Topos anillados

En matemáticas, un topos anillado es una generalización de un espacio anillado ; es decir, la noción se obtiene reemplazando un " espacio topológico " por un " topos ". La noción de un topos anillado tiene aplicaciones en la teoría de la deformación en geometría algebraica (cf. complejo cotangente ) y en la base matemática de la mecánica cuántica . En esta última materia, un topos de Bohr es un topos anillado que desempeña el papel de un espacio de fases cuántico . ^{[1] [2]}

La definición de una versión topo de un "espacio anillado localmente" no es sencilla, ya que el significado de "local" en este contexto no es obvio. Se puede introducir la noción de un topo anillado localmente introduciendo una especie de condiciones geométricas de anillos locales (véase SGA4, Exposición IV, Ejercicio 13.9), lo que equivale a decir que todos los tallos del objeto de anillo de estructura son anillos locales cuando hay suficientes puntos.

Morfismos

Un morfismo de topoi anillado es un par que consiste en un morfismo de topos y un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle (T,{\mathcal {O}}_{T})\to (T',{\mathcal {O}}_{T'})}$ ${\displaystyle f:T\to T'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{T'}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{T}}$

Si uno reemplaza un "topos" por un ∞-topos , entonces se obtiene la noción de un ∞-topos anillado .

Ejemplos

Topos anillados de un espacio topológico

Uno de los ejemplos clave que motivan el uso de un topos en anillo proviene de la topología. Consideremos el sitio de un espacio topológico y el haz de funciones continuas ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{X}^{0}:{\text{Open}}(X)^{op}\to {\text{CRing}}}$

enviando un objeto , un subconjunto abierto de , al anillo de funciones continuas en . Entonces, el par forma un topos en anillo. Nótese que esto se puede generalizar a cualquier espacio en anillo donde ${\displaystyle U\in {\text{Open}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{X}^{0}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle ({\text{Sh}}({\text{Open}}(X)),C_{X}^{0})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}:{\text{Open}}(X)^{op}\to {\text{Rings}}}$

Así que el par es un topos anillado. ${\displaystyle ({\text{Sh}}({\text{Open}}(X)),{\mathcal {O}}_{X})}$

Topografía anillada de un esquema

Otro ejemplo clave es el topos anillado asociado a un esquema , que es a su vez el topos anillado asociado al espacio anillado local subyacente. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Relación con functor de puntos

Recordemos que la visión del funtor de puntos de la teoría de esquemas define un esquema como un funtor que satisface una condición de haz y una condición de pegado. ^[3] Es decir, para cualquier cubierta abierta de esquemas afines, existe la siguiente secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X:{\text{CAlg}}\to {\text{Sets}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R_{f_{i}})\to {\text{Spec}}(R)}$

${\displaystyle X(R)\to \prod X(R_{f_{i}})\rightrightarrows \prod X(R_{f_{i}f_{j}})}$

Además, deben existir subfunctores afines abiertos.

${\displaystyle U_{i}={\text{Spec}}(A_{i})={\text{Hom}}_{\text{CAlg}}(A_{i},-)}$

cubriendo , es decir, para cualquier , hay un . Entonces, hay un topos asociado a cuyo sitio subyacente es el sitio de los subfunctores abiertos. Este sitio es isomorfo al sitio asociado al espacio topológico subyacente del espacio anillado correspondiente al esquema. Entonces, la teoría de topos proporciona una manera de construir la teoría de esquemas sin tener que usar espacios anillados localmente usando los topos anillados localmente asociados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \in X(R)}$ ${\displaystyle \xi |_{U_{i}}\in U_{i}(R)}$ ${\displaystyle X}$

Topografía anillada de conjuntos

La categoría de conjuntos es equivalente a la categoría de haces en la categoría con un objeto y solo el morfismo identidad, por lo que . Entonces, dado cualquier anillo , hay un haz asociado . Esto se puede utilizar para encontrar ejemplos de juguetes de morfismos de topos anillados. ${\displaystyle {\text{Sh}}(*)\cong {\text{Sets}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{Sets}(-,A):{\text{Sets}}^{op}\to {\text{Rings}}}$

Notas

1. Schreiber, Urs (25 de julio de 2011). «Topos de Bohr». The n-Category Café . Consultado el 19 de febrero de 2018 .
2. Heunen, Chris; Landsman, Nicolaas P.; Spitters, Bas (1 de octubre de 2009). "Un topos para la teoría cuántica algebraica". Communications in Mathematical Physics . 291 (1): 63–110. arXiv : 0709.4364 . Código Bibliográfico :2009CMaPh.291...63H. doi :10.1007/s00220-009-0865-6. ISSN  0010-3616.
3. "Sección 26.15 (01JF): Un criterio de representabilidad: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 28 de abril de 2020 .

Referencias

• La referencia estándar es el cuarto volumen del Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie .
• Francis, J. Geometría algebraica derivada sobre anillos E n {\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}}
• Dualidad de Grothendieck para pilas derivadas
• Topografía anillada en el laboratorio n
• Topografía anillada localmente en el laboratorio n