función de whitaker

En matemáticas, una solución a una forma modificada de la ecuación hipergeométrica confluente

Gráfica de la función de Whittaker M k,m(z) con k=2 y m=½ en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas, una función de Whittaker es una solución especial de la ecuación de Whittaker , una forma modificada de la ecuación hipergeométrica confluente introducida por Whittaker  (1903) para hacer que las fórmulas que involucran las soluciones sean más simétricas. De manera más general, Jacquet  (1966, 1967) introdujo funciones de Whittaker de grupos reductivos sobre campos locales , donde las funciones estudiadas por Whittaker son esencialmente el caso en el que el campo local son los números reales y el grupo es SL ₂ ( R ).

La ecuación de Whittaker es

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

Tiene un punto singular regular en 0 y un punto singular irregular en ∞. Dos soluciones vienen dadas por las funciones de Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ), definidas en términos de las funciones hipergeométricas confluentes de Kummer M y U por

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).}$

La función de Whittaker es la misma que aquellas con valores opuestos de μ , en otras palabras, considerada como función de μ en κ y z fijos , son funciones pares . Cuando κ y z son reales, las funciones dan valores reales para valores reales e imaginarios de μ . Estas funciones de μ desempeñan un papel en los llamados espacios de Kummer. ^[1] ${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)}$

Las funciones de Whittaker aparecen como coeficientes de ciertas representaciones del grupo SL ₂ ( R ), llamados modelos de Whittaker .

Referencias

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Otras lecturas

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