Teorema del límite superior

En matemáticas, el teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el mayor número posible de caras entre todos los politopos convexos con una dimensión y un número de vértices determinados. Es uno de los resultados centrales de la combinatoria poliédrica .

Originalmente conocida como la conjetura del límite superior , esta afirmación fue formulada por Theodore Motzkin , demostrada en 1970 por Peter McMullen , ^[1] y fortalecida desde politopos hasta subdivisiones de una esfera en 1975 por Richard P. Stanley .

Politopos cíclicos

El politopo cíclico puede definirse como la envoltura convexa de vértices en la curva de momentos , el conjunto de puntos de dimensión . La elección precisa de qué puntos de esta curva se seleccionan es irrelevante para la estructura combinatoria de este politopo. El número de caras de dimensión . de se da por la fórmula ${\displaystyle \Delta (n,d)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (t,t^{2},t^{3},\dots )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Delta (n,d)}$ $${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$$

y determinar completamente mediante las ecuaciones de Dehn-Sommerville . La misma fórmula para el número de caras se aplica de manera más general a cualquier politopo vecino . ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$ ${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

Declaración

El teorema del límite superior establece que si es una esfera simplicial de dimensión con vértices, entonces La diferencia entre para la dimensión de la esfera simplicial y para la dimensión del politopo cíclico proviene del hecho de que la superficie de un politopo -dimensional (como el politopo cíclico) es una subdivisión -dimensional de una esfera. Por lo tanto, el teorema del límite superior implica que el número de caras de un politopo arbitrario nunca puede ser mayor que el número de caras de un politopo cíclico o vecino con la misma dimensión y número de vértices. Asintóticamente, esto implica que hay como máximo caras de todas las dimensiones. Los mismos límites también se cumplen para los politopos convexos que no son simpliciales, ya que perturbar los vértices de dicho politopo (y tomar la envoltura convexa de los vértices perturbados) solo puede aumentar el número de caras. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle \scriptstyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$

Historia

La conjetura del límite superior para politopos simpliciales fue propuesta por Motzkin en 1957 y demostrada por McMullen en 1970. Un ingrediente clave en su demostración fue la siguiente reformulación en términos de vectores h :

${\displaystyle h_{i}(\Delta )\leq {\tbinom {n-d+i-1}{i}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i\leq \left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor .}$

Victor Klee sugirió que la misma afirmación debería ser válida para todas las esferas simples y esto fue establecido en 1975 por Stanley ^[2] utilizando la noción de anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos. Para una buena descripción histórica de este teorema, véase el artículo de Stanley "Cómo se demostró la conjetura del límite superior". ^[3]

Referencias

1. Ziegler, Günter M. (1995), Lecciones sobre politopos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 152, Springer, pág. 254, ISBN 9780387943657Finalmente , en 1970 McMullen dio una prueba completa de la conjetura del límite superior, que desde entonces se conoce como el teorema del límite superior. La prueba de McMullen es sorprendentemente simple y elegante, y combina dos herramientas clave: la capacidad de superposición y los vectores h .
2. Stanley, Richard (1996). Combinatoria y álgebra conmutativa . Birkhäuser Boston. pág. 164. ISBN. 0-8176-3836-9.
3. Stanley, Richard (2014). "Cómo se demostró la conjetura del límite superior". Anales de Combinatoria . 18 (3): 533–539. CiteSeerX 10.1.1.416.5481 . doi :10.1007/s00026-014-0238-5. S2CID  253585250.