Incrustación regular

En geometría algebraica , una inmersión cerrada de esquemas es una incrustación regular de codimensión r si cada punto x en X tiene un entorno afín abierto U en Y tal que el ideal de es generado por una secuencia regular de longitud r . Una incrustación regular de codimensión uno es precisamente un divisor de Cartier efectivo . ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle X\cap U}$

Ejemplos y uso

Por ejemplo, si X e Y son suaves sobre un esquema S y si i es un S -morfismo, entonces i es una incrustación regular. En particular, cada sección de un morfismo suave es una incrustación regular. ^[1] Si está incrustado regularmente en un esquema regular , entonces B es un anillo de intersección completo . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$

La noción se utiliza, por ejemplo, de manera esencial en el enfoque de Fulton sobre la teoría de intersecciones . El hecho importante es que cuando i es una incrustación regular, si I es el haz ideal de X en Y , entonces el haz normal , el dual de , es localmente libre (por lo tanto, un fibrado vectorial) y la función natural es un isomorfismo: el cono normal coincide con el fibrado normal. ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$

No-ejemplos

Un no-ejemplo es un esquema que no es equidimensional. Por ejemplo, el esquema

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}$

es la unión de y . Entonces, la incrustación no es regular ya que tomar cualquier punto que no sea de origen en el eje es de dimensión mientras que cualquier punto que no sea de origen en el plano es de dimensión . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2}$

Morfismos de intersección completos locales y fibrados tangentes virtuales

Un morfismo de tipo finito se denomina morfismo de intersección completo (local) si cada punto x en X tiene un entorno afín abierto U de modo que f | _U se factoriza como donde j es una incrustación regular y g es suave . ^[3] Por ejemplo, si f es un morfismo entre variedades suaves , entonces f se factoriza como donde la primera función es el morfismo del grafo y, por lo tanto, es un morfismo de intersección completo. Nótese que esta definición es compatible con la de EGA IV para el caso especial de morfismos planos . ^[4] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y}$ ${\displaystyle X\to X\times Y\to Y}$

Sea un morfismo de intersección local completa que admite una factorización global: es una composición donde es una incrustación regular y un morfismo suave. Entonces el fibrado tangente virtual es un elemento del grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales en X dado como: ^[5] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]}$,

donde es el haz tangente relativo de (que es localmente libre ya que es suave) y es el haz normal (donde es el haz ideal de en ), que es localmente libre ya que es una incrustación regular. ${\displaystyle T_{P/Y}=\Omega _{P/Y}^{\vee }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle i}$

En términos más generales, si es un morfismo de intersección local completo de esquemas, su complejo cotangente es perfecto de amplitud Tor [-1,0]. Si además es localmente de tipo finito y localmente noetheriano, entonces lo inverso también es cierto. ^[6] ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle L_{X/Y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$

Estos conceptos se utilizan, por ejemplo, en el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch .

Caso no noetheriano

SGA 6 Exposé VII utiliza la siguiente forma ligeramente más débil de la noción de incrustación regular, que concuerda con la presentada anteriormente para los esquemas noetherianos:

En primer lugar, dado un módulo proyectivo E sobre un anillo conmutativo A , una función A -lineal se denomina Koszul-regular si el complejo Koszul determinado por ella es acíclico en dimensión > 0 (en consecuencia, es una resolución del cokernel de u ). ^[7] Luego, una inmersión cerrada se denomina Koszul-regular si el haz ideal determinado por ella es tal que, localmente, hay un A -módulo libre finito E y una sobreyección Koszul-regular desde E al haz ideal. ^[8] ${\displaystyle u:E\to A}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

Esta regularidad de Koszul fue la que se utilizó en SGA 6 ^[9] para la definición de morfismos de intersección completa local; allí se indica que la regularidad de Koszul tenía como objetivo reemplazar la definición dada anteriormente en este artículo y que había aparecido originalmente en el ya publicado EGA IV. ^[10]

(Esta pregunta surge porque la discusión de divisores de cero es complicada para los anillos no noetherianos, ya que no se puede utilizar la teoría de primos asociados).

Véase también

• Subvariedad regular

Notas

1. Sernesi 2006, D. Notas 2.
2. Sernesi 2006, D.1.
3. SGA 6 1971, Exposé VIII, Definición 1.1.; Sernesi 2006, D.2.1.
4. EGA IV 1967, Definición 19.3.6, p. 196
5. Fulton 1998, Apéndice B.7.5.
6. Illusie 1971, Proposición 3.2.6, p. 209
7. SGA 6 1971, Exposé VII. Definición 1.1. NB: Seguimos la terminología del proyecto Stacks .[1]
8. SGA 6 1971, Exposé VII, Definición 1.4.
9. SGA 6 1971, Exposé VIII, Definición 1.1.
10. EGA IV 1967, § 16 no 9, p. 45

Referencias

• Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.Sr. 0354655  .
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], vol. 2, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323, sección B.7
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860., artículo 16.9, pág. 46
• Illusie, Luc (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Lecture Notes in Mathematics 239 (en francés), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05686-7
• Sernesi, Edoardo (2006). Deformaciones de esquemas algebraicos. Editorial Física. ISBN 9783540306153.