Anillo henseliano

En matemáticas , un anillo henseliano (o anillo de Hensel ) es un anillo local en el que se cumple el lema de Hensel . Fueron introducidos por Azumaya (1951), quien los nombró en honor a Kurt Hensel . Azumaya originalmente permitió que los anillos henselianos fueran no conmutativos , pero la mayoría de los autores ahora los restringen a ser conmutativos .

Algunas referencias estándar para los anillos de Hensel son (Nagata 1975, Capítulo VII), (Raynaud 1970) y (Grothendieck 1967, Capítulo 18).

Definiciones

En este artículo se asumirá que los anillos son conmutativos, aunque también existe una teoría de anillos henselianos no conmutativos.

• Un anillo local R con ideal máximo m se llama henseliano si se cumple el lema de Hensel. Esto significa que si P es un polinomio mónico en R [ x ], entonces cualquier factorización de su imagen P en ( R / m )[ x ] en un producto de polinomios mónicos coprimos puede elevarse a una factorización en R [ x ].
• Un anillo local es henseliano si y sólo si cada extensión de anillo finito es un producto de anillos locales.
• Un anillo local henseliano se denomina estrictamente henseliano si su campo de residuos está cerrado separablemente .
• Por abuso de terminología , se dice que un cuerpo con valoración es henseliano si su anillo de valoración es henseliano. Ese es el caso si y solo si se extiende de manera única a cada extensión finita de (resp. a cada extensión finita separable de , resp. a , resp. a ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{alg}}$ ${\displaystyle K^{sep}}$
• Un anillo se llama henseliano si es un producto directo de un número finito de anillos locales henselianos.

Propiedades

• Supongamos que es un campo henseliano. Entonces, toda extensión algebraica de es henseliana (según la cuarta definición anterior). ${\displaystyle (K,v)}$ ${\displaystyle K}$
• Si es un cuerpo henseliano y es algebraico sobre , entonces para cada conjugado de sobre , . Esto se deduce de la cuarta definición, y del hecho de que para cada K-automorfismo de , es una extensión de . La inversa de esta afirmación también se cumple, porque para una extensión de cuerpo normal , se sabe que las extensiones de a están conjugadas. ^[1] ${\displaystyle (K,v)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v(\alpha ')=v(\alpha )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K^{alg}}$ ${\displaystyle v\circ \sigma }$ ${\displaystyle v|_{K}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$

Anillos henselianos en geometría algebraica

Los anillos henselianos son los anillos locales con respecto a la topología de Nisnevich en el sentido de que si es un anillo local henseliano, y es un recubrimiento de Nisnevich de , entonces uno de los es un isomorfismo. Esto debe compararse con el hecho de que para cualquier recubrimiento abierto de Zariski del espectro de un anillo local , uno de los es un isomorfismo. De hecho, esta propiedad caracteriza a los anillos henselianos, respectivamente a los anillos locales. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle X=Spec(R)}$ ${\displaystyle U_{i}\to X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle X=Spec(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U_{i}\to X}$

Del mismo modo, los anillos henselianos estrictos son los anillos locales de puntos geométricos en la topología étale .

Henselización

Para cualquier anillo local A existe un anillo henseliano universal B generado por A , llamado la Henselización de A , introducido por Nagata (1953), de modo que cualquier homomorfismo local de A a un anillo henseliano puede extenderse de forma única a B . La Henselización de A es única hasta el isomorfismo único . La Henselización de A es un sustituto algebraico de la completitud de A . La Henselización de A tiene la misma completitud y cuerpo de residuos que A y es un módulo plano sobre A . Si A es noetheriano , reducido , normal, regular o excelente , entonces también lo es su Henselización. Por ejemplo, la Henselización del anillo de polinomios k [ x , y ,...] localizado en el punto (0,0,...) es el anillo de series de potencias formales algebraicas (las series de potencias formales que satisfacen una ecuación algebraica). Esto puede considerarse como la parte "algebraica" de la completitud.

De manera similar, existe un anillo estrictamente henseliano generado por A , llamado la Henselización estricta de A . La Henselización estricta no es del todo universal: es única, pero solo hasta un isomorfismo no único . Más precisamente, depende de la elección de una clausura algebraica separable del cuerpo de residuos de A , y los automorfismos de esta clausura algebraica separable corresponden a automorfismos de la Henselización estricta correspondiente. Por ejemplo, una Henselización estricta del cuerpo de números p -ádicos está dada por la extensión no ramificada máxima, generada por todas las raíces de la unidad de orden primo a p . No es "universal" ya que tiene automorfismos no triviales .

Ejemplos

• Cada campo es un anillo local henseliano. (Pero no todos los campos con valoración son "henselianos" en el sentido de la cuarta definición anterior).
• Los anillos locales de Hausdorff completos , como el anillo de números enteros p -ádicos y los anillos de series de potencias formales sobre un cuerpo, son henselianos.
• Los anillos de series de potencias convergentes sobre los números reales o complejos son henselianos.
• Los anillos de series de potencias algebraicas sobre un campo son henselianos.
• Un anillo local que es integral sobre un anillo henseliano es henseliano.
• La henselización de un anillo local es un anillo local henseliano.
• Cada cociente de un anillo henseliano es henseliano.
• Un anillo A es henseliano si y sólo si el anillo reducido asociado A _rojo es henseliano (este es el cociente de A por el ideal de elementos nilpotentes ).
• Si A tiene sólo un ideal primo entonces es henseliano ya que A _rojo es un campo.

Referencias

1. AJ Engler, A. Prestel, Campos valorados , Monografías Springer de matemáticas, 2005, thm. 3.2.15, pág. 69.

• Azumaya, Gorô (1951), "Sobre álgebras de máxima centralidad", Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017/s0027763000010114 , ISSN  0027-7630, MR  0040287
• Danilov, VI (2001) [1994], "Anillo de Hensel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grothendieck, Alexandre (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361 , doi :10.1007/BF02732123, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 , consultado el 9 de diciembre de 2007
• Kurke, H.; Pfister, G.; Roczen, M. (1975), Henselsche Ringe und algebraische Geometrie , Mathematische Monographien, vol. II, Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , señor  0491694
• Nagata, Masayoshi (1953), "Sobre la teoría de los anillos henselianos", Nagoya Mathematical Journal , 5 : 45–57, doi : 10.1017/s0027763000015439 , ISSN  0027-7630, MR  0051821
• Nagata, Masayoshi (1954), "Sobre la teoría de los anillos henselianos. II", Nagoya Mathematical Journal , 7 : 1–19, doi : 10.1017/s002776300001802x , ISSN  0027-7630, MR  0067865
• Nagata, Masayoshi (1959), "Sobre la teoría de los anillos henselianos. III", Memorias de la Facultad de Ciencias, Universidad de Kioto. Serie A: Matemáticas , 32 : 93–101, doi : 10.1215/kjm/1250776700 , MR  0109835
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Anillos locales , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13 (edición reimpresa), Nueva York-Londres: Interscience Publishers, una división de John Wiley & Sons, págs. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, Sr.  0155856
• Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes in Mathematics, vol. 169, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. v+129, doi :10.1007/BFb0069571, ISBN 978-3-540-05283-8, Sr.  0277519