La geometría algebraica derivada es una rama de las matemáticas que generaliza la geometría algebraica a una situación en la que los anillos conmutativos , que proporcionan gráficos locales, son reemplazados por álgebras graduadas diferenciales (sobre ), anillos conmutativos simpliciales o espectros de anillos de topología algebraica , cuyos grupos de homotopía superiores tener en cuenta la no discreción (por ejemplo, Tor) de la estructura de la gavilla. La teoría de esquemas de Grothendieck permite que la estructura del haz transporte elementos nilpotentes . La geometría algebraica derivada puede considerarse como una extensión de esta idea y proporciona escenarios naturales para la teoría de la intersección (o teoría de la homotopía motívica [1] ) de variedades algebraicas singulares y complejos cotangentes en la teoría de la deformación (cf. J. Francis), entre las otras aplicaciones.
Los objetos básicos de estudio en este campo son los esquemas derivados y las pilas derivadas . La motivación más citada es la fórmula de intersección de Serre . [2] En la formulación habitual, la fórmula involucra el functor Tor y, por lo tanto, a menos que un Tor mayor desaparezca, la intersección teórica del esquema (es decir, el producto de fibra de las inmersiones) no produce el número de intersección correcto . En el contexto derivado, se toma el producto tensorial derivado , cuya homotopía mayor es Tor mayor, cuya especificación no es un esquema sino un esquema derivado . Por tanto, el producto de fibra "derivado" produce el número de intersección correcto. (Actualmente esto es hipotético; la teoría de la intersección derivada aún no se ha desarrollado).
El término "derivado" se utiliza de la misma manera que functor derivado o categoría derivada , en el sentido de que la categoría de anillos conmutativos se reemplaza por una categoría ∞ de "anillos derivados". En geometría algebraica clásica, la categoría derivada de haces cuasi coherentes se considera una categoría triangulada , pero tiene una mejora natural a una categoría ∞ estable , que puede considerarse como el análogo categórico ∞ de una categoría abeliana .
La geometría algebraica derivada es fundamentalmente el estudio de objetos geométricos utilizando álgebra homológica y homotopía. Dado que los objetos en este campo deben codificar la información homológica y homotópica, existen varias nociones de lo que encapsulan los espacios derivados. Los objetos básicos de estudio en geometría algebraica derivada son los esquemas derivados y, más generalmente, las pilas derivadas. Heurísticamente, los esquemas derivados deberían ser funtores de alguna categoría de anillos derivados a la categoría de conjuntos.
que se puede generalizar aún más para tener objetivos de grupoides superiores (que se espera que sean modelados por tipos de homotopía). Estas pilas derivadas son functores adecuados de la forma
Muchos autores modelan dichos functores como funtores con valores en conjuntos simpliciales, ya que modelan tipos de homotopía y están bien estudiados. Las diferentes definiciones de estos espacios derivados dependen de la elección de cuáles son los anillos derivados y cómo deberían verse los tipos de homotopía. Algunos ejemplos de anillos derivados incluyen álgebras graduadas diferenciales conmutativas, anillos simpliciales y anillos -.
Sobre la característica 0 muchas de las geometrías derivadas concuerdan ya que los anillos derivados son los mismos. Las álgebras son simplemente álgebras graduadas diferenciales conmutativas sobre el cero característico. Luego podemos definir esquemas derivados de manera similar a los esquemas en geometría algebraica. De manera similar a la geometría algebraica, también podríamos ver estos objetos como un par que es un espacio topológico con un haz de álgebras graduadas diferenciales conmutativas. A veces los autores toman la convención de que estos se califican negativamente, por lo que para . La condición de la gavilla también podría debilitarse de modo que para una cubierta de , las gavillas se pegarían sobre superposiciones sólo mediante cuasiisomorfismo.
Desafortunadamente, sobre la característica p, las álgebras graduadas diferenciales funcionan mal para la teoría de la homotopía, debido a que [1]. Esto se puede superar mediante el uso de álgebras simples.
Los anillos derivados sobre características arbitrarias se toman como anillos conmutativos simples debido a las excelentes propiedades categóricas que tienen. En particular, la categoría de anillos simpliciales se enriquece de manera simple, lo que significa que los conjuntos de hom son en sí mismos conjuntos simpliciales. Además, existe una estructura de modelo canónico en anillos conmutativos simpliciales provenientes de conjuntos simpliciales. [3] De hecho, es un teorema de Quillen que la estructura del modelo en conjuntos simpliciales puede transferirse a anillos conmutativos simpliciales.
Se conjetura que existe una teoría final de pilas superiores que modelan tipos de homotopía . Grothendieck conjeturó que estos estarían modelados por grupoides globulares, o una forma débil de su definición. Simpson [4] ofrece una definición útil en el espíritu de las ideas de Grothendieck. Recuerde que una pila algebraica (aquí una pila de 1) se considera representable si el producto de fibra de dos esquemas cualesquiera es isomorfo a un esquema. [5] Si tomamos la premisa de que una pila 0 es solo un espacio algebraico y una pila 1 es solo una pila, podemos definir recursivamente una pila n como un objeto tal que el producto de fibra a lo largo de dos esquemas cualesquiera es un (n-1) -pila. Si volvemos a la definición de pila algebraica, esta nueva definición concuerda.
Otra teoría de la geometría algebraica derivada está resumida en la teoría de los esquemas espectrales. Su definición requiere una buena cantidad de tecnología para poder expresarla con precisión. [6] Pero, en resumen, los esquemas espectrales están dados por un -topos espectralmente anillado junto con un haz de -anillos sujeto a algunas condiciones de localidad similares a la definición de esquemas afines. En particular
Además, el esquema espectral se llama conectivo si por .
Recordemos que el topos de un punto equivale a la categoría de conjuntos. Luego, en la configuración -topos, consideramos -haces de -groupoides (que son -categorías con todos los morfismos invertibles), denotados , dando un análogo del topos puntual en la configuración -topos. Entonces, la estructura de un espacio espectralmente anillado se puede dar adjuntando un -ring . Tenga en cuenta que esto implica que los espacios espectralmente anillados generalizan los -rings ya que cada -ring puede asociarse con un sitio espectralmente anillado.
Este topos espectralmente anillado puede ser un esquema espectral si el espectro de este anillo da un -topos equivalente, por lo que su espacio subyacente es un punto. Por ejemplo, esto puede venir dado por el espectro en anillo , llamado espectro de Eilenberg-Maclane, construido a partir de los espacios de Eilenberg-MacLane .
![{\displaystyle d[x^{p}]=pd[x^{p-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e2d9d10025e5d4dd94e10eb3d716b92635b8e1)
