En matemáticas, la correspondencia geométrica de Langlands relaciona la geometría algebraica y la teoría de la representación . Se trata de una reformulación de la correspondencia de Langlands obtenida sustituyendo los campos numéricos que aparecen en la versión teórica de números original por campos funcionales y aplicando técnicas de geometría algebraica . [1] La conjetura geométrica de Langlands afirma la existencia de la correspondencia geométrica de Langlands.
La existencia de la correspondencia geométrica de Langlands en el caso específico de grupos lineales generales sobre campos funcionales fue probada por Laurent Lafforgue en 2002, de donde se desprende como consecuencia del teorema de Lafforgue . [2]
En matemáticas, la correspondencia clásica de Langlands es una colección de resultados y conjeturas que relacionan la teoría de números y la teoría de la representación. Formulada por Robert Langlands a finales de la década de 1960, la correspondencia de Langlands está relacionada con conjeturas importantes de la teoría de números como la conjetura de Taniyama-Shimura , que incluye el último teorema de Fermat como caso especial. [1]
Las correspondencias de Langlands se pueden formular para campos globales (así como campos locales ), que se clasifican en campos numéricos o campos de funciones globales . Establecer la correspondencia clásica de Langlands, para campos numéricos, ha resultado extremadamente difícil. Como resultado, algunos matemáticos plantearon la correspondencia geométrica de Langlands para campos de funciones globales, que en cierto sentido ha demostrado ser más fácil de abordar. [3]
La conjetura geométrica de Langlands para grupos lineales generales sobre un campo funcional fue formulada por Vladimir Drinfeld y Gérard Laumon en 1987. [4] [5]
La conjetura geométrica de Langlands fue demostrada por Pierre Deligne y por Drinfeld en 1983. [6] [7]
Laurent Lafforgue demostró la conjetura geométrica de Langlands para más de un campo funcional en 2002. [2]
El 6 de mayo de 2024, un equipo de matemáticos, incluido Dennis Gaitsgory , anunció una supuesta prueba de la conjetura geométrica categórica no ramificada de Langlands. [8] [9] La prueba reclamada está contenida en más de 1.000 páginas en cinco artículos y ha sido calificada como "tan compleja que casi nadie puede explicarla". Incluso transmitir la importancia del resultado a otros matemáticos fue descrito por Drinfeld como "muy difícil, casi imposible". [10]
En un artículo de 2007, Anton Kapustin y Edward Witten describieron una conexión entre la correspondencia geométrica de Langlands y la dualidad S , una propiedad de ciertas teorías cuánticas de campos . [11]
En 2018, al aceptar el Premio Abel, Langlands entregó un artículo reformulando el programa geométrico utilizando herramientas similares a su correspondencia original de Langlands. [12] [13]
Citas relacionadas con la correspondencia de Geometric Langlands en Wikiquote
