}+9P_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle \deg(D_{1})=6+4=10}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle \deg(D_{2})=1+5=6}$ ${\displaystyle \deg(D_{1}+D_{2})=\deg(D_{1})+\deg(D_{2})=16.}$

Para polinomios , el divisor de está definido por ${\displaystyle G\in K[C]}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle \mathrm {div} (G)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} }_{P}(G)P.}$$

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -{\mathrm {ord} }_{P}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle K[C]}$ ${\displaystyle F=G/H}$ ${\displaystyle \mathrm {div} (F)=\mathrm {div} (G)-\mathrm {div} (H)}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle P(K)=\{\mathrm {div} (F)\mid F\in K(C)\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J=Div^{0}/P}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J(K)}$ ${\displaystyle {\overline {D}}\in J(K)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Div^{0}(K)/P(K)}$

Hay dos formas canónicas de representar clases de divisores para curvas hiperelípticas reales que tienen dos puntos infinitos . El primero es representar un divisor de grado cero tal que , donde , y si El representante de entonces se llama semireducido. Si cumple la condición adicional entonces el representante se llama reducido. ^[1] Aviso que está permitido para algunos i . De ello se deduce que cada clase de divisor de grado 0 contiene un representante único con ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S=\{\infty _{1},\infty _{2}\}}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\textstyle D=\sum _{i=1}^{r}P_{i}-r\infty _{2}}$ ${\displaystyle P_{i}\in C({\bar {\mathbb {F} }}_{q})}$ ${\displaystyle P_{i}\not =\infty _{2}}$ ${\displaystyle P_{i}\not ={\bar {P_{j}}}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r\leq g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P_{i}=\infty _{1}}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$

$${\displaystyle D=D_{x}-\deg(D_{x})\infty _{2}+v_{1}(D)(\infty _{1}-\infty _{2}),}$$

${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle \infty _{1}}$ ${\displaystyle \infty _{2}}$ ${\displaystyle 0\leq \deg(D_{x})+v_{1}(D)\leq g}$

La otra representación está equilibrada en el infinito. Tengamos en cuenta que este divisor es racional incluso si los puntos y no lo son independientemente. Escribe el representante de la clase como , donde se llama parte afín y no contiene y , y let . si es par entonces ${\displaystyle D_{\infty }=\infty _{1}+\infty _{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \infty _{1}}$ ${\displaystyle \infty _{2}}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D=D_{1}+D_{\infty }}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle \infty _{1}}$ ${\displaystyle \infty _{2}}$ ${\displaystyle d=\deg(D_{1})}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d}{2}}(\infty _{1}+\infty _{2}).}$$

Si es extraño entonces ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle D_{\infty }={\frac {d+1}{2}}\infty _{1}+{\frac {d-1}{2}}\infty _{2}.}$$

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}}$y ${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}}$

entonces los divisores balanceados son

${\displaystyle D_{1}=6P_{1}+4P_{2}-5D_{\infty _{1}}-5D_{\infty _{2}}}$y ${\displaystyle D_{2}=1P_{1}+5P_{2}-3D_{\infty _{1}}-3D_{\infty _{2}}}$

Transformación de curva hiperelíptica real a curva hiperelíptica imaginaria

Sea una curva cuadrática real sobre un campo . Si existe un divisor primo ramificado de grado 1, entonces podemos realizar una transformación biracional a una curva cuadrática imaginaria. Se dice que un punto (finito o infinito) está ramificado si es igual a su propio opuesto. Significa eso , es decir, eso . Si es ramificado entonces es un divisor primo ramificado. ^[2] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P=(a,b)={\overline {P}}=(a,-b-h(a))}$ ${\displaystyle h(a)+2b=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D=P-\infty _{1}}$

La curva hiperelíptica real de género con un punto finito racional ramificado es biracionalmente equivalente a un modelo imaginario de género , es decir, y los campos funcionales son iguales . ^[3] Aquí: ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle C':y'^{2}+{\bar {h}}(x')y'={\bar {f}}(x')}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \deg({\bar {f}})=2g+1}$ ${\displaystyle K(C)=K(C')}$

En nuestro ejemplo , h ( x ) es igual a 0. Para cualquier punto , es igual a 0, por lo que el requisito para que P esté ramificado es . Sustituyendo y obtenemos , donde , es decir, . ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{6}+3x^{5}-5x^{4}-15x^{3}+4x^{2}+12x}$ ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle h(a)}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle h(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f(a)=a(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)(a+3)}$ ${\displaystyle a\in \{0,1,2,-1,-2,-3\}}$

De ( i ), obtenemos y . Para g = 2, tenemos . ${\textstyle x={\frac {ax'+1}{x'}}}$ ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{g+1}}}}$ ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$

Por ejemplo, sean entonces y , obtenemos ${\displaystyle a=1}$ ${\textstyle x={\frac {x'+1}{x'}}}$ ${\textstyle y={\frac {y'}{x'^{3}}}}$

$${\displaystyle \left({\frac {y'}{x'^{3}}}\right)^{2}={\frac {x'+1}{x'}}\left({\frac {x'+1}{x'}}+1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+2\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}+3\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-1\right)\left({\frac {x'+1}{x'}}-2\right).}$$

Para quitar los denominadores esta expresión se multiplica por , entonces: ${\displaystyle x^{6}}$

$${\displaystyle y'^{2}=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')}$$

$${\displaystyle C':y'^{2}={\bar {f}}(x')}$$

$${\displaystyle {\bar {f}}(x')=(x'+1)(2x'+1)(3x'+1)(4x'+1)(1)(1-x')=-24x'^{5}-26x'^{4}+15x'^{3}+25x'^{2}+9x'+1.}$$

${\displaystyle C'}$es una curva cuadrática imaginaria ya que tiene grado . ${\displaystyle {\bar {f}}(x')}$ ${\displaystyle 2g+1}$

Referencias

1. Erickson, Stefan; Jacobson, Michael J., Jr.; Stein, Andreas (2011). "Fórmulas explícitas para curvas hiperelípticas reales del género 2 en representación afín". Avances en Matemáticas de las Comunicaciones . 5 (4): 623–666. doi :10.3934/amc.2011.5.623. SEÑOR  2855275.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Jacobson, Michael J. Jr.; Scheidler, Renate; Stein, Andreas (2010). "Aspectos criptográficos de curvas hiperelípticas reales". Publicaciones matemáticas de las montañas Tatra . 47 : 31–65. doi :10.2478/v10127-010-0030-9. SEÑOR  2791633.
3. Galbraith, Steven D.; Lin, Xibin; Morales, David J. Mireles (2008). "Emparejamientos sobre curvas hiperelípticas con un modelo real". En Galbraith, Steven D.; Paterson, Kenneth G. (eds.). Criptografía basada en emparejamiento: emparejamiento 2008, Segunda Conferencia Internacional, Egham, Reino Unido, 1 al 3 de septiembre de 2008. Actas . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 5209. Saltador. págs. 265–281. doi :10.1007/978-3-540-85538-5_18. SEÑOR  2733918.