Anillo conmutativo simplicial: monoide conmutativo en grupos abelianos simpliciales
En álgebra , un anillo conmutativo simplicial es un monoide conmutativo en la categoría de grupos abelianos simpliciales o, de manera equivalente, un objeto simplicial en la categoría de anillos conmutativos . Si A es un anillo conmutativo simplicial, entonces se puede demostrar que es un anillo y que hay módulos sobre ese anillo (de hecho, es un anillo graduado sobre ).
Una contraparte topológica de esta noción es un espectro de anillo conmutativo .
Ejemplos
Estructura de anillo graduado
Sea A un anillo conmutativo simple. Entonces, la estructura de anillo de A da la estructura de un anillo graduado conmutativo graduado de la siguiente manera.
Por la correspondencia de Dold-Kan , es la homología del complejo de cadenas correspondiente a A ; en particular, es un grupo abeliano graduado. A continuación, para multiplicar dos elementos, escribiendo para el círculo simplicial , sean dos aplicaciones. Entonces la composición
- ,
el segundo mapa induce la multiplicación de A . Esto a su vez da un elemento en . Así hemos definido la multiplicación graduada . Es asociativo porque el producto estrella lo es. Es conmutativo graduado (es decir, ) ya que la involución introduce un signo menos.
Si M es un módulo simplicial sobre A (es decir, M es un grupo abeliano simplicial con una acción de A ), entonces el argumento similar muestra que tiene la estructura de un módulo graduado (cf. Espectro de módulo ).
Especificaciones
Por definición, la categoría de esquemas derivados afines es la categoría opuesta a la categoría de anillos conmutativos simpliciales; un objeto correspondiente a A se denotará por .
Ver también
Referencias
- ¿Qué es un anillo conmutativo simplicial desde el punto de vista de la teoría de la homotopía?
- ¿Qué hechos del álgebra conmutativa fallan estrepitosamente en anillos conmutativos simples, incluso hasta la homotopía?
- Solicitud de referencia: CDGA frente a sAlg en char. 0
- A. Mathew, Anillos conmutativos simpliciales, I.
- B. Toën, Presheaves simpliciales y geometría algebraica derivada
- P. Goerss y K. Schemmerhorn, Categorías de modelos y métodos simplificados.