Homología cíclica

En geometría no conmutativa y ramas relacionadas de las matemáticas, la homología cíclica y la cohomología cíclica son ciertas teorías de (co)homología para álgebras asociativas que generalizan la (co)homología de de Rham de variedades. Estas nociones fueron introducidas independientemente por Boris Tsygan (homología) ^[1] y Alain Connes (cohomología) ^[2] en la década de 1980. Estos invariantes tienen muchas relaciones interesantes con varias ramas más antiguas de las matemáticas, incluyendo la teoría de de Rham, la (co)homología de Hochschild, la cohomología de grupos y la teoría K. Entre los contribuyentes al desarrollo de la teoría se incluyen Max Karoubi , Yuri L. Daletskii, Boris Feigin , Jean-Luc Brylinski , Mariusz Wodzicki , Jean-Louis Loday , Victor Nistor, Daniel Quillen , Joachim Cuntz , Ryszard Nest, Ralf Meyer y Michael Puschnigg.

Consejos sobre la definición

La primera definición de la homología cíclica de un anillo A sobre un campo de característica cero, denotado

HC _n ( A ) o H _n ^λ ( A ),

procedió por medio del siguiente complejo de cadena explícito relacionado con el complejo de homología de Hochschild de A , llamado complejo de Connes :

Para cualquier número natural n ≥ 0 , defina el operador que genera la acción cíclica natural de sobre el n -ésimo producto tensorial de A : ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}:A^{\otimes n}\to A^{\otimes n},\quad a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\mapsto (-1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}}$

Recordemos que los grupos complejos de Hochschild de A con coeficientes en A se dan al establecer para todo n ≥ 0 . Entonces los componentes del complejo de Connes se definen como , y la diferencial es la restricción de la diferencial de Hochschild a este cociente. Se puede comprobar que la diferencial de Hochschild efectivamente factoriza hasta este espacio de coinvariantes. ^[3] ${\displaystyle HC_{n}(A):=A^{\otimes n+1}}$ ${\displaystyle C_{n}^{\lambda }(A):=HC_{n}(A)/\langle 1-t_{n+1}\rangle }$ ${\displaystyle d:C_{n}^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)}$

Connes encontró posteriormente un enfoque más categórico para la homología cíclica utilizando una noción de objeto cíclico en una categoría abeliana , que es análoga a la noción de objeto simplicial . De esta manera, la homología cíclica (y la cohomología) se pueden interpretar como un funtor derivado , que se puede calcular explícitamente por medio del ( b , B )-bicomplejo. Si el cuerpo k contiene los números racionales, la definición en términos del complejo de Connes calcula la misma homología.

Una de las características más llamativas de la homología cíclica es la existencia de una larga secuencia exacta que conecta la homología de Hochschild con la cíclica. Esta larga secuencia exacta se denomina secuencia de periodicidad.

Caso de anillos conmutativos

La cohomología cíclica del álgebra conmutativa A de funciones regulares sobre una variedad algebraica afín sobre un cuerpo k de característica cero se puede calcular en términos del complejo de De Rham algebraico de Grothendieck . ^[4] En particular, si la variedad V = Spec A es suave, la cohomología cíclica de A se expresa en términos de la cohomología de De Rham de V de la siguiente manera:

${\displaystyle HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{\text{dR}}^{n-2i}(V).}$

Esta fórmula sugiere una forma de definir la cohomología de De Rham para un 'espectro no conmutativo' de un álgebra no conmutativa A , que fue ampliamente desarrollada por Connes.

Variantes de homología cíclica

Una de las motivaciones de la homología cíclica fue la necesidad de una aproximación de la teoría K que se define, a diferencia de la teoría K, como la homología de un complejo de cadena . La cohomología cíclica está, de hecho, dotada de un emparejamiento con la teoría K, y se espera que este emparejamiento no sea degenerado.

Se han definido una serie de variantes cuyo propósito es ajustarse mejor a las álgebras con topología, como las álgebras de Fréchet , -álgebras, etc. La razón es que la K-teoría se comporta mucho mejor en álgebras topológicas como las álgebras de Banach o las C*-álgebras que en álgebras sin estructura adicional. Dado que, por otro lado, la homología cíclica degenera en las C*-álgebras, surgió la necesidad de definir teorías modificadas. Entre ellas se encuentran la homología cíclica completa debida a Alain Connes , la homología cíclica analítica debida a Ralf Meyer ^[5] o la homología cíclica asintótica y local debida a Michael Puschnigg. ^[6] La última es muy cercana a la K-teoría ya que está dotada de un carácter de Chern bivariante de la KK-teoría . ${\displaystyle C^{*}}$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones de la homología cíclica es encontrar nuevas pruebas y generalizaciones del teorema de índice de Atiyah-Singer . Entre estas generalizaciones se encuentran los teoremas de índice basados ​​en triples espectrales ^[7] y la cuantificación de deformación de las estructuras de Poisson ^[8] .

Un operador elíptico D en una variedad compacta y suave define una clase en homología K. Un invariante de esta clase es el índice analítico del operador. Esto se ve como el emparejamiento de la clase [D], con el elemento 1 en HC(C(M)). La cohomología cíclica puede verse como una forma de obtener invariantes superiores de operadores diferenciales elípticos no solo para variedades suaves, sino también para foliaciones, orbifolds y espacios singulares que aparecen en geometría no conmutativa.

Cálculos de la teoría K algebraica

El mapa de trazas ciclotómicas es un mapa de la teoría K algebraica (de un anillo A , por ejemplo) a la homología cíclica:

${\displaystyle tr:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).}$

En algunas situaciones, este mapa se puede utilizar para calcular la teoría K por medio de este mapa. Un resultado pionero en esta dirección es un teorema de Goodwillie (1986): afirma que el mapa

${\displaystyle K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q} }$

entre la teoría K relativa de A con respecto a un ideal bilateral nilpotente I y la homología cíclica relativa (que mide la diferencia entre la teoría K u homología cíclica de A y de A / I ) hay un isomorfismo para n ≥1.

Si bien el resultado de Goodwillie es válido para anillos arbitrarios, una reducción rápida muestra que, en esencia, es solo una afirmación sobre . Para anillos que no contienen Q , la homología cíclica debe reemplazarse por homología cíclica topológica para mantener una conexión cercana con la teoría K. (Si Q está contenido en A , entonces la homología cíclica y la homología cíclica topológica de A concuerdan). Esto está en línea con el hecho de que la homología de Hochschild (clásica) se comporta peor que la homología de Hochschild topológica para anillos que no contienen Q . Clausen, Mathew y Morrow (2018) demostraron una generalización de largo alcance del resultado de Goodwillie, al afirmar que para un anillo conmutativo A de modo que el lema de Henselia se cumple con respecto al ideal I , la teoría K relativa es isomorfa a la homología cíclica topológica relativa (sin tensar ambas con Q ). Su resultado también abarca un teorema de Gabber (1992), que afirma que en esta situación el espectro relativo de la teoría K módulo un entero n que es invertible en A se desvanece. Jardine (1993) utilizó el resultado de Gabber y la rigidez de Suslin para refutar el cálculo de Quillen de la teoría K de campos finitos . ${\displaystyle A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$

Véase también

• Geometría no conmutativa

Notas

1. Boris L. Tsygan. Homología de álgebras de Lie matriciales sobre anillos y homología de Hochschild . Uspekhi Mat. Nauk, 38(2(230)):217–218, 1983. Traducción al ruso. Math. Survey 38(2) (1983), 198–199.
2. Alain Connes. Geometría diferencial no conmutativa. Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas, 62:257–360, 1985.
3. Jean-Louis Loday. Homología cíclica. Vol. 301. Springer Science & Business Media, 1997.
4. Boris L. Fegin y Boris L. Tsygan. Teoría K aditiva y cohomología cristalina. Funktsional. Anal. i Prilozhen., 19(2):52–62, 96, 1985.
5. Ralf Meyer. Cohomología cíclica analítica. Tesis doctoral, Universidad de Münster, 1999
6. Michael Puschnigg. Functores difeotópicos de álgebras ind y cohomología cíclica local. Doc. Math., 8:143–245 (versión electrónica), 2003.
7. Alain Connes y Henri Moscovici. La fórmula del índice local en geometría no conmutativa. Geom. Funct. Anal., 5(2):174–243, 1995.
8. Ryszard Nest y Boris Tsygan. Teorema del índice algebraico. Comm. Math. Phys., 172(2):223–262, 1995.

Referencias

• Jardine, JF (1993), "La teoría K de los campos finitos, revisada", K-Theory , 7 (6): 579–595, doi :10.1007/BF00961219, MR  1268594
• Loday, Jean-Louis (1998), Homología cíclica , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 301, Springer, ISBN 978-3-540-63074-6
• Gabber, Ofer (1992), " K -teoría de anillos locales henselianos y pares henselianos", Teoría K algebraica , álgebra conmutativa y geometría algebraica (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., vol. 126, AMS, págs. 59-70
• Clausen, Dustin; Mathew, Akhil; Morrow, Matthew (2018), "Teoría K y homología cíclica topológica de pares henselianos", arXiv : 1803.10897 [math.KT]
• Goodwillie, Thomas G. (1986), " Teoría K algebraica relativa y homología cíclica", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 124 (2): 347–402, doi :10.2307/1971283, JSTOR  1971283, MR  0855300
• Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 147, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290, Zbl  0801.19001. Fe de erratas

Enlaces externos

• "Cohomología cíclica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una nota personal sobre Hochschild y la homología cíclica