A¹ teoría de la homotopía

Aplicación de la homotopía a variedades algebraicas.

En geometría algebraica y topología algebraica , ramas de las matemáticas , la teoría de la homotopía A ¹ o teoría de la homotopía motívica es una forma de aplicar las técnicas de la topología algebraica, específicamente la homotopía , a variedades algebraicas y, más generalmente, a esquemas . La teoría se debe a Fabien Morel y Vladimir Voevodsky . La idea subyacente es que debería ser posible desarrollar un enfoque puramente algebraico de la teoría de la homotopía reemplazando el intervalo unitario [0, 1] , que no es una variedad algebraica, con la línea afín A ¹ , que sí lo es. La teoría ha visto aplicaciones espectaculares como la construcción de Voevodsky de la categoría derivada de motivos mixtos y la prueba de las conjeturas de Milnor y Bloch-Kato .

Construcción

Una teoría de homotopía ¹ se basa en una categoría llamadacategoría de homotopía A ¹ . En pocas palabras, la categoría de homotopía A ¹ , o más bien el funtor canónico, es el funtor universal de la categoríade esquemas suaveshacia una categoría infinita que satisface la descendencia de Nisnevich , de modo que la línea afín A ¹ se vuelve contráctil. Aquíhay un esquema base preseleccionado (por ejemplo, el espectro de los números complejos). ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )}$

Esta definición en términos de una propiedad universal no es posible sin infinidad de categorías. Estos no estaban disponibles en los años 90 y la definición original pasa por la teoría de categorías modelo de Quillen . Otra forma de ver la situación es que la definición original de Morel-Voevodsky produce un modelo concreto para (la categoría de homotopía de) la categoría de infinito . ${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$

Esta construcción más concreta se esboza a continuación.

Paso 0

Elija un esquema base . Clásicamente se pide que sea noetheriano, pero muchos autores modernos como Marc Hoyois trabajan con esquemas de bases cuasi compactos y cuasi separados. En cualquier caso, muchos resultados importantes sólo se conocen sobre un campo base perfecto, como los números complejos, por lo que consideraremos sólo este caso. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Paso 1

Paso 1a: Gavillas Nisnevich . Clásicamente, la construcción comienza con la categoría de poleas Nisnevich en la categoría de esquemas lisos encima . Heurísticamente, esto debe considerarse (y en un sentido técnico preciso es ) la ampliación universal de obtenida al unir todos los colimits y obligar a satisfacer la descendencia de Nisnevich. ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

Paso 1b: gavillas simpliciales . Para realizar más fácilmente procedimientos teóricos de homotopía estándar, como colimits de homotopía y límites de homotopía, se reemplazan con la siguiente categoría de gavillas simpliciales. ${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$

Sea Δ la categoría simplex , es decir, la categoría cuyos objetos son los conjuntos

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

y cuyos morfismos son funciones que preservan el orden. Denotamos la categoría de functores . Es decir, es la categoría de objetos simpliciales en . Un objeto de este tipo también se denomina gavilla simplicial en . ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle Sm_{S}}$

Paso 1c: functores de fibra . Para cualquier esquema suave , cualquier punto y cualquier gavilla , escribamos para el tallo de la restricción de al pequeño sitio de Nisnevich de . Explícitamente, donde el colimit está sobre factorizaciones de la inclusión canónica a través de un morfismo étale . La colección es una familia conservadora de funtores de fibra para . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x^{*}F}$ ${\displaystyle F|_{X_{Nis}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)}$ ${\displaystyle x\to V\to X}$ ${\displaystyle x\to X}$ ${\displaystyle V\to X}$ ${\displaystyle \{x^{*}\}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

Paso 1d: la estructura del modelo cerrado . Definiremos una estructura de modelo cerrada en términos de functores de fibra. Sea un morfismo de haces simpliciales. Nosotros decimos eso: ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

• f es una equivalencia débil si, para cualquier funtor de fibra x de T , el morfismo de conjuntos simpliciales es una equivalencia débil. ${\displaystyle x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$
• f es una cofibración si es un monomorfismo.
• f es una fibración si tiene la propiedad de elevación correcta con respecto a cualquier cofibración que sea una equivalencia débil.

Se denota la categoría de homotopía de esta estructura modelo . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}(T)}$

Paso 2

Esta estructura modelo tiene ascendencia Nisnevich, pero no contrae la línea afín. Una gavilla simplicial se llama -local si para cualquier gavilla simplicial el mapa ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

inducida por es una biyección. Aquí estamos considerando un haz a través de la incrustación de Yoneda y el funtor de objeto simplicial constante . ${\displaystyle i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$

Un morfismo es una equivalencia débil si para cualquier local el mapa inducido ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})}$

es una biyección. La estructura del modelo local es la localización del modelo anterior con respecto a equivalencias débiles. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Definicion formal

Finalmente podemos definir la categoría de homotopía A ¹ .

Definición. Sea S un esquema noetheriano de dimensión finita (por ejemplo, el espectro de los números complejos), y sea Sm _{/ S} la categoría de esquemas suaves sobre S. Equipe Sm _{/ S} con la topología Nisnevich para obtener el sitio ( Sm _{/ S} ) _Nis . La categoría de homotopía (o categoría infinita) asociada a la estructura del modelo local se llama categoría de homotopía A ¹ . Se denota . De manera similar, para las gavillas simpliciales puntiagudas hay una categoría de homotopía puntiaguda asociada . ${\displaystyle S=Spec(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s,*}}$

Tenga en cuenta que por construcción, para cualquier X en Sm _{/ S} , existe un isomorfismo

X × _S A^1S
_​≅X ,​

en la categoría de homotopía.

Propiedades de la teoría

Productos de cuña y aplastamiento de (pre)gavillas simples

Debido a que comenzamos con una categoría de modelo simple para construir la categoría de homotopía, hay una serie de estructuras heredadas de la teoría abstracta de las categorías de modelos simples. En particular, para gavillas simpliciales puntiagudas podemos formar el producto cuña como el colimit ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

y el producto smash se define como

${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

Recuperando algunas de las construcciones clásicas de la teoría de la homotopía. Además, hay un cono de una (pre)gavilla simplicial y un cono de un morfismo, pero definirlos requiere la definición de las esferas simpliciales.

Esferas simples

Por el hecho de que comenzamos con una categoría de modelo simple, esto significa que hay un funtor cosimplicial

${\displaystyle \Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

definiendo los simples en . Recuerde que el n-simplex algebraico está dado por el esquema - ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}-1)}}\right)}$

Incrustar estos esquemas como prehaces y gavillas constantes da objetos en , que denotamos por . Estos son los objetos en la imagen de , es decir . Luego, usando la teoría abstracta de la homotopía simplicial, obtenemos las esferas simpliciales ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}}$

Entonces podemos formar el cono de una (pre)gavilla simplicial como

${\displaystyle C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}}$

y formar el cono de un morfismo como el colimit del diagrama ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}}$

Además, la fibra de carbono es simplemente la suspensión . En la categoría de homotopía puntiaguda se encuentra además el functor de suspensión ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\to C(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$dada por ${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

y su adjunto derecho

${\displaystyle \Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

llamado functor espacial de bucle .

Observaciones

La configuración, especialmente la topología de Nisnevich , se elige para hacer que la teoría K algebraica sea representable mediante un espectro y, en algunos aspectos, para hacer posible una prueba de la conjetura de Bloch-Kato.

Después de la construcción de Morel-Voevodsky, ha habido varios enfoques diferentes a la teoría de la homotopía A ¹ mediante el uso de otras estructuras de categorías de modelos o el uso de otras gavillas además de las gavillas de Nisnevich (por ejemplo, gavillas de Zariski o simplemente todas las gavillas previas). Cada una de estas construcciones produce la misma categoría de homotopía.

Hay dos tipos de esferas en la teoría: las que provienen del grupo multiplicativo que desempeña el papel de 1 -esfera en topología, y las que provienen de la esfera simplicial (considerada como una gavilla simplicial constante). Esto conduce a una teoría de esferas motívicas ^Sp, q ^{con dos} índices. Calcular los grupos de homotopía de esferas motívicas también produciría los grupos de homotopía estables clásicos de las esferas, por lo que a este respecto la teoría de la homotopía A ¹ es al menos tan complicada como la teoría de la homotopía clásica.

Analogías motívicas

Espacios de Eilenberg-Maclane

Para un grupo abeliano, la cohomología motívica de un esquema suave viene dada por los grupos de hipercohomología de la gavilla. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))}$

para . Esta cohomología representa una gavilla abeliana simplicial denotada correspondiente a la cual se considera un objeto en la categoría de homotopía motívica puntiaguda . Entonces, para un esquema suave tenemos la equivalencia ${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$ ${\displaystyle K(p,q,A)}$ ${\displaystyle A(q)[+p]}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(k)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

mostrando que estas gavillas representan espacios motívicos de Eilenberg-Maclane ^{[1] pg 3} .

La categoría de homotopía estable.

Una construcción adicional en la teoría de la homotopía A ¹ es la categoría SH ( S ), que se obtiene de la categoría inestable anterior al forzar que el producto smash con G _m se vuelva invertible. Este proceso se puede llevar a cabo utilizando construcciones de modelos categóricos utilizando los llamados espectros G _m o, alternativamente, utilizando categorías infinitas.

Para S = Spec ( R ), el espectro del campo de números reales, hay un functor

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )\to SH}$

a la categoría de homotopía estable de la topología algebraica. El functor se caracteriza por enviar un esquema suave X / R a la variedad real asociada a X. Este funtor tiene la propiedad de que envía el mapa.

${\displaystyle \rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

a una equivalencia, ya que la homotopía es equivalente a un conjunto de dos puntos. Bachmann (2018) ha demostrado que el funtor resultante ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH}$

es una equivalencia.

Referencias

1. Voevodsky, Vladimir (15 de julio de 2001). "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica". arXiv : matemáticas/0107109 .

Artículos de encuestas y conferencias.

• Morel (2002) Introducción a la teoría de la homotopía A1
• Antieau, Benjamín; Elmanto, Elden (2016), Introducción a la teoría de la homotopía motívica inestable , arXiv : 1605.00929 , Bibcode :2016arXiv160500929A

Homotopía motívica

Cimientos

• Grupos de homotopía estable motívica.
• Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999), "Teoría de esquemas de homotopía A1" (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi :10.1007/BF02698831, MR  1813224, S2CID  14420180 , consultado el 9 de mayo 2008
• Voevodsky, Vladimir (1998), "Teoría de la homotopía A1" (PDF) , Documenta Mathematica , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Berlín, 1998): 579–604, ISSN  1431-0635, SEÑOR  1648048
• Voevodsky, Vladimir (2008) "Categorías de homotopía motívica inestable en Nisnevich y topologías cdh"

Álgebra de Motivic Steenrod

• Voevodsky, Vladimir (2001) "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica"
• Voevodsky, Vladimir (2008) "Espacios Motivic Eilenberg-Maclane"

Secuencia espectral de Motivic Adams

• La secuencia espectral motívica de Adams.
• Teoría de la homotopía cromática motívica

Espectros

• Jardine. (1999) Espectros simétricos Motivic

Bloch-Kato

• La conjetura de Gersten para la teoría K de Milnor
• Giros de Tate y cohomología de P1.

Aplicaciones

• El álgebra motívica de Steenrod en característica positiva.
• Grupos de homotopía estable motívica.
• Sobre el Motivic π 0 {\displaystyle \pi _{0}} del Sphere Spectrum (Springer)
• Los primeros grupos estables de homotopía de la esfera motívica.
• En la porción cero del espectro de la esfera
• Desapareciendo en haces de homotopía motívica estable

Referencias

• Bachmann, Tom (2018), "Teoría de la homotopía estable de Motivic y Real Etale", Compositio Mathematica , 154 (5): 883–917, arXiv : 1608.08855 , doi : 10.1112/S0010437X17007710, S2CID  119305101