modelo whittaker

En matemáticas, representación de un grupo algebraico reductivo.

En teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el modelo de Whittaker es una realización de una representación de un grupo algebraico reductivo como GL ₂ sobre un campo finito o local o global en un espacio de funciones en el grupo. Lleva el nombre de ET Whittaker a pesar de que nunca trabajó en esta área, porque (Jacquet 1966, 1967) señaló que para el grupo SL ₂ ( R ) algunas de las funciones involucradas en la representación son funciones de Whittaker .

Las representaciones irreductibles sin un modelo de Whittaker a veces se denominan "degeneradas", y aquellas con un modelo de Whittaker a veces se denominan "genéricas". La representación θ 10 del grupo simpléctico Sp ₄ es el ejemplo más simple de representación degenerada.

Modelos Whittaker para GL 2

Si G es el grupo algebraico GL ₂ y F es un campo local, y τ es un carácter fijo no trivial del grupo aditivo de F y π es una representación irreducible de un grupo lineal general G ( F ), entonces el modelo de Whittaker para π es una representación π en un espacio de funciones ƒ en G ( F ) que satisfacen

${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).}$

Jacquet y Langlands (1970) utilizaron modelos de Whittaker para asignar funciones L a representaciones admisibles de GL ₂ .

Modelos Whittaker para GL n

Sea el grupo lineal general , un carácter aditivo no trivial de valor complejo suave y el subgrupo de que consta de matrices triangulares superiores unipotentes. Un carácter no degenerado tiene la forma ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

para ∈ y distinto de cero ∈ . Si es una representación suave de , un funcional de Whittaker es un funcional lineal continuo tal que para todo ∈ , ∈ . En multiplicidad se afirma que, para unitarios irreducibles, el espacio de los funcionales de Whittaker tiene una dimensión como máximo igual a uno. ${\displaystyle u=(x_{ij})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle G(F)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$

Modelos de Whittaker para grupos reductivos.

Si G es un grupo reductor dividido y U es el radical unipotente de un subgrupo B de Borel , entonces un modelo de Whittaker para una representación es una incorporación del mismo en la representación inducida ( Gelfand-Graev ) Ind.^GU
_​( χ ), donde χ es un carácter no degenerado de U , como la suma de los caracteres correspondientes a raíces simples.

Ver también

• Representación de Gelfand-Graev , aproximadamente la suma de los modelos de Whittaker sobre un campo finito.
• modelo kirillov

Referencias

• Jacquet, Hervé (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943 – A945, ISSN  0151-0509, SEÑOR  0200390
• Jacquet, Hervé (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243–309, doi : 10.24033/bsmf.1654 , ISSN  0037-9484, MR  0271275
• Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Formas automórficas en GL (2), Lecture Notes in Mathematics, vol. 114, vol. 114, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, SEÑOR  0401654, S2CID  122773458
• JA Shalika, El teorema de la multiplicidad uno ${\displaystyle GL_{n}}$ , The Annals of Mathematics, 2º. Ser., vol. 100, núm. 2 (1974), 171-193.

Otras lecturas

• Jacquet, Hervé; Shalika, José (1983). "Los modelos Whittaker de representaciones inducidas". Revista Pacífico de Matemáticas . 109 (1): 107-120. doi : 10.2140/pjm.1983.109.107 . ISSN  0030-8730.