En matemáticas , la clasificación de Langlands es una descripción de las representaciones irreducibles de un grupo de Lie reductivo G , sugerida por Robert Langlands (1973). Hay dos versiones ligeramente diferentes de la clasificación de Langlands. Una de ellas describe los módulos ( g , K ) admisibles irreducibles , para g un álgebra de Lie de un grupo de Lie reductivo G , con subgrupo compacto máximo K , en términos de representaciones templadas de grupos más pequeños. Las representaciones templadas fueron a su vez clasificadas por Anthony Knapp y Gregg Zuckerman . La otra versión de la clasificación de Langlands divide las representaciones irreducibles en L-paquetes , y clasifica los L-paquetes en términos de ciertos homomorfismos del grupo de Weil de R o C en el grupo dual de Langlands .
Notación
- g es el álgebra de Lie de un grupo de Lie reductivo real G en la clase Harish-Chandra .
- K es un subgrupo compacto maximalista de G , con álgebra de Lie k .
- ω es una involución de Cartan de G , que fija K .
- p es el espacio propio −1 de una involución de Cartan de g .
- a es un subespacio abeliano máximo de p .
- Σ es el sistema raíz de a en g .
- Δ es un conjunto de raíces simples de Σ.
Clasificación
La clasificación de Langlands establece que las representaciones admisibles irreducibles de ( g , K ) están parametrizadas por triples
- ( F , σ, λ)
dónde
- F es un subconjunto de Δ
- Q es el subgrupo parabólico estándar de F , con descomposición de Langlands Q = MAN
- σ es una representación temperada irreducible del grupo de Lie semisimple M (salvo isomorfismo)
- λ es un elemento de Hom( a F , C ) con α(Re(λ)) > 0 para todas las raíces simples α que no estén en F .
Más precisamente, la representación admisible irreducible dada por los datos anteriores es el cociente irreducible de una representación inducida parabólicamente.
Para ver un ejemplo de la clasificación de Langlands, consulte la teoría de representación de SL2(R) .
Variaciones
Existen varias variaciones menores de la clasificación de Langlands. Por ejemplo:
- En lugar de tomar un cociente irreducible, se puede tomar un submódulo irreducible.
- Dado que las representaciones templadas se dan a su vez como ciertas representaciones inducidas a partir de representaciones de series discretas o de límites de series discretas, se pueden realizar ambas inducciones a la vez y obtener una clasificación de Langlands parametrizada por representaciones de series discretas o de límites de series discretas en lugar de representaciones templadas. El problema de hacer esto es que es complicado decidir cuándo dos representaciones irreducibles son iguales.
Referencias
- Adams, Jeffrey; Barbasch, Dan; Vogan, David A. (1992), La clasificación de Langlands y los caracteres irreducibles para grupos reductivos reales, Progress in Mathematics, vol. 104, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3634-0, Sr. 1162533
- EP van den Ban, Representaciones inducidas y la clasificación de Langlands, en ISBN 0-8218-0609-2 (T. Bailey y AW Knapp, eds.).
- Borel, A. y Wallach, N. Cohomología continua, subgrupos discretos y representaciones de grupos reductivos . Segunda edición. Mathematical Surveys and Monographs, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. xviii+260 pp. ISBN 0-8218-0851-6
- Langlands, Robert P. (1989) [1973], "Sobre la clasificación de representaciones irreducibles de grupos algebraicos reales", en Sally, Paul J.; Vogan, David A. (eds.), Teoría de la representación y análisis armónico en grupos de Lie semisimples , Math. Surveys Monogr., vol. 31, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 101–170, ISBN 978-0-8218-1526-7, Sr. 1011897
- Vogan, David A. (2000), "Una clasificación de Langlands para representaciones unitarias" (PDF) , en Kobayashi, Toshiyuki; Kashiwara, Masaki ; Matsuki, Toshihiko; Nishiyama, Kyo; Oshima, Toshio (eds.), Análisis de espacios homogéneos y teoría de representación de grupos de Lie, Okayama--Kyoto (1997) , Adv. Stud. Pure Math., vol. 26, Tokio: Math. Soc. Japón, págs. 299–324, ISBN 978-4-314-10138-7, Sr. 1770725
- D. Vogan, Representaciones de grupos de Lie reductivos reales , ISBN 3-7643-3037-6
