Las conjeturas de multiplicidad de Serre

En matemáticas , las conjeturas de multiplicidad de Serre , que llevan el nombre de Jean-Pierre Serre , son ciertos problemas de álgebra conmutativa , motivados por las necesidades de la geometría algebraica . Desde la definición inicial de números de intersección de André Weil , alrededor de 1949, había existido la cuestión de cómo proporcionar una teoría más flexible y computable, que Serre intentó abordar. En 1958, Serre se dio cuenta de que las ideas algebraico-geométricas clásicas de multiplicidad podían generalizarse utilizando los conceptos de álgebra homológica .

Sea R un anillo local noetheriano , conmutativo y regular , y sean P y Q ideales primos de R. Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q mediante sus functores Tor . A continuación, se indica la longitud del módulo y asumimos para el resto del artículo que ${\displaystyle \ell _{R}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \ell _{R}((R/P)\otimes _{R}(R/Q))<\infty .}$

Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q mediante la fórmula similar a la característica de Euler :

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)).}$

Para que esta definición proporcione una buena generalización de la multiplicidad de intersección clásica, sería deseable que ciertas relaciones clásicas siguieran manteniéndose. Serre destacó cuatro propiedades importantes, que se convirtieron en conjeturas de multiplicidad y que son difíciles de demostrar en el caso general. (Los enunciados de estas conjeturas se pueden generalizar de modo que R / P y R / Q sean reemplazados por módulos arbitrarios finitamente generados: consulte Álgebra local de Serre para obtener más detalles).

Desigualdad de dimensiones

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

Serre lo demostró en todos los anillos locales habituales. Estableció las siguientes tres propiedades cuando R es de igual característica o de característica mixta y no ramificada (lo que en este caso significa que la característica del campo residual no es un elemento del cuadrado del ideal máximo del anillo local), y conjeturó que ostentan en general.

No negatividad

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)\geq 0}$

Así lo demostró Ofer Gabber en 1995.

Desvanecimiento

Si

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\ }$

entonces

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)=0.\ }$

Esto fue demostrado en 1985 por Paul C. Roberts, e independientemente por Henri Gillet y Christophe Soulé .

Positividad

Si

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\ }$

entonces

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0.\ }$

Esto sigue abierto.

Ver también

• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa

Referencias

• Serre, Jean-Pierre (2000), Álgebra local , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer, págs. 106-110, doi :10.1007/978-3-662-04203-8, ISBN 978-3-642-08590-1, señor  1771925
• Roberts, Paul (1985), "La desaparición de multiplicidades de intersección de complejos perfectos", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 13 (2), Bull. América. Matemáticas. Soc. 13, núm. 2: 127–130, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15394-7 , SEÑOR  0799793
• Roberts, Paul (1998), Desarrollos recientes sobre las conjeturas de multiplicidad de Serre: prueba de Gabber de la conjetura de no negatividad , L'Enseign. Matemáticas. (2) 44, núm. 3-4, págs. 305–324, SEÑOR  1659224
• Berthelot, Pierre (1997), Altérations de variétés algébriques (d'après AJ de Jong) , Séminaire Bourbaki, vol. 1995/96, Astérisque No. 241, págs. 273–311, MR  1472543
• Gillet, H.; Soulé, C. (1987), "Teoría de intersección utilizando operaciones de Adams.", Inventiones Mathematicae , 90 (2), Invent. Matemáticas. 90, núm. 2: 243–277, Bibcode :1987InMat..90..243G, doi :10.1007/BF01388705, MR  0910201, S2CID  120635826
• Gabber, O. (1995), No negatividad de las multiplicidades de intersección de Serre , Exposé à L'IHES