Completa el programa Langlands para grupos lineales generales sobre campos de funciones algebraicas
En matemáticas , el teorema de Lafforgue , debido a Laurent Lafforgue , completa el programa de Langlands para grupos lineales generales sobre cuerpos de funciones algebraicas , al dar una correspondencia entre formas automórficas en estos grupos y representaciones de grupos de Galois .
Las conjeturas de Langlands fueron introducidas por Langlands (1967, 1970) y describen una correspondencia entre representaciones del grupo de Weil de un campo de funciones algebraicas y representaciones de grupos algebraicos sobre el campo de funciones, generalizando la teoría de campos de clases de campos de funciones desde grupos de Galois abelianos a grupos de Galois no abelianos.
Conjeturas de Langlands para GL1
Las conjeturas de Langlands para GL 1 ( K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de campos de clases . Más precisamente, el mapa de Artin da un mapa desde el grupo de clases ideal hasta la abelianización del grupo de Weil.
Representaciones automórficas de GLnorte(F)
Las representaciones de GL n ( F ) que aparecen en la correspondencia de Langlands son representaciones automórficas.
Teorema de Lafforgue para GLnorte(F)
Aquí F es un campo global de alguna característica positiva p , y ℓ es algún primo no igual a p .
El teorema de Lafforgue establece que existe una biyección σ entre:
- Clases de equivalencia de representaciones cuspidales π de GL n ( F ), y
- Clases de equivalencia de representaciones ℓ-ádicas irreducibles σ(π) de dimensión n del grupo de Galois absoluto de F
que preserva la función L en cada lugar de F .
La demostración del teorema de Lafforgue implica construir una representación σ(π) del grupo absoluto de Galois para cada representación cuspidal π. La idea de hacer esto es buscar en la cohomología ℓ-ádica de la pila de módulos de shtukas de rango n que tienen estructuras de nivel N compatibles para todos los N . La cohomología contiene subcocientes de la forma
- π⊗σ(π)⊗σ(π) ∨
que se puede utilizar para construir σ(π) a partir de π. Un problema importante es que la pila de módulos no es de tipo finito, lo que significa que existen enormes dificultades técnicas para estudiar su cohomología.
Aplicaciones
El teorema de Lafforgue implica la conjetura de Ramanujan-Petersson de que si una forma automórfica para GL n ( F ) tiene carácter central de orden finito, entonces los valores propios de Hecke correspondientes en cada lugar no ramificado tienen valor absoluto 1.
El teorema de Lafforgue implica la conjetura de Deligne (1980, 1.2.10) de que una representación l -ádica irreducible de dimensión finita del grupo de Galois absoluto con carácter determinante de orden finito es pura de peso 0.
Véase también
Referencias
- Borel, Armand (1979), "Funciones L automórficas", en Borel, Armand ; Casselman, W. (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Parte 2 , vol. XXXIII, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6, Sr. 0546608
- Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi :10.1007/BF02684780, ISSN 1618-1913, MR 0601520, S2CID 189769469
- Gelfand, IM; Graev, MI; Pyatetskii-Shapiro, II (1969) [1966], Teoría de la representación y funciones automórficas, Funciones generalizadas, vol. 6, Filadelfia, Pensilvania: WB Saunders Co., ISBN 978-0-12-279506-0, Sr. 0220673
- Lafforgue, Laurent (1998), "Chtoucas de Drinfeld et applications" [Chtoucas de Drinfeld y aplicaciones], Documenta Mathematica (en francés), II : 563–570, ISSN 1431-0635, MR 1648105
- Lafforgue, Laurent (2002), "Chtoucas de Drinfeld, fórmula de las trazas de Arthur-Selberg y correspondencia de Langlands". (Drinfeld shtukas, fórmula de las trazas de Arthur-Selberg y correspondencia de Langlands) Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Beijing, 2002), 383–400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.
- Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Formas automórficas en GL (2), Lecture Notes in Mathematics, vol. 114, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654, S2CID 122773458
- Langlands, Robert (1967), Carta al profesor Weil
- Langlands, RP (1970), "Problemas en la teoría de formas automórficas", Lectures in modern analysis and applications, III , Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 18–61, doi :10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, Sr. 0302614
- Gérard Laumon (2002), "La obra de Laurent Lafforgue", Actas del ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91–97,
- G. Laumon (2000), "La correspondencia de Langlands sur les corps de fonctions (d'après Laurent Lafforgue)" (La correspondencia de Langlands sobre campos funcionales (según Laurent Lafforgue)), Séminaire Bourbaki, 52e année, 1999-2000, No. 873.
Enlaces externos
- Publicaciones de Lafforgue
- La obra de Robert Langlands
- Rapoport (2002), La obra de Laurent Lafforgue (PDF) , arXiv : math/0212417 , Bibcode :2002math.....12417L
