Anillo conmutativo simple

Anillo conmutativo simplicial: monoide conmutativo en grupos abelianos simpliciales

En álgebra , un anillo conmutativo simplicial es un monoide conmutativo en la categoría de grupos abelianos simpliciales o, de manera equivalente, un objeto simplicial en la categoría de anillos conmutativos . Si A es un anillo conmutativo simplicial, entonces se puede demostrar que es un anillo y que hay módulos sobre ese anillo (de hecho, es un anillo graduado sobre ). ${\displaystyle \pi _{0}A}$ ${\displaystyle \pi _{i}A}$ ${\displaystyle \pi _{*}A}$ ${\displaystyle \pi _{0}A}$

Una contraparte topológica de esta noción es un espectro de anillo conmutativo .

Ejemplos

• El anillo de formas diferenciales polinómicas en símplex.

Estructura de anillo graduado

Sea A un anillo conmutativo simple. Entonces, la estructura de anillo de A da la estructura de un anillo graduado conmutativo graduado de la siguiente manera. ${\displaystyle \pi _{*}A=\oplus _{i\geq 0}\pi _{i}A}$

Por la correspondencia de Dold-Kan , es la homología del complejo de cadenas correspondiente a A ; en particular, es un grupo abeliano graduado. A continuación, para multiplicar dos elementos, escribiendo para el círculo simplicial , sean dos aplicaciones. Entonces la composición ${\displaystyle \pi _{*}A}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x:(S^{1})^{\wedge i}\to A,\,\,y:(S^{1})^{\wedge j}\to A}$

${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\times (S^{1})^{\wedge j}\to A\times A\to A}$,

el segundo mapa induce la multiplicación de A . Esto a su vez da un elemento en . Así hemos definido la multiplicación graduada . Es asociativo porque el producto estrella lo es. Es conmutativo graduado (es decir, ) ya que la involución introduce un signo menos. ${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\wedge (S^{1})^{\wedge j}\to A}$ ${\displaystyle \pi _{i+j}A}$ ${\displaystyle \pi _{i}A\times \pi _{j}A\to \pi _{i+j}A}$ ${\displaystyle xy=(-1)^{|x||y|}yx}$ ${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}\to S^{1}\wedge S^{1}}$

Si M es un módulo simplicial sobre A (es decir, M es un grupo abeliano simplicial con una acción de A ), entonces el argumento similar muestra que tiene la estructura de un módulo graduado (cf. Espectro de módulo ). ${\displaystyle \pi _{*}M}$ ${\displaystyle \pi _{*}A}$

Especificaciones

Por definición, la categoría de esquemas derivados afines es la categoría opuesta a la categoría de anillos conmutativos simpliciales; un objeto correspondiente a A se denotará por . ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

Ver también

• E_n-ring

Referencias

• ¿Qué es un anillo conmutativo simplicial desde el punto de vista de la teoría de la homotopía?
• ¿Qué hechos del álgebra conmutativa fallan estrepitosamente en anillos conmutativos simples, incluso hasta la homotopía?
• Solicitud de referencia: CDGA frente a sAlg en char. 0
• A. Mathew, Anillos conmutativos simpliciales, I.
• B. Toën, Presheaves simpliciales y geometría algebraica derivada
• P. Goerss y K. Schemmerhorn, Categorías de modelos y métodos simplificados.