Conjetura de Ramanujan-Petersson

Problema sin resolver en matemáticas

En matemáticas , la conjetura de Ramanujan , debida a Srinivasa Ramanujan  (1916, p. 176), establece que la función tau de Ramanujan dada por los coeficientes de Fourier τ ( n ) de la cúspide forma Δ ( z ) de peso 12

${\displaystyle \Delta (z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots ,}$

donde , satisface ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2},}$

cuando p es un número primo . La conjetura generalizada de Ramanujan o conjetura de Ramanujan-Petersson , introducida por Petersson  (1930), es una generalización a otras formas modulares o formas automórficas.

Función L de Ramanujan

La función zeta de Riemann y la función L de Dirichlet satisfacen el producto de Euler ,

y debido a su propiedad completamente multiplicativa

¿Existen funciones L distintas de la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet que satisfagan las relaciones anteriores? De hecho, las funciones L de las formas automórficas satisfacen el producto de Euler (1) pero no satisfacen (2) porque no tienen la propiedad completamente multiplicativa. Sin embargo, Ramanujan descubrió que la función L del discriminante modular satisface la relación modificada

donde τ ( p ) es la función tau de Ramanujan . El término

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2s-11}}}}$

se considera como la diferencia de la propiedad completamente multiplicativa. La función L anterior se denomina función L de Ramanujan .

Conjetura de Ramanujan

Ramanujan conjeturó lo siguiente:

1. τ es multiplicativo ,
2. τ no es completamente multiplicativo pero para primos p y j en N tenemos: τ ( p ^{j +1} ) = τ ( p ) τ ( p ^j  ) − p ¹¹ τ ( p ^{j −1}  ) , y
3. | τ ( p )| ≤ 2 p ^11/2 .

Ramanujan observó que la ecuación cuadrática de u = p ^{− s} en el denominador de RHS de (3) ,

${\displaystyle 1-\tau (p)u+p^{11}u^{2}}$

siempre tendría raíces imaginarias a partir de muchos ejemplos. La relación entre raíces y coeficientes de ecuaciones cuadráticas conduce a la tercera relación, llamada conjetura de Ramanujan . Además, para la función tau de Ramanujan, sean las raíces de la ecuación cuadrática anterior α y β , entonces

${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )=\operatorname {Re} (\beta )=p^{11/2},}$

que se parece a la hipótesis de Riemann . Implica una estimación que es sólo ligeramente más débil para todos los τ ( n ) , es decir, para cualquier ε > 0 :

${\displaystyle O\left(n^{11/2+\varepsilon }\right).}$

En 1917, L. Mordell demostró las dos primeras relaciones utilizando técnicas de análisis complejo, específicamente lo que ahora se conoce como operadores de Hecke . La tercera afirmación se derivó de la prueba de las conjeturas de Weil por Deligne (1974). Las formulaciones necesarias para demostrar que se trataba de una consecuencia eran delicadas y para nada obvias. Fue obra de Michio Kuga con contribuciones también de Mikio Sato , Goro Shimura y Yasutaka Ihara , seguidos por Deligne (1971). La existencia de la conexión inspiró parte del trabajo profundo de finales de los años 1960 cuando se estaban elaborando las consecuencias de la teoría de la cohomología étale .

Conjetura de Ramanujan-Petersson para formas modulares

En 1937, Erich Hecke utilizó operadores de Hecke para generalizar el método de la prueba de Mordell de las dos primeras conjeturas a la función L automorfa de los subgrupos discretos Γ de SL(2, Z ) . Para cualquier forma modular

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\qquad q=e^{2\pi iz},}$

Se puede formar la serie de Dirichlet.

${\displaystyle \varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Para una forma modular f  ( z ) de peso k ≥ 2 para Γ , φ ( s ) converge absolutamente en Re( s ) > k , porque a _n = O( n ^{k −1+ ε} ) . Como f es una forma modular de peso k , ( s − k ) φ ( s ) resulta ser un entero y R ( s ) = (2 π ) ^{− s} Γ( s ) φ ( s ) satisface la ecuación funcional :

${\displaystyle R(k-s)=(-1)^{k/2}R(s);}$

Esto fue demostrado por Wilton en 1929. Esta correspondencia entre f y φ es uno a uno ( a ₀ = (−1) ^{k /2}  Res _{s = k}  R ( s ) ). Sea g ( x ) = f  ( ix ) − a ₀ para x > 0 , entonces g ( x ) está relacionada con R ( s ) a través de la transformación de Mellin

${\displaystyle R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\,dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}\,ds.}$

Esta correspondencia relaciona la serie de Dirichlet que satisface la ecuación funcional anterior con la forma automórfica de un subgrupo discreto de SL(2, Z ) .

En el caso k ≥ 3 Hans Petersson introdujo una métrica en el espacio de formas modulares, llamada métrica de Petersson (ver también métrica de Weil–Petersson ). Esta conjetura recibió su nombre en su honor. Bajo la métrica de Petersson se muestra que podemos definir la ortogonalidad en el espacio de formas modulares como el espacio de formas cúspide y su espacio ortogonal y que tienen dimensiones finitas. Además, podemos calcular concretamente la dimensión del espacio de formas modulares holomorfas, utilizando el teorema de Riemann–Roch (ver las dimensiones de las formas modulares ).

Deligne (1971) utilizó el isomorfismo de Eichler-Shimura para reducir la conjetura de Ramanujan a las conjeturas de Weil que demostró más tarde. La conjetura más general de Ramanujan-Petersson para formas cúspide holomorfas en la teoría de formas modulares elípticas para subgrupos de congruencia tiene una formulación similar, con exponente ( k − 1)/2 donde k es el peso de la forma. Estos resultados también se desprenden de las conjeturas de Weil , excepto para el caso k = 1 , donde es un resultado de Deligne y Serre (1974).

La conjetura de Ramanujan-Petersson para las formas de Maass todavía está abierta (a partir de 2022) porque el método de Deligne, que funciona bien en el caso holomorfo, no funciona en el caso analítico real.

Conjetura de Ramanujan-Petersson para formas automorfas

Satake (1966) reformuló la conjetura de Ramanujan-Petersson en términos de representaciones automórficas para GL(2) diciendo que los componentes locales de las representaciones automórficas se encuentran en la serie principal, y sugirió esta condición como una generalización de la conjetura de Ramanujan-Petersson a las formas automórficas en otros grupos. Otra forma de decir esto es que los componentes locales de las formas cúspide deberían ser templados. Sin embargo, varios autores encontraron contraejemplos para grupos anisotrópicos donde el componente en el infinito no estaba templado. Kurokawa (1978) y Howe & Piatetski-Shapiro (1979) demostraron que la conjetura también era falsa incluso para algunos grupos cuasi-split y split, al construir formas automórficas para el grupo unitario U(2, 1) y el grupo simpléctico Sp(4) que no están templados casi en todas partes, relacionados con la representación θ 10 .

Después de que se encontraron los contraejemplos, Howe y Piatetski-Shapiro (1979) sugirieron que una reformulación de la conjetura aún debería ser válida. La formulación actual de la conjetura generalizada de Ramanujan es para una representación automórfica cuspidal globalmente genérica de un grupo reductivo conexo , donde el supuesto genérico significa que la representación admite un modelo de Whittaker . Afirma que cada componente local de tal representación debe ser moderado. Es una observación debida a Langlands que establecer la funcionalidad de las potencias simétricas de las representaciones automórficas de GL( n ) dará una prueba de la conjetura de Ramanujan-Petersson.

Límites hacia Ramanujan sobre campos numéricos

La obtención de los mejores límites posibles para la conjetura generalizada de Ramanujan en el caso de cuerpos de números ha llamado la atención de muchos matemáticos. Cada mejora se considera un hito en el mundo de la teoría de números moderna . Para comprender los límites de Ramanujan para GL( n ) , considere una representación automórfica cuspidal unitaria :

${\displaystyle \pi =\bigotimes \pi _{v}.}$

La clasificación de Bernstein-Zelevinsky nos dice que cada π _v p-ádico se puede obtener mediante inducción parabólica unitaria a partir de una representación

${\displaystyle \tau _{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau _{d,v}.}$

Aquí cada uno es una representación de GL( n _i ) , sobre el lugar v , de la forma ${\displaystyle \tau _{i,v}}$

${\displaystyle \tau _{i_{0},v}\otimes \left|\det \right|_{v}^{\sigma _{i,v}}}$

con templado. Dado n ≥ 2 , un límite de Ramanujan es un número δ ≥ 0 tal que ${\displaystyle \tau _{i_{0},v}}$

${\displaystyle \max _{i}\left|\sigma _{i,v}\right|\leq \delta .}$

La clasificación de Langlands se puede utilizar para los lugares arquimedianos . La conjetura generalizada de Ramanujan es equivalente al límite δ = 0 .

Jacquet, Piatetskii-Shapiro y Shalika (1983) obtienen una primera cota de δ ≤ 1/2 para el grupo lineal general GL( n ) , conocida como la cota trivial. Un avance importante fue realizado por Luo, Rudnick y Sarnak (1999), quienes actualmente mantienen la mejor cota general de δ ≡ 1/2 − ( n ² +1) ⁻¹ para n arbitrario y cualquier cuerpo de números . En el caso de GL(2) , Kim y Sarnak establecieron la cota de avance de δ = 7/64 cuando el cuerpo de números es el cuerpo de números racionales , que se obtiene como consecuencia del resultado de functorialidad de Kim (2002) sobre la cuarta simétrica obtenida mediante el método Langlands–Shahidi . La generalización de las cotas de Kim-Sarnak a un cuerpo de números arbitrario es posible mediante los resultados de Blomer y Brumley (2011).

Para grupos reductivos distintos de GL( n ) , la conjetura generalizada de Ramanujan se seguiría del principio de funtorialidad de Langlands . Un ejemplo importante son los grupos clásicos , donde los mejores límites posibles fueron obtenidos por Cogdell et al. (2004) como consecuencia de su sustentación funcional de Langlands .

La conjetura de Ramanujan-Petersson sobre campos de funciones globales

La prueba de Drinfeld de la correspondencia global de Langlands para GL(2) sobre un cuerpo de funciones globales conduce a una prueba de la conjetura de Ramanujan-Petersson. Lafforgue (2002) extendió con éxito la técnica shtuka de Drinfeld al caso de GL( n ) en característica positiva. Mediante una técnica diferente que extiende el método de Langlands-Shahidi para incluir cuerpos de funciones globales, Lomelí (2009) prueba la conjetura de Ramanujan para los grupos clásicos .

Aplicaciones

Una aplicación de la conjetura de Ramanujan es la construcción explícita de grafos de Ramanujan por parte de Lubotzky , Phillips y Sarnak . De hecho, el nombre "grafo de Ramanujan" se derivó de esta conexión. Otra aplicación es que la conjetura de Ramanujan-Petersson para el grupo lineal general GL( n ) implica la conjetura de Selberg sobre los valores propios del laplaciano para algunos grupos discretos.

Referencias

• Blomer, Valentin; Brumley, Farrell (julio de 2011). "Sobre la conjetura de Ramanujan sobre cuerpos numéricos". Anales de Matemáticas . 174 (1): 581–605. arXiv : 1003.0559 . doi :10.4007/annals.2011.174.1.18. ISSN  0003-486X. MR  2811610. S2CID  54686173.
• Cogdell, JW; Kim, HH; Piatetski-Shapiro, II; Shahidi, F. (junio de 2004). "Funcionalidad para los grupos clásicos". Publications Mathématiques de l'IHÉS . 99 (1): 163–233. CiteSeerX  10.1.1.495.6662 . doi :10.1007/s10240-004-0020-z. ISSN  0073-8301. S2CID  7731057.
• Deligne, Pierre (1971). "Formes modulares et représentations l-adiques". Seminario Bourbaki. 1968/69: Exposés 347 - 363 . Apuntes de clases de matemáticas. vol. 179. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0058801. ISBN 978-3-540-05356-9.
• Deligne, Pierre (diciembre de 1974). "La conjetura de Weil. I". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (en francés). 43 (1): 273–307. doi :10.1007/BF02684373. ISSN  0073-8301. SEÑOR  0340258. S2CID  123139343.
• Deligne, Pierre ; Serre, Jean-Pierre (1974). "Formes modulaires de poids". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 4. 7 (4): 507–530. doi : 10.24033/asens.1277 . ISSN  0012-9593. SEÑOR  0379379.
• Howe, Roger ; Piatetski-Shapiro, II; et al. (Sociedad Americana de Matemáticas) (1979). "Un contraejemplo de la "conjetura generalizada de Ramanujan" para grupos (cuasi) divididos". En Borel, Armand ; Casselman, Bill (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L . Actas de simposios sobre matemáticas puras. Providence, RI: Sociedad Americana de Matemáticas . págs. 315–322. ISBN 978-0-8218-1435-2.Sr. 0546605  .
• Jacquet, H.; Piatetskii-Shapiro, II; Shalika, JA (abril de 1983). "Convoluciones de Rankin-Selberg". Revista Estadounidense de Matemáticas . 105 (2): 367. doi : 10.2307/2374264. JSTOR  2374264. S2CID  124304599.
• Kim, Henry (2002). "Funcionalidad para el cuadrado exterior de 𝐺𝐿₄ y el cuarto simétrico de 𝐺𝐿₂" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Americana . 16 (1): 139–183. doi :10.1090/S0894-0347-02-00410-1. ISSN  0894-0347.
• Kurokawa, Nobushige (junio de 1978). "Ejemplos de valores propios de operadores de Hecke en formas de cúspide de Siegel de grado dos". Inventiones Mathematicae . 49 (2): 149–165. Bibcode :1978InMat..49..149K. doi :10.1007/BF01403084. ISSN  0020-9910. MR  0511188. S2CID  120041528.
• Langlands, RP (1970). "Problemas en la teoría de formas automórficas". En Taam, Choy T. (ed.). Lecciones de análisis y aplicaciones modernas. 3. Apuntes de clase sobre matemáticas. Vol. 170. Berlín: Springer . pp. 18–61. doi :10.1007/BFb0079065. ISBN. 978-3-540-05284-5.Sr. 0302614  .
• Lomelí, LA (2009). "Funcionalidad para los grupos clásicos sobre cuerpos de funciones". International Mathematics Research Notices : 4271–4335. doi :10.1093/imrn/rnp089. ISSN  1073-7928. MR  2552304.
• Luo, Wenzhi; Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1999). Doran, Robert; Dou, Ze-Li; Gilbert, George (eds.). "Sobre la conjetura generalizada de Ramanujan para 𝐺𝐿(𝑛)". Proc. Sympos. Matemáticas puras. Actas de simposios sobre matemáticas puras. 66 (2). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 301–310. doi :10.1090/pspum/066.2/1703764. ISBN 978-0-8218-1051-4.
• Petersson, Hans (diciembre de 1930). "Theorie der automorphen Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincaréscher Reihen". Mathematische Annalen (en alemán). 103 (1): 369–436. doi :10.1007/BF01455702. ISSN  0025-5831. S2CID  122378161.
• Borel, Armand; Casselman, W. (1979). "Teoremas de multiplicidad uno". En Borel, Armand ; Casselman., W. (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L . Actas de simposios sobre matemáticas puras . Providence (Rhode Island): American Mathematical Society. págs. 209–212. ISBN 978-0-8218-1474-1.Sr. 0546599  .
• Ramanujan, Srinivasa (1916). "Sobre ciertas funciones aritméticas" (PDF) . Transactions of the Cambridge Philosophical Society . XXII (9): 159–184.Reimpreso en Ramanujan Aiyangar, Srinivasa (2000). "Documento 18". En Hardy, Godfrey H. (ed.). Documentos recopilados de Srinivasa Ramanujan (edición reimpresa). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. págs. 136–162. ISBN 978-0-8218-2076-6.Sr. 2280843  .
• Sarnak, Peter (2005). "Notas sobre las conjeturas generalizadas de Ramanujan" (PDF) . En Clay Mathematics Institute; Arthur, James; Ellwood, D.; Kottwitz, Robert E. (eds.). Análisis armónico, la fórmula de la traza y variedades de Shimura: actas del Clay Mathematics Institute, Escuela de verano de 2003, Instituto Fields, Toronto, Canadá, 2-27 de junio de 2003. Actas de matemáticas de Clay. Vol. 4. Providence, RI: American Mathematical Society . págs. 659–685. ISBN . 978-0-8218-3844-0. Sr.  2192019. OCLC  62282742.
• Satake, Ichirô (1966). "Funciones esféricas y conjetura de Ramanujan". En Borel, Armand ; Mostow, George D. (eds.). Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Boulder, Colorado, 1965) . Proc. Sympos. Matemática pura. Vol. IX. Providence, RI págs. 258–264. ISBN 978-0-8218-3213-4.Sr. 0211955  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )