complejo cotangente

En matemáticas , el complejo cotangente es una generalización común del haz cotangente , el haz normal y el haz tangente virtual de un mapa de espacios geométricos como variedades o esquemas . Si es un morfismo de objetos geométricos o algebraicos, el complejo cotangente correspondiente puede considerarse como una "linealización" universal del mismo, que sirve para controlar la teoría de la deformación . ^{[1] [2]} Se construye como un objeto en una determinada categoría derivada de gavillas al utilizar los métodos del álgebra homotópica . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Las versiones restringidas de complejos cotangentes fueron definidas por primera vez en varios casos por varios autores a principios de la década de 1960. A finales de la década de 1960, Michel André y Daniel Quillen, de forma independiente, propusieron la definición correcta de un morfismo de anillos conmutativos , utilizando métodos simplificados para precisar la idea del complejo cotangente dada al tomar el funtor derivado por la izquierda (no abeliano) de Diferenciales Kähler . Luc Illusie luego globalizó esta definición a la situación general de un morfismo de topoi anillados , incorporando así morfismos de espacios anillados , esquemas y espacios algebraicos en la teoría.

Motivación

Supongamos que y son variedades algebraicas y que hay un morfismo entre ellas. El complejo cotangente de es una versión más universal de los diferenciales relativos de Kähler . La motivación más básica para tal objeto es la secuencia exacta de diferenciales de Kähler asociados a dos morfismos. Si es otra variedad y si es otro morfismo, entonces hay una secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0.}$

Por lo tanto, en cierto sentido, los diferenciales relativos de Kähler son un funtor exacto correcto . (Sin embargo, esto no es cierto literalmente, porque la categoría de variedades algebraicas no es una categoría abeliana y, por lo tanto, la exactitud correcta no está definida). De hecho, antes de la definición del complejo cotangente, había varias definiciones de functores que podría extender la secuencia más hacia la izquierda, como los functores de Lichtenbaum-Schlessinger y los módulos de imperfección. La mayoría de ellos fueron motivados por la teoría de la deformación . ${\displaystyle T^{i}}$

Esta secuencia es exacta a la izquierda si el morfismo es suave. Si Ω admitiera un primer funtor derivado , entonces la exactitud a la izquierda implicaría que el homomorfismo conector desapareciera, y esto ciertamente sería cierto si el primer functor derivado de f , cualquiera que fuera, desapareciera. Por lo tanto, una especulación razonable es que el primer functor derivado de un morfismo suave desaparece. Además, cuando cualquiera de los functores que extendían la secuencia de diferenciales de Kähler se aplicaba a un morfismo suave, también desaparecían, lo que sugería que el complejo cotangente de un morfismo suave podría ser equivalente a los diferenciales de Kähler. ${\displaystyle f}$

Otra secuencia exacta natural relacionada con los diferenciales de Kähler es la secuencia exacta conormal. Si f es una inmersión cerrada con haz ideal I , entonces existe una secuencia exacta

${\displaystyle I/I^{2}\to f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to 0.}$

Esta es una extensión de la secuencia exacta anterior: hay un nuevo término a la izquierda, el haz conormal de f , y los diferenciales relativos Ω _{X / Y} han desaparecido porque una inmersión cerrada no está formalmente ramificada . Si f es la inclusión de una subvariedad suave, entonces esta secuencia es una secuencia corta y exacta. ^[3] Esto sugiere que el complejo cotangente de la inclusión de una variedad suave es equivalente a la gavilla conormal desplazada un término.

Trabajos iniciales sobre complejos cotangentes.

Los complejos cotangentes aparecieron en versiones múltiples y parcialmente incompatibles de creciente generalidad a principios de la década de 1960. El primer ejemplo de funtores de homología relacionados en el contexto restringido de extensiones de campo apareció en Cartier (1956). Alexander Grothendieck luego desarrolló una versión temprana de complejos cotangentes en 1961 para su teorema general de Riemann-Roch en geometría algebraica con el fin de tener una teoría de paquetes tangentes virtuales . Esta es la versión descrita por Pierre Berthelot en SGA 6, Exposé VIII. ^[4] Solo se aplica cuando f es un morfismo suavizable (uno que influye en una inmersión cerrada seguida de un morfismo suave). ^[5] En este caso, el complejo cotangente de f como objeto en la categoría derivada de haces coherentes en X viene dado de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}^{X/Y}=i^{*}\Omega _{V/Y}.}$
• Si J es el ideal de X en V , entonces ${\displaystyle L_{1}^{X/Y}=J/J^{2}=i^{*}J.}$
• ${\displaystyle L_{i}^{X/Y}=0}$para todos los demás i.
• El diferencial es el retroceso a lo largo de i de la inclusión de J en la estructura del haz de V seguido de la derivación universal ${\displaystyle L_{1}^{X/Y}\to L_{0}^{X/Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V}}$ ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{V}\to \Omega _{V/Y}.}$
• Todos los demás diferenciales son cero.

Esta definición es independiente de la elección de V, ^[6] y para un morfismo de intersección completo que se pueda suavizar, este complejo es perfecto. ^[7] Además, si g  : Y → Z es otro morfismo de intersección completo suavizable y si se satisface una condición técnica adicional, entonces hay un triángulo exacto

${\displaystyle \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}\to L_{\bullet }^{X/Z}\to L_{\bullet }^{X/Y}\to \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}[1].}$

En 1963, Grothendieck desarrolló una construcción más general que elimina la restricción a morfismos suavizables (que también funciona en contextos distintos de la geometría algebraica). Sin embargo, al igual que la teoría de 1961, esto produjo un complejo cotangente de longitud 2 únicamente, correspondiente al truncamiento del complejo completo que aún no se conocía en ese momento. Este enfoque fue publicado más tarde en Grothendieck (1968). Al mismo tiempo, a principios de la década de 1960, Gerstenhaber ^[8] y Lichtenbaum y Schlessinger introdujeron de forma independiente teorías en gran medida similares para los anillos conmutativos (correspondientes al caso "local" de esquemas afines en geometría algebraica) . ^[9] Sus teorías se extendieron a complejos cotangentes de longitud 3, capturando así más información. ${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$

La definición del complejo cotangente.

La definición correcta del complejo cotangente comienza en el ámbito homotópico . Quillen y André trabajaron con anillos conmutativos simpliciales , mientras que Illusie trabajó de manera más general con topoi anillados simpliciales , cubriendo así la teoría "global" sobre varios tipos de espacios geométricos. Por simplicidad, consideraremos sólo el caso de anillos conmutativos simpliciales. Supongamos que y son anillos simpliciales y que es un -álgebra. Elija una resolución de álgebras libres simpliciales . Tal resolución de puede construirse utilizando el funtor de álgebra conmutativa libre que toma un conjunto y produce el álgebra libre . Para un -álgebra , esto viene con un mapa de aumento natural que asigna una suma formal de elementos de a un elemento de mediante la regla ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r:P^{\bullet }\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[S]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \eta _{B}:A[B]\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle a_{1}[b_{1}]+\cdots +a_{n}[b_{n}]\mapsto a_{1}\cdot b_{1}+\cdots a_{n}\cdot b_{n}}$

La iteración de esta construcción da un álgebra simple

${\displaystyle \cdots \to A[A[A[B]]]\to A[A[B]]\to A[B]\to B}$

de donde provienen los mapas horizontales que componen los mapas de aumento para las distintas opciones. Por ejemplo, hay dos mapas de aumento mediante las reglas ${\displaystyle A[A[B]]\to A[B]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}[a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]]&\mapsto a_{i}a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i}a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]\\&\mapsto a_{i,1}[a_{i}\cdot b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[a_{i}\cdot b_{i,n_{i}}]\end{aligned}}}$

que se puede adaptar a cada una de las álgebras libres . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[\cdots A[A[B]]}$

La aplicación del funtor diferencial de Kähler produce un módulo simplicial. El complejo total de este objeto simplicial es el ^complejo cotangente LB ^{/ A} . El morfismo r induce un morfismo del complejo cotangente a Ω _{B / A} llamado mapa de aumento . En la categoría de homotopía de álgebras A simpliciales (o de topoi anillados simpliciales), esta construcción equivale a tomar el funtor derivado por la izquierda del funtor diferencial de Kähler. ${\displaystyle P^{\bullet }}$ ${\displaystyle B}$

Dado un cuadrado conmutativo de la siguiente manera:

existe un morfismo de complejos cotangentes que respeta los mapas de aumento. Este mapa se construye eligiendo una resolución de C -álgebra simplicial libre de D , digamos. Debido a que es un objeto libre, el hr compuesto puede elevarse a un morfismo. La aplicación de la funcionalidad de los diferenciales de Kähler a este morfismo proporciona el morfismo requerido de complejos cotangentes. En particular, dados los homomorfismos, esto produce la secuencia ${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}D\to L^{D/C}}$ ${\displaystyle s:Q^{\bullet }\to D.}$ ${\displaystyle P^{\bullet }}$ ${\displaystyle P^{\bullet }\to Q^{\bullet }.}$ ${\displaystyle A\to B\to C,}$

${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}.}$

Hay un homomorfismo de conexión,

${\displaystyle L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1],}$

lo que convierte esta secuencia en un triángulo exacto.

El complejo cotangente también se puede definir en cualquier categoría de modelo combinatorio M. Supongamos que es un morfismo en M . El complejo cotangente (o ) es un objeto en la categoría de espectros en . Un par de morfismos componibles e induce un triángulo exacto en la categoría de homotopía, ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle L^{f}}$ ${\displaystyle L^{B/A}}$ ${\displaystyle M_{B//B}}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$

${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1].}$

Complejos cotangentes en la teoría de la deformación.

Configuración

Una de las primeras aplicaciones directas del complejo cotangente es la teoría de la deformación. Por ejemplo, si tenemos un esquema y un engrosamiento infinitesimal de cero cuadrado , ese es un morfismo de esquemas donde el núcleo ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S\to S'}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}={\text{ker}}\{{\mathcal {O}}_{S'}\to {\mathcal {O}}_{S}\}}$

tiene la propiedad de que su cuadrado es la gavilla cero, entonces

${\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=0}$

Una de las cuestiones fundamentales en la teoría de la deformación es construir el conjunto de encajes en cuadrados cartesianos de la forma. ${\displaystyle X'}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X&\to &X'\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S'\end{matrix}}\right\}}$

Un par de ejemplos a tener en cuenta es la extensión de esquemas definidos a , o esquemas definidos a través de un campo de características al anillo donde . Luego , el complejo cotangente controla la información relacionada con este problema. Podemos reformularlo considerando el conjunto de extensiones del diagrama conmutativo ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\uparrow &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}}$

lo cual es un problema homológico. Entonces, el conjunto de tales diagramas cuyo núcleo es isomorfo al grupo abeliano ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

mostrar el complejo cotangente controla el conjunto de deformaciones disponibles. ^[1] Además, desde la otra dirección, si hay una secuencia corta y exacta

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\end{matrix}}}$

existe un elemento correspondiente

${\displaystyle \xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

cuya desaparición implica que es una solución al problema de deformación planteado anteriormente. Además, el grupo

${\displaystyle {\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

controla el conjunto de automorfismos para cualquier solución fija al problema de deformación.

Algunas implicaciones importantes

Una de las propiedades geométricamente más importantes del complejo cotangente es el hecho de que dado un morfismo de -esquemas ${\displaystyle S}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

podemos formar el complejo cotangente relativo como el cono de ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$

encajando en un triángulo distinguido

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }\xrightarrow {+1} }$

Este es uno de los pilares de los complejos cotangentes porque implica que las deformaciones del morfismo de los esquemas están controladas por este complejo. En particular, controla las deformaciones de como un morfismo fijo en , cuyas deformaciones pueden extenderse , lo que significa que hay un morfismo que factoriza a través del mapa de proyección compuesto con , y las deformaciones de definidas de manera similar. Esta es una técnica poderosa y es fundamental para la teoría de Gromov-Witten (ver más abajo), que estudia morfismos de curvas algebraicas de un género fijo y un número fijo de pinchazos en un esquema . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f':X'\to S}$ ${\displaystyle X'\to X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades del complejo cotangente

Cambio de base plana

Supongamos que B y C son A -álgebras tales que para todo q > 0 . Luego están los cuasi-isomorfismos ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}}$

Si C es un álgebra A plana , entonces la condición que desaparece para q > 0 es automática. La primera fórmula demuestra entonces que la construcción del complejo cotangente es local en la base en la topología plana . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)}$

Propiedades evanescentes

Sea f  : A → B . Entonces: ^{[11] [12]}

• Si B es una localización de A , entonces . ${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$
• Si f es un morfismo étale , entonces . ${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$
• Si f es un morfismo suave , entonces es cuasi-isomorfo a . En particular, tiene dimensión proyectiva cero. ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle \Omega _{B/A}}$
• Si f es un morfismo de intersección completo local , entonces es un complejo perfecto con amplitud de Tor en [-1,0]. ^[13] ${\displaystyle L_{B/A}}$
• Si A es noetheriano, y se genera mediante una secuencia regular, entonces es un módulo proyectivo y es cuasi-isomorfo a ${\displaystyle B=A/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle I/I^{2}[1].}$
• Si f es un morfismo de k -álgebras perfectas sobre un campo perfecto k de característica p > 0 , entonces . ^[14] ${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$

Caracterización de intersecciones locales completas.

La teoría del complejo cotangente permite dar una caracterización homológica de los morfismos de intersección completa local (lci), al menos bajo supuestos noetherianos. Sea f  : A → B un morfismo de anillos noetherianos tal que B es una A -álgebra finitamente generada . Reinterpretado por Quillen, el trabajo de Lichtenbaum-Schlessinger muestra que el segundo grupo de homología André-Quillen desaparece para todos los B -módulos M si y sólo si f es lci. ^[15] Por lo tanto, combinado con el resultado de desaparición anterior, deducimos: ${\textstyle D_{2}(B/A,M)}$

El morfismo f  : A → B es lci si y sólo si es un complejo perfecto con amplitud de Tor en [-1,0]. ${\displaystyle L_{B/A}}$

Quillen conjeturó además que si el complejo cotangente tiene una dimensión proyectiva finita y B es de dimensión Tor finita como módulo A , entonces f es lci. ^[16] Esto fue demostrado por Luchezar Avramov en un artículo de Annals de 1999 . ^[17] Avramov también extendió la noción de morfismo lci a la configuración de tipo no finito, suponiendo sólo que el morfismo f es localmente de dimensión plana finita, y demostró que la misma caracterización homológica de los morfismos lci se cumple allí (aparte de que ya no siendo perfecto). El resultado de Avramov fue mejorado recientemente por Briggs-Iyengar, quien demostró que la propiedad lci sigue una vez que se establece que desaparece para cualquier . ^[18] ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle {\textstyle D_{n}(B/A,-)}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

En todo esto es necesario suponer que los anillos en cuestión son noetherianos. Por ejemplo, sea k un campo perfecto de característica p > 0 . Luego, como se señaló anteriormente, desaparece para cualquier morfismo A → B de k -álgebras perfectas . Pero no todos los morfismos de k -álgebras perfectas son lci. ^[19] ${\displaystyle L_{B/A}}$

descenso plano

Bhargav Bhatt demostró que el complejo cotangente satisface fielmente la descendencia plana (derivada) . ^[20] En otras palabras, para cualquier morfismo fielmente plano f  : A → B de R -álgebras, se tiene una equivalencia

${\displaystyle L_{A/R}\simeq \mathrm {Tot} (L_{\mathrm {Cech} (A\to B)/R})}$

en la categoría derivada de R , donde el lado derecho denota el límite de homotopía del objeto cosimplicial dado al tomar el conervo de Čech de f . (El conerve de Čech es el objeto cosimplicial que determina el complejo de Amitsur ). De manera más general, todas las potencias exteriores del complejo cotangente satisfacen fielmente la descendencia plana. ${\textstyle L_{-/R}}$

Ejemplos

Esquemas suaves

Que quede suave. Entonces el complejo cotangente es . En el marco de Berthelot, esto queda claro al tomar . En general, étale localmente es un espacio afín de dimensión finita y el morfismo es proyección, por lo que podemos reducirlo a la situación en la que y Podemos tomar la resolución de como el mapa de identidad, y entonces queda claro que el complejo cotangente es el Igual que los diferenciales Kähler. ${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /S}$ ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle V=X}$ ${\displaystyle S,X}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}]).}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$

Incrustaciones cerradas en esquemas lisos.

Sea una incrustación cerrada de esquemas suaves en . Utilizando el triángulo exacto correspondiente a los morfismos , podemos determinar el complejo cotangente . Para ello, observe que en el ejemplo anterior, los complejos cotangentes y constan de los diferenciales de Kähler y en el grado cero, respectivamente, y son cero en todos los demás grados. El triángulo exacto implica que es distinto de cero sólo en el primer grado, y en ese grado, es el núcleo del mapa. Este núcleo es el paquete conormal, y la secuencia exacta es la secuencia exacta conormal, por lo que en el primer grado, es el paquete conormal . ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle X\to Y\to S}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{Y/S}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \Omega _{Y/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ ${\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}.}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$

Intersección completa local

De manera más general, un morfismo de intersección local completo con un objetivo suave tiene un complejo cotangente de amplitud perfecta. Esto viene dado por el complejo ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle [-1,0].}$

${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{Y}|_{X}.}$

Por ejemplo, el complejo cotangente de la cúbica retorcida viene dado por el complejo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {s}}\Omega _{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}.}$

Complejos cotangentes en la teoría de Gromov-Witten

En la teoría de Gromov-Witten, los matemáticos estudian las invariantes geométricas enumerativas de curvas de n puntas en espacios. En general, existen pilas algebraicas.

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

¿Cuáles son los espacios de módulos de los mapas?

${\displaystyle \pi :C\to X}$

desde curvas de género con pinchazos hasta un objetivo fijo. Dado que la geometría enumerativa estudia el comportamiento genérico de tales mapas, la teoría de la deformación que controla este tipo de problemas requiere la deformación de la curva , el mapa y el espacio objetivo . Afortunadamente, toda esta información teórica de deformación puede rastrearse mediante el complejo cotangente . Usando el triángulo distinguido ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }}$

${\displaystyle \pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }\to }$

asociado a la composición de morfismos

${\displaystyle C\xrightarrow {\pi } X\rightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

el complejo cotangente se puede calcular en muchas situaciones. De hecho, para una variedad compleja , su complejo cotangente está dado por , y una curva perforada suavemente , esto está dado por . De la teoría general de categorías trianguladas , el complejo cotangente es cuasiisomorfo al cono ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Cone}}(\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\to \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))}$

Ver también

• Cohomología de André-Quillen
• Teoría de la deformación
• Exalcom
• Clase Kodaira-Spencer
• clase atiyah

Notas

1. "Sección 91.21 (08UX): Deformaciones de espacios anillados y el complejo cotangente: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .
2. "Sección 91.23 (08V3): Deformaciones de los topoi anillados y el complejo cotangente: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .
3. Grothendieck 1967, Proposición 17.2.5
4. Berthelot 1966, VIII Proposición 2.2
5. (Grothendieck 1968, pag.4)
6. Berthelot 1966, VIII Proposición 2.2
7. Berthelot 1966, VIII Proposición 2.4
8. (Gerstenhaber 1964)
9. (Lichenbaum; Schlessinger 1967)
10. Quillen 1970, Teorema 5.3
11. Quillen 1970, Teorema 5.4
12. Quillen 1970, Corolario 6.14
13. "Sección 91.14 (08SH): El complejo cotangente de una intersección local completa: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 21 de septiembre de 2022 .
14. Mateo, Akhil (2 de marzo de 2022). "Algunos avances recientes en la homología topológica de Hochschild". Toro. Matemáticas de Londres. Soc . 54 (1). Proposición 3.5. arXiv : 2101.00668 . doi :10.1112/blms.12558. S2CID  230435604.
15. Lichtenbaum – Schlessinger 1967, Corolario 3.2.2.
16. Quillen 1970, Conjetura 5.7.
17. Avramov, Luchezar L. (1999). "Homomorfismos de intersección localmente completos y una conjetura de Quillen sobre la desaparición de la homología cotangente". Anales de Matemáticas . 150 (2): 455–487. arXiv : matemáticas/9909192 . doi :10.2307/121087. ISSN  0003-486X. JSTOR  121087. S2CID  17250847.
18. Briggs, Benjamín; Iyengar, Srikanth (2022). "Propiedades de rigidez del complejo cotangente". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 36 : 291–310. arXiv : 2010.13314 . doi : 10.1090/mermeladas/1000. ISSN  0894-0347. S2CID  225070623.
19. Haine, Peter (2 de abril de 2020). "El lugar lci del esquema de puntos de Hilbert y el complejo cotangente" (PDF) . pag. 11. Archivado (PDF) desde el original el 8 de julio de 2021.
20. Bhatt, Bhargav; Mañana, Mateo; Scholze, Peter (1 de junio de 2019). "Homología topológica de Hochschild y teoría integral p-ádica de Hodge". Publicaciones matemáticas del IHÉS . 129 (1): 199–310. doi :10.1007/s10240-019-00106-9. ISSN  1618-1913. S2CID  254165606.

Referencias

Aplicaciones

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

Generalizaciones

• El complejo cotangente logarítmico
• El complejo cotangente y los espectros de Thom.

Referencias

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• Berthelot, Pierre (1971), Grothendieck, Alexandre ; Illusie, Luc (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clase de matemáticas 225 ) (en francés), Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , xii+700.
• Cartier, Pierre (1956), Dérivations dans les corps, Séminaire Cartan, vol. 8
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• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361 , doi :10.1007/BF02732123, ISSN  1618-1913, S2CID  189794756, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 , consultado el 10 de agosto de 2009
• Grothendieck, Alexandre (1968), Catégories cofibrées aditivos et complexe cotangent relatif , Lecture Notes in Mathematics 79 (en francés), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04248-8
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