En geometría y combinatoria , una esfera d simplicial (o combinatoria ) es un complejo simplicial homeomorfo a la esfera d -dimensional . Algunas esferas simpliciales surgen como límites de politopos convexos , sin embargo, en dimensiones superiores la mayoría de las esferas simpliciales no se pueden obtener de esta manera.
Un problema abierto importante en el campo fue la conjetura g , formulada por Peter McMullen , que pregunta por el posible número de caras de diferentes dimensiones de una esfera simplicial. En diciembre de 2018, Karim Adiprasito demostró la conjetura g en el contexto más general de las esferas de homología racional. [1] [2]
De la fórmula de Euler se desprende que cualquier 2-esfera simplicial con n vértices tiene 3 n − 6 aristas y 2 n − 4 caras. El caso de n = 4 se realiza mediante el tetraedro. Al realizar repetidamente la subdivisión baricéntrica , es fácil construir una esfera simplicial para cualquier n ≥ 4. Además, Ernst Steinitz dio una caracterización de 1-esqueletos (o grafos de aristas) de politopos convexos en R 3, lo que implica que cualquier 2-esfera simplicial es un límite de un politopo convexo.
Branko Grünbaum construyó un ejemplo de una esfera simplicial no politópica (es decir, una esfera simplicial que no es el límite de un politopo). Gil Kalai demostró que, de hecho, "la mayoría" de las esferas simpliciales no son politópicas. El ejemplo más pequeño tiene una dimensión d = 4 y f 0 = 8 vértices.
El teorema del límite superior establece límites superiores para el número f i de i -caras de cualquier d -esfera simplicial con f 0 = n vértices. Esta conjetura fue demostrada para politopos convexos simpliciales por Peter McMullen en 1970 [3] y por Richard Stanley para esferas simpliciales generales en 1975.
La g -conjetura , formulada por McMullen en 1970, pide una caracterización completa de los f -vectores de las d -esferas simpliciales. En otras palabras, ¿cuáles son las posibles secuencias de números de caras de cada dimensión para una d -esfera simplicial? En el caso de las esferas politópicas, la respuesta viene dada por el g -teorema , demostrado en 1979 por Billera y Lee (existencia) y Stanley (necesidad). Se ha conjeturado que las mismas condiciones son necesarias para las esferas simpliciales generales. La conjetura fue demostrada por Karim Adiprasito en diciembre de 2018. [1] [2]