En matemáticas, las representaciones admisibles son una clase de representaciones que se comportan bien y que se utilizan en la teoría de representaciones de grupos de Lie reductivos y grupos totalmente desconectados localmente compactos . Fueron introducidas por Harish-Chandra .
Sea G un grupo de Lie reductivo (real o complejo) conexo. Sea K un subgrupo compacto maximalista. Una representación continua (π, V ) de G en un espacio de Hilbert complejo V [1] se llama admisible si π restringido a K es unitario y cada representación unitaria irreducible de K ocurre en él con multiplicidad finita. El ejemplo prototípico es el de una representación unitaria irreducible de G .
Una representación admisible π induce un módulo -que es más fácil de manejar ya que es un objeto algebraico. Se dice que dos representaciones admisibles son infinitesimalmente equivalentes si sus módulos -asociados son isomorfos. Aunque para las representaciones admisibles generales, esta noción es diferente de la equivalencia habitual, es un resultado importante que las dos nociones de equivalencia concuerden para las representaciones unitarias (admisibles). Además, existe una noción de unitaridad de los módulos -. Esto reduce el estudio de las clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G al estudio de las clases de equivalencia infinitesimales de representaciones admisibles y la determinación de cuáles de estas clases son infinitesimalmente unitarias. El problema de parametrizar las clases de equivalencia infinitesimales de representaciones admisibles fue resuelto completamente por Robert Langlands y se llama clasificación de Langlands .
Sea G un grupo totalmente desconectado localmente compacto (tal como un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo local no arquimediano o sobre los adelos finitos de un cuerpo global ). Una representación (π, V ) de G sobre un espacio vectorial complejo V se llama suave si el subgrupo de G que fija cualquier vector de V es abierto . Si, además, el espacio de vectores fijado por cualquier subgrupo abierto compacto es de dimensión finita entonces π se llama admisible . Las representaciones admisibles de grupos p -ádicos admiten una descripción más algebraica a través de la acción del álgebra de Hecke de funciones localmente constantes sobre G .
Casselman y Bernstein y Zelevinsky realizaron estudios profundos de representaciones admisibles de grupos reductivos p -ádicos en la década de 1970. Más recientemente [¿ cuándo? ] Howe , Moy, Gopal Prasad y Bushnell y Kutzko lograron avances al desarrollar una teoría de tipos y clasificar el dual admisible (es decir, el conjunto de clases de equivalencia de representaciones admisibles irreducibles) en muchos casos. [ cita requerida ]
