Morfismo suave

En geometría algebraica , se dice que un morfismo entre esquemas es suave si ${\displaystyle f:X\to S}$

• (i) es localmente de presentación finita
• (ii) es plano , y
• (iii) para cada punto geométrico la fibra es regular. ${\displaystyle {\overline {s}}\to S}$ ${\displaystyle X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}}$

(iii) significa que cada fibra geométrica de f es una variedad no singular (si está separada). Así, intuitivamente hablando, un morfismo suave da una familia plana de variedades no singulares.

Si S es el espectro de un cuerpo algebraicamente cerrado y f es de tipo finito, entonces se recupera la definición de variedad no singular.

Una variedad singular se llama suavizable si se puede colocar en una familia plana de modo que todas las fibras cercanas sean lisas. Esta familia se llama variedad suavizada.

Definiciones equivalentes

Existen muchas definiciones equivalentes de morfismo suave. Sea localmente de presentación finita. Entonces los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle f:X\to S}$

1. f es suave.
2. f es formalmente suave (ver más abajo).
3. f es plano y el haz de diferenciales relativos está localmente libre de rango igual a la dimensión relativa de . ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle X/S}$
4. Para cualquiera , existe una vecindad de x y una vecindad tal que y el ideal generado por los m -by - m menores de es B. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})}$ ${\displaystyle (\partial P_{i}/\partial t_{j})}$
5. Localmente, f influye en donde g es étale. ${\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S}$

Un morfismo de tipo finito es étale si y sólo si es suave y cuasi-finito .

Un morfismo suave es estable ante el cambio de base y la composición.

Un morfismo suave es universalmente localmente acíclico .

Ejemplos

Se supone que los morfismos suaves corresponden geométricamente a inmersiones suaves en geometría diferencial; es decir, son fibraciones suaves localmente triviales sobre algún espacio base (según el teorema de Ehresmann ).

Suave morfismo hasta cierto punto

Sea el morfismo de los esquemas. ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

Es suave debido a la condición jacobiana: la matriz jacobiana

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

desaparece en los puntos que tiene una intersección vacía con el polinomio, ya que ${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

que son ambos distintos de cero.

Fibraciones triviales

Dado un esquema suave, el morfismo de proyección. ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\times X\to X}$

es suave.

Paquetes de vectores

Cada paquete de vectores sobre un esquema es un morfismo suave. Por ejemplo, se puede demostrar que el paquete de vectores asociado de over es el espacio proyectivo ponderado menos un punto ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

enviando

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

Observe que las cestas de suma directa se pueden construir utilizando el producto de fibra ${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

Extensiones de campo separables

Recuerde que una extensión de campo se llama separable si dada una presentación ${\displaystyle K\to L}$

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

tenemos eso . Podemos reinterpretar esta definición en términos de diferenciales de Kähler de la siguiente manera: la extensión del campo es separable si y solo ${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0}$

Observe que esto incluye todos los campos perfectos: campos finitos y campos de característica 0.

No ejemplos

Variedades singulares

Si consideramos el álgebra subyacente para una variedad proyectiva , llamada cono afín de , entonces el punto en el origen es siempre singular. Por ejemplo, considere el cono afín de un quíntico dado por ${\displaystyle {\text{Spec}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

Entonces la matriz jacobiana viene dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

que desaparece en el origen, por tanto el cono es singular. Las hipersuperficies afines como estas son populares en la teoría de la singularidad debido a su álgebra relativamente simple pero ricas estructuras subyacentes.

Otro ejemplo de variedad singular es el cono proyectivo de una variedad suave: dada una variedad proyectiva suave su cono proyectivo es la unión de todas las líneas que se cruzan . Por ejemplo, el cono proyectivo de los puntos. ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

es el esquema

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

Si miramos en el gráfico este es el esquema. ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

y proyectarlo hacia abajo hasta la línea afín , esta es una familia de cuatro puntos que degeneran en el origen. La no singularidad de este esquema también se puede comprobar utilizando la condición jacobiana. ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$

Familias degeneradas

Considere la familia plana

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

Entonces todas las fibras son lisas excepto el punto en el origen. Dado que la suavidad es estable bajo cambio de base, esta familia no es suave.

Extensiones de campo no separables

Por ejemplo, el campo no es separable, por lo que el morfismo de esquemas asociado no es fluido. Si miramos el polinomio mínimo de la extensión del campo, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

entonces , por lo tanto, los diferenciales de Kähler serán distintos de cero. ${\displaystyle df=0}$

Morfismo formalmente suave

Se puede definir la suavidad sin hacer referencia a la geometría. Decimos que un esquema S X es formalmente fluido si, para cualquier esquema S afín T y un subesquema de T dado por un ideal nilpotente, es sobreyectivo donde escribimos . Entonces un morfismo localmente de presentación finita es suave si y sólo si es formalmente suave. ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$ ${\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)}$

En la definición de "formalmente suave", si reemplazamos sobreyectivo por "biyectivo" (resp. "inyectivo"), obtenemos la definición de formalmente étale (resp. formalmente no ramificado ).

Cambio de base suave

Sea S un esquema y denote la imagen del mapa de estructura . El teorema de cambio de base suave establece lo siguiente: sea un morfismo cuasi compacto , un morfismo suave y una gavilla de torsión . Si para cada in , es inyectivo, entonces el morfismo de cambio de base es un isomorfismo. ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$ ${\displaystyle S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle g:S'\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ ${\displaystyle 0\neq p}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$ ${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

Ver también

• álgebra suave
• incrustación regular
• Mapa formalmente suave

Referencias

• JS Milne (2012). "Conferencias sobre cohomología Étale"
• JS Milne. Étale cohomology , volumen 33 de Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1980.