Hipótesis de homotopía

Hipótesis de que los ∞-grupoides son equivalentes a los espacios topológicos

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, la hipótesis de homotopía de Grothendieck establece (en términos muy generales) que los ∞-grupoides son espacios .

En el artículo de 1991 de Kapranov y Voevodsky se afirmó que una versión de la hipótesis había sido probada. ^[1] Su prueba resultó ser defectuosa y su resultado en la forma interpretada por Carlos Simpson ahora se conoce como la conjetura de Simpson. ^[2]

Formulaciones

Hay muchas maneras de formular la hipótesis. Por ejemplo, si modelamos nuestros ∞-grupoides como complejos Kan ( cuasi-categorías ^[3] ), entonces los tipos de homotopía de las realizaciones geométricas de estos conjuntos dan modelos para cada tipo de homotopía (quizás en la forma débil). Se conjetura que existen muchos modelos "equivalentes" diferentes para ∞-grupoides, todos los cuales pueden realizarse como tipos de homotopía.

Dependiendo de las definiciones de ∞-grupoides, la hipótesis puede ser trivialmente válida.

Ver también

• Persiguiendo pilas
• Grupo N (teoría de categorías)
• Cuasicategoría

Notas

1. Kapranov, MM; Voevodsky, VA (1991). " ∞ {\displaystyle \infty } -groupoides y tipos de homotopía". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 32 (1): 29–46. ISSN  1245-530X.
2. Simpson, Carlos (1998). "Tipos de homotopía de 3 grupos estrictos". arXiv : matemáticas/9810059 .
3. (Land 2021, 2.1 Teorema especial de elevación del cuerno de Joyal, Corolario 2.1.12)

Referencias

• John Baez, La hipótesis de la homotopía
• Báez, John C. (1997). "Una introducción a las n categorías". Categoría Teoría e Informática . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 1290, págs. 1–33. arXiv : q-alg/9705009 . doi :10.1007/BFb0026978. ISBN 978-3-540-63455-3.
• Grothendieck, Alejandro (2021). "Persiguiendo pilas". arXiv : 2111.01000 [matemáticas.CT].
• Gurski, Nick; Johnson, Niles; Osorno, Angélica M. (2019). "La hipótesis de la homotopía estable bidimensional". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 223 (10): 4348–4383. arXiv : 1712.07218 . doi :10.1016/j.jpaa.2019.01.012.
• Joyal, A. (2002). "Cuasicategorías y complejos Kan". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 175 (1–3): 207–222. doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4.
• Lurie, Jacob (2009). Teoría del Topos Superior (AM-170) . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691140490. JSTOR  j.ctt7s47v.
• Tierra, Markus (2021). "Teorema de Joyal, aplicaciones y localizaciones de Dwyer-Kan". Introducción a las categorías infinitas . Libros de texto compactos de matemáticas. págs. 97-161. doi :10.1007/978-3-030-61524-6_2. ISBN 978-3-030-61523-9. Zbl  1471.18001.
• Maltsiniotis, Georges (2010). "Grothendieck -grupoides, y otra definición más de -categorías, §2.8. Conjetura de Grothendieck (forma precisa)". arXiv : 1009.2331 [matemáticas.CT]. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$
• Nicolás, Thomas (2011). "Modelos algebraicos para categorías superiores". Indagaciones Mathematicae . 21 (1–2): 52–75. arXiv : 1003.1342 . doi :10.1016/j.indag.2010.12.004.
• Riehl, Emily (2023). "¿Se podría enseñar la teoría de las categorías ∞ a los estudiantes universitarios?". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 70 (5): 1. doi :10.1090/noti2692.
• Tamsamani, Zouhair (1999). "Sur des notions de n -categorie et n -groupoide non estrictos vía des ensembles multi-simpliciaux (Sobre las nociones de una n -categoría no estricta y n -grupoide a través de conjuntos multisimpliciales)". Teoría K. 16 : 51–99. arXiv : alg-geom/9512006 . doi :10.1023/A:1007747915317.

Otras lecturas

• Ayala, David; Francisco, Juan; Rozenblyum, Nick (2018). "Una hipótesis de homotopía estratificada". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 21 (4): 1071-1178. arXiv : 1502.01713 . doi :10.4171/JEMS/856.

enlaces externos

• hipótesis de homotopía en el n Lab
• "¿Cuál es el error en la prueba de la hipótesis de la homotopía de Kapranov y Voevodsky?". Desbordamiento matemático .
• Página de inicio de Jacob Lurie
• Henry, Simon (26 de mayo de 2022). Hipótesis de homotopía de Grothendieck (PDF) . Grothendieck, un gigante múltiple: matemáticas, lógica y filosofía.
• "Estado actual de la hipótesis de homotopía de Grothendieck y el programa de homotopía algebraica de Whitehead". Desbordamiento matemático .