Plegado orbi

Generalized manifold

No se me debe culpar por esta terminología. Se obtuvo mediante un proceso democrático en mi carrera de 1976-77. Un orbifold es algo con muchos pliegues; desafortunadamente, la palabra "manifold" ya tiene una definición diferente. Probé "foldamani", que fue rápidamente reemplazada por la sugerencia de "manifolded". Después de dos meses de decir pacientemente "no, un manifold no, un manifol muerto ", realizamos una votación y ganó "orbifold".

Thurston (1978–1981, pág. 300, sección 13.2) explicando el origen de la palabra "orbifold"

Ejemplo de Orbifold 23star

En las disciplinas matemáticas de la topología y la geometría , un orbifold (de "orbit-variedad") es una generalización de una variedad . En términos generales, un orbifold es un espacio topológico que es localmente un cociente de grupo finito de un espacio euclidiano .

Se han dado definiciones de orbifold varias veces: por Ichirō Satake en el contexto de formas automórficas en la década de 1950 bajo el nombre de V-variedad ; ^[1] por William Thurston en el contexto de la geometría de 3-variedades en la década de 1970 ^[2] cuando acuñó el nombre orbifold , después de una votación de sus estudiantes; y por André Haefliger en la década de 1980 en el contexto del programa de Mikhail Gromov sobre espacios CAT(k) bajo el nombre de orbihedron . ^[3]

Históricamente, los orbifolds surgieron primero como superficies con puntos singulares mucho antes de que se definieran formalmente. ^[4] Uno de los primeros ejemplos clásicos surgió en la teoría de formas modulares ^[5] con la acción del grupo modular en el semiplano superior : una versión del teorema de Riemann-Roch se cumple después de que el cociente se compactifique mediante la adición de dos puntos de cúspide de orbifold. En la teoría de 3 variedades , la teoría de los espacios de fibras de Seifert , iniciada por Herbert Seifert , puede expresarse en términos de orbifolds bidimensionales. ^[6] En la teoría de grupos geométricos , post-Gromov, los grupos discretos se han estudiado en términos de las propiedades de curvatura local de los orbiedros y sus espacios de cobertura. ^[7] ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

En teoría de cuerdas , la palabra "orbifold" tiene un significado ligeramente diferente, ^[8] que se analiza en detalle a continuación. En teoría de campos conformes bidimensionales , se refiere a la teoría asociada a la subálgebra de punto fijo de un álgebra de vértices bajo la acción de un grupo finito de automorfismos .

El principal ejemplo de espacio subyacente es un espacio cociente de una variedad bajo la acción propiamente discontinua de un grupo posiblemente infinito de difeomorfismos con subgrupos de isotropía finitos . ^[9] En particular, esto se aplica a cualquier acción de un grupo finito ; por lo tanto, una variedad con borde tiene una estructura orbifold natural, ya que es el cociente de su doble por una acción de . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Un espacio topológico puede tener diferentes estructuras de orbifold. Por ejemplo, considere el orbifold O asociado con un espacio cociente de la 2-esfera a lo largo de una rotación de ; es homeomorfo a la 2-esfera, pero la estructura natural del orbifold es diferente. Es posible adoptar la mayoría de las características de las variedades a los orbifolds y estas características son generalmente diferentes de las características correspondientes del espacio subyacente. En el ejemplo anterior, el grupo fundamental de orbifold de O es y su característica de Euler de orbifold es 1. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Definiciones formales

Definición utilizando el atlas orbifold

Al igual que una variedad, un orbifold se especifica mediante condiciones locales; sin embargo, en lugar de modelarse localmente sobre subconjuntos abiertos de , un orbifold se modela localmente sobre cocientes de subconjuntos abiertos de mediante acciones de grupos finitos. La estructura de un orbifold codifica no solo la del espacio cociente subyacente, que no necesita ser una variedad, sino también la de los subgrupos de isotropía . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un orbifold -dimensional es un espacio topológico de Hausdorff , llamado espacio subyacente , con una cobertura por una colección de conjuntos abiertos , cerrados bajo intersección finita. Para cada , hay ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

• un subconjunto abierto de , invariante bajo una acción lineal fiel de un grupo finito ; ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$
• un mapa continuo de sobre invariante bajo , llamado gráfico orbifold , que define un homeomorfismo entre y . ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}/\Gamma _{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

La colección de cartas orbifold se denomina atlas orbifold si se cumplen las siguientes propiedades:

• para cada inclusión hay un homomorfismo de grupo inyectivo . ${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$ ${\displaystyle f_{ij}:\Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}$
• para cada inclusión hay un homeomorfismo - equivariante , llamado mapa de pegado , de sobre un subconjunto abierto de . ${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle \psi _{ij}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{j}}$
• Los mapas de pegado son compatibles con los gráficos, es decir . ${\displaystyle \varphi _{j}\circ \psi _{ij}=\varphi _{i}}$
• Los mapas de pegado son únicos hasta la composición con elementos del grupo, es decir, cualquier otro mapa de pegado posible de a tiene la forma de un único . ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle g\circ \psi _{ij}}$ ${\displaystyle g\in \Gamma _{j}}$

En cuanto a los atlas sobre variedades , dos atlas orbifold son equivalentes si se pueden combinar de manera consistente para dar un atlas orbifold más grande. Por lo tanto, una estructura orbifold es una clase de equivalencia de atlas orbifold. ${\displaystyle X}$

Nótese que la estructura orbifold determina el subgrupo de isotropía de cualquier punto del orbifold hasta el isomorfismo: se puede calcular como el estabilizador del punto en cualquier diagrama orbifold. Si U _i U _j U _k , entonces hay un único elemento de transición g _ijk en Γ _k tal que ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación de cociclo (que garantiza la asociatividad)

f _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

De manera más general, adjunto a una cubierta abierta de un orbifold mediante cartas de orbifold, se encuentran los datos combinatorios de un llamado complejo de grupos (ver más abajo).

Exactamente como en el caso de las variedades, se pueden imponer condiciones de diferenciabilidad en las funciones de pegado para dar una definición de un orbifold diferenciable . Será un orbifold riemanniano si además hay métricas riemannianas invariantes en las cartas de orbifold y las funciones de pegado son isometrías .

Definición mediante grupoides de Lie

Recordemos que un grupoide consiste en un conjunto de objetos , un conjunto de flechas y mapas estructurales que incluyen los mapas fuente y destino y otros mapas que permiten componer e invertir flechas. Se denomina grupoide de Lie si tanto y son variedades suaves, todos los mapas estructurales son suaves y tanto el mapa fuente como el mapa destino son inmersiones. La intersección de la fibra fuente y el mapa destino en un punto dado , es decir, el conjunto , es el grupo de Lie llamado grupo de isotropía de en . Un grupoide de Lie se denomina propio si el mapa es un mapa propio y étale si tanto el mapa fuente como el mapa destino son difeomorfismos locales . ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle (G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}$

Un grupoide orbifold se define de acuerdo con una de las siguientes definiciones equivalentes:

• un grupoide de mentiras de estilo apropiado;
• un grupoide de Lie adecuado cuyas isotropías son espacios discretos .

Dado que los grupos de isotropía de los grupoides propios son automáticamente compactos , la condición de discreta implica que las isotropías deben ser en realidad grupos finitos . ^[10]

Los grupoides orbifold juegan el mismo papel que los atlas orbifold en la definición anterior. De hecho, una estructura orbifold en un espacio topológico de Hausdorff se define como la clase de equivalencia de Morita de un grupoide orbifold junto con un homeomorfismo , donde es el espacio de órbita del grupoide de Lie (es decir, el cociente de por la relación equivalente cuando si hay un con y ). Esta definición muestra que los orbifolds son un tipo particular de pila diferenciable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle |M/G|\simeq X}$ ${\displaystyle |M/G|}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle s(g)=x}$ ${\displaystyle t(g)=y}$

Relación entre las dos definiciones

Dado un atlas orbifold sobre un espacio , se puede construir un pseudogrupo formado por todos los difeomorfismos entre conjuntos abiertos de los cuales conservan las funciones de transición . A su vez, el espacio de gérmenes de sus elementos es un grupoide orbifold. Además, dado que por definición de atlas orbifold cada grupo finito actúa fielmente sobre , el grupoide es automáticamente efectivo, es decir, la función es inyectiva para cada . Dos atlas orbifold diferentes dan lugar a la misma estructura orbifold si y solo si sus grupoides orbifold asociados son equivalentes de Morita. Por lo tanto, cualquier estructura orbifold según la primera definición (también llamada orbifold clásica ) es un tipo especial de estructura orbifold según la segunda definición. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle G_{X}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle G_{X}}$ ${\displaystyle g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1})}$ ${\displaystyle x\in X}$

Por el contrario, dado un grupoide orbifold , existe un atlas orbifold canónico sobre su espacio de órbitas, cuyo grupoide orbifold efectivo asociado es equivalente de Morita a . Dado que los espacios de órbitas de los grupoides equivalentes de Morita son homeomorfos, una estructura orbifold según la segunda definición reduce una estructura orbifold según la primera definición en el caso efectivo. ^[11] ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$

En consecuencia, si bien el concepto de atlas de orbifolds es más simple y se encuentra más comúnmente en la literatura, el concepto de grupoide de orbifolds es particularmente útil cuando se analizan orbifolds no efectivos y aplicaciones entre orbifolds. Por ejemplo, una aplicación entre orbifolds se puede describir mediante un homomorfismo entre grupoides, que lleva más información que la aplicación continua subyacente entre los espacios topológicos subyacentes.

Ejemplos

• Cualquier variedad sin borde es trivialmente una orbifold, donde cada uno de los grupos Γ _i es el grupo trivial . Equivalentemente, corresponde a la clase de equivalencia de Morita del grupoide unidad.
• Si N es una variedad compacta con borde , su doble M se puede formar pegando una copia de N y su imagen especular a lo largo de su borde común. Existe una acción de reflexión natural de Z ₂ sobre la variedad M que fija el borde común; el espacio cociente se puede identificar con N , de modo que N tiene una estructura orbifold natural.
• Si M es una n -variedad de Riemann con una acción isométrica propia cocompacta de un grupo discreto Γ, entonces el espacio de órbitas X = M /Γ tiene una estructura de orbifold natural: para cada x en X tómese un representante m en M y un vecindario abierto V _m de m invariante bajo el estabilizador Γ _m , identificado equivariantemente con un Γ _m -subconjunto de T _m M bajo la función exponencial en m ; un número finito de vecindarios cubre X y cada una de sus intersecciones finitas, si no está vacía, está cubierta por una intersección de Γ-traslaciones g _m · V _m con el grupo correspondiente g _m Γ g _m ⁻¹ . Los orbifolds que surgen de esta manera se denominan desarrollables o buenos .
• Un teorema clásico de Henri Poincaré construye grupos fuchsianos como grupos de reflexión hiperbólica generados por reflexiones en las aristas de un triángulo geodésico en el plano hiperbólico para la métrica de Poincaré . Si el triángulo tiene ángulos π / n _i para números enteros positivos n _i , el triángulo es un dominio fundamental y naturalmente un orbifold bidimensional. El grupo correspondiente es un ejemplo de un grupo de triángulos hiperbólicos . Poincaré también dio una versión tridimensional de este resultado para grupos kleinianos : en este caso el grupo kleiniano Γ se genera por reflexiones hiperbólicas y el orbifold es H ³ / Γ.
• Si M es una 2-variedad cerrada, se pueden definir nuevas estructuras orbifold en M i eliminando un número finito de discos cerrados disjuntos de M y pegando copias de los discos D / Γ _i donde D es el disco unitario cerrado y Γ _i es un grupo cíclico finito de rotaciones. Esto generaliza la construcción de Poincaré.

Grupo fundamental orbifold

Existen varias formas de definir el grupo fundamental de orbifolds . Los enfoques más sofisticados utilizan espacios de recubrimiento de orbifolds o espacios de clasificación de grupoides . El enfoque más simple (adoptado por Haefliger y conocido también por Thurston) extiende la noción habitual de bucle utilizada en la definición estándar del grupo fundamental .

Una ruta orbifold es una ruta en el espacio subyacente provista de una elevación por partes explícita de segmentos de ruta hacia gráficos orbifold y elementos de grupo explícitos que identifican rutas en gráficos superpuestos; si la ruta subyacente es un bucle, se denomina bucle orbifold . Se identifican dos rutas orbifold si están relacionadas a través de la multiplicación por elementos de grupo en gráficos orbifold. El grupo fundamental orbifold es el grupo formado por clases de homotopía de bucles orbifold.

Si el orbifold surge como cociente de una variedad simplemente conexa M por una acción rígida propia de un grupo discreto Γ, el grupo fundamental del orbifold puede identificarse con Γ. En general, es una extensión de Γ por π ₁ M .

Se dice que el orbifold es desarrollable o bueno si surge como cociente de una acción de grupo; en caso contrario se dice que es malo . Se puede construir un orbifold de recubrimiento universal para un orbifold por analogía directa con la construcción del espacio de recubrimiento universal de un espacio topológico, es decir, como el espacio de pares que consisten en puntos del orbifold y clases de homotopía de caminos del orbifold que los unen al punto base. Este espacio es naturalmente un orbifold.

Nótese que si un gráfico orbifold en un subconjunto abierto contráctil corresponde a un grupo Γ, entonces existe un homomorfismo local natural de Γ en el grupo fundamental orbifold.

De hecho, las siguientes condiciones son equivalentes:

• El orbifold es desarrollable.
• La estructura orbifold del orbifold de cubierta universal es trivial.
• Los homomorfismos locales son todos inyectivos para una cobertura por conjuntos abiertos contráctiles.

Los orbifolds como difeologías

Los orbifolds se pueden definir en el marco general de la difeología ^[12] y se ha demostrado que son equivalentes ^[13] a la definición original de Ichirô Satake : ^[1]

Definición: Un orbifold es un espacio difeológico localmente difeomorfo en cada punto a algún , donde es un número entero y es un grupo lineal finito que puede cambiar de un punto a otro. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$

Esta definición suscita algunas observaciones:

• Esta definición imita la definición de variedad en difeología, que es un espacio difeológico localmente difeomorfo en cada punto a . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• En primer lugar, se considera un orbifold como un espacio difeológico, un conjunto dotado de una difeología. A continuación, se comprueba que la difeología sea localmente difeomórfica en cada punto hasta un cociente con un grupo lineal finito. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}$ ${\displaystyle G}$
• Esta definición es equivalente ^[14] a la de los orbifolds de Haefliger. ^[15]
• {Orbifolds} constituye una subcategoría de la categoría {Diffeology} cuyos objetos son los espacios difeológicos y los morfismos son aplicaciones suaves. Una aplicación suave entre orbifolds es cualquier aplicación que sea suave para sus difeologías. Esto resuelve, en el contexto de la definición de Satake, su observación: ^[16] " La noción de -mapa así definida es incómoda en el punto de que un compuesto de dos -mapas definidos en una elección diferente de familias definitorias no es siempre una -mapa". ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ De hecho, hay aplicaciones suaves entre orbifolds que no se elevan localmente como aplicaciones equivariantes. ^[17]

Nótese que el grupo fundamental de un orbifold como espacio difeológico no es el mismo que el grupo fundamental definido anteriormente. Este último está relacionado con el grupoide estructural ^[18] y sus grupos de isotropía.

Orbiespacios

Para aplicaciones en teoría de grupos geométricos , a menudo es conveniente tener una noción ligeramente más general de orbifold, debido a Haefliger. Un orbiespacio es a los espacios topológicos lo que un orbifold es a las variedades. Un orbiespacio es una generalización topológica del concepto de orbifold. Se define reemplazando el modelo para los gráficos de orbifold por un espacio localmente compacto con una acción rígida de un grupo finito, es decir, uno para el cual los puntos con isotropía trivial son densos. (Esta condición se satisface automáticamente por acciones lineales fieles, porque los puntos fijados por cualquier elemento de grupo no trivial forman un subespacio lineal propio ). También es útil considerar estructuras espaciales métricas en un orbiespacio, dadas por métricas invariantes en los gráficos de orbispace para los cuales los mapas de pegado preservan la distancia. En este caso, generalmente se requiere que cada gráfico de orbispace sea un espacio de longitud con geodésicas únicas que conecten dos puntos cualesquiera.

Sea X un orbispacio dotado de una estructura espacial métrica para la cual las cartas son espacios de longitud geodésicos. Las definiciones y resultados anteriores para orbifolds se pueden generalizar para dar definiciones de grupo fundamental del orbispacio y orbispacio de recubrimiento universal , con criterios análogos para la desarrollabilidad. Las funciones de distancia en las cartas orbispaciales se pueden utilizar para definir la longitud de una trayectoria orbispacial en el orbispacio de recubrimiento universal. Si la función de distancia en cada carta es curvada de forma no positiva , entonces se puede utilizar el argumento de acortamiento de la curva de Birkhoff para demostrar que cualquier trayectoria orbispacial con puntos finales fijos es homotópica a una geodésica única. Aplicando esto a trayectorias constantes en una carta orbispacial, se deduce que cada homomorfismo local es inyectivo y, por lo tanto:

• Todo orbispacio no curvado positivamente es desarrollable (es decir, bueno ).

Complejos de grupos

Cada orbifold tiene asociada una estructura combinatoria adicional dada por un complejo de grupos .

Definición

Un complejo de grupos ( Y , f , g ) sobre un complejo simplicial abstracto Y está dado por

• un grupo finito Γ _σ para cada simplex σ de Y
• un homomorfismo inyectivo f _στ  : Γ _τ Γ _σ siempre que σ τ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \subset }$
• para cada inclusión ρ σ τ, un elemento de grupo g _ρστ en Γ _ρ tal que (Ad g _ρστ )· f _ρτ = f _ρσ · f _στ (aquí Ad denota la acción adjunta por conjugación) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

Los elementos del grupo deben satisfacer además la condición de cociclo.

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

para cada cadena de símplices (Esta condición es nula si Y tiene dimensión 2 o menos). ${\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}$

Cualquier elección de elementos h _στ en Γ _σ produce un complejo equivalente de grupos definiendo

• f' _στ = (Ad h _στ )· f _στ
• g' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ ) · g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

Un complejo de grupos se llama simple siempre que g _ρστ = 1 en todas partes.

• Un argumento inductivo fácil muestra que todo complejo de grupos en un símplex es equivalente a un complejo de grupos con g _ρστ = 1 en todas partes.

A menudo es más conveniente y conceptualmente atractivo pasar a la subdivisión baricéntrica de Y . Los vértices de esta subdivisión corresponden a los símplices de Y , de modo que cada vértice tiene un grupo unido a él. Las aristas de la subdivisión baricéntrica están orientadas naturalmente (correspondientes a inclusiones de símplices) y cada arista dirigida da una inclusión de grupos. Cada triángulo tiene un elemento de transición unido a él perteneciente al grupo de exactamente un vértice; y los tetraedros, si los hay, dan relaciones de cociclo para los elementos de transición. Así, un complejo de grupos involucra solo el 3-esqueleto de la subdivisión baricéntrica; y solo el 2-esqueleto si es simple.

Ejemplo

Si X es un orbifold (u orbiespacio), elija un recubrimiento por subconjuntos abiertos de entre los gráficos orbifold f _i : V _i U _i . Sea Y el complejo simplicial abstracto dado por el nervio del recubrimiento : sus vértices son los conjuntos del recubrimiento y sus n -símplices corresponden a intersecciones no vacías U _α = U _{i 1} ··· U _{i n} . Para cada uno de estos símplices hay un grupo asociado Γ _α y los homomorfismos f _ij se convierten en los homomorfismos f _στ . Para cada triple ρ σ τ correspondiente a intersecciones ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

${\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$

Hay cartas φ _i  : V _i U _i , φ _ij  : V _ij U _i U _j y φ _ijk  : V _ijk U _i U _j U _k y mapas de pegado ψ : V _ij V _i , ψ' : V _ijk V _ij y ψ" : V _ijk V _i . ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Hay un único elemento de transición g _ρστ en Γ _i tal que g _ρστ · ψ " = ψ · ψ ′ . Las relaciones satisfechas por los elementos de transición de un orbifold implican las requeridas para un complejo de grupos. De esta manera un complejo de grupos puede ser canónicamente asociado al nervio de una cubierta abierta por cartas de orbifold (u orbispaciales). En el lenguaje de la teoría de haces no conmutativos y gerbes , el complejo de grupos en este caso surge como un haz de grupos asociado a la cubierta U _i ; el dato g _{ρστ es un 2-cociclo en} cohomología de haces no conmutativos y el dato h _στ da una perturbación de 2-coborde.

Grupo de rutas de borde

El grupo de caminos de aristas de un complejo de grupos se puede definir como una generalización natural del grupo de caminos de aristas de un complejo simplicial. En la subdivisión baricéntrica de Y , tómense los generadores e _ij correspondientes a las aristas de i a j donde i j , de modo que hay una inyección ψ _ij  : Γ _i Γ _j . Sea Γ el grupo generado por e _ij y Γ _k con relaciones ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

mi _ij ⁻¹ · gramo · mi _ij = ψ _ij ( gramo )

para g en Γ _i y

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

si yo j k . ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

Para un vértice fijo i ₀ , el grupo de trayectorias de aristas Γ( i ₀ ) se define como el subgrupo de Γ generado por todos los productos

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

donde i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ es un camino de arista, g _k se encuentra en Γ _{i k} y e _ji = e _ij ⁻¹ si i j . ${\displaystyle \rightarrow }$

Complejos urbanizables

Se dice que una acción propia simplicial de un grupo discreto Γ sobre un complejo simplicial X con cociente finito es regular si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes: ^[9]

• X admite un subcomplejo finito como dominio fundamental ;
• el cociente Y = X /Γ tiene una estructura simplicial natural;
• La estructura simplicial cociente sobre los representantes de las órbitas de los vértices es consistente;
• si ( v ₀ , ..., v _k ) y ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) son símplices, entonces g · v _i = g _i · v _i para algún g en Γ.

Naturalmente, el dominio fundamental y el cociente Y = X / Γ pueden identificarse en este caso como complejos simpliciales, dados por los estabilizadores de los símplices en el dominio fundamental. Se dice que un complejo de grupos Y es desarrollable si surge de esta manera.

• Un complejo de grupos es desarrollable si y sólo si los homomorfismos de Γ _σ en el grupo de aristas-trayectorias son inyectivos.
• Un complejo de grupos es desarrollable si y sólo si para cada símplex σ existe un homomorfismo inyectivo θ _σ de Γ _σ a un grupo discreto fijo Γ tal que θ _τ · f _στ = θ _σ . En este caso el complejo simplicial X está definido canónicamente: tiene k -símplices (σ, xΓ _σ ) donde σ es un k -símplex de Y y x recorre Γ / Γ _σ . La consistencia puede comprobarse utilizando el hecho de que la restricción del complejo de grupos a un símplex es equivalente a una con cociclo trivial g _ρστ .

La acción de Γ sobre la subdivisión baricéntrica X ' de X siempre satisface la siguiente condición, más débil que la regularidad:

• siempre que σ y g ·σ sean subsímplices de algún símplex τ, son iguales, es decir σ = g ·σ

De hecho, los símplices en X ' corresponden a cadenas de símplices en X , de modo que un subsímplice, dado por subcadenas de símplices, está determinado de manera única por los tamaños de los símplices en la subcadena. Cuando una acción satisface esta condición, entonces g necesariamente fija todos los vértices de σ. Un argumento inductivo sencillo muestra que tal acción se vuelve regular en la subdivisión baricéntrica; en particular

• la acción sobre la segunda subdivisión baricéntrica X " es regular;
• Γ es naturalmente isomorfo al grupo de trayectorias de aristas definido utilizando trayectorias de aristas y estabilizadores de vértices para la subdivisión baricéntrica del dominio fundamental en X ".

De hecho, no es necesario pasar a una tercera subdivisión baricéntrica: como observa Haefliger utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , en este caso el 3-esqueleto del dominio fundamental de X " ya lleva todos los datos necesarios -incluidos los elementos de transición para triángulos- para definir un grupo de aristas-caminos isomorfo a Γ.

En dos dimensiones, esto es particularmente fácil de describir. El dominio fundamental de X " tiene la misma estructura que la subdivisión baricéntrica Y ' de un complejo de grupos Y , es decir:

• un complejo simplicial bidimensional finito Z ;
• una orientación para todos los bordes i j ; ${\displaystyle \rightarrow }$
• si i j y j k son aristas, entonces i k es una arista y ( i , j , k ) es un triángulo; ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$
• grupos finitos unidos a vértices, inclusiones a aristas y elementos de transición, describiendo compatibilidad, a triángulos.

Se puede definir entonces un grupo de aristas-trayectorias. La subdivisión baricéntrica Z ' hereda una estructura similar y su grupo de aristas-trayectorias es isomorfo al de Z.

Orbiedros

Si un grupo discreto numerable actúa mediante una acción propia simplicial regular sobre un complejo simplicial , el cociente puede recibir no sólo la estructura de un complejo de grupos, sino también la de un orbispacio. Esto conduce de manera más general a la definición de "orbiedro", el análogo simplicial de un orbifold.

Definición

Sea X un complejo simplicial finito con subdivisión baricéntrica X '. Una estructura orbiédrica consta de:

• para cada vértice i de X ', un complejo simplicial L _i ' dotado de una acción simplicial rígida de un grupo finito Γ _i .
• una función simplicial φ _i de L _i ' sobre el enlace L _i de i en X ', identificando el cociente L _i ' / Γ _i con L _i .

Esta acción de Γ _i sobre L _i ' se extiende a una acción simplicial sobre el cono simplicial C _i sobre L _i ' (la unión simplicial de i y L _i '), fijando el centro i del cono. La función φ _i se extiende a una función simplicial de C _i sobre la estrella St( i ) de i , llevando el centro sobre i ; por lo tanto φ _i identifica C _i / Γ _i , el cociente de la estrella de i en C _i , con St( i ) y da un gráfico orbiédrico en i .

• para cada arista dirigida i j de X ', un homomorfismo inyectivo f _ij de Γ _i en Γ _j . ${\displaystyle \rightarrow }$
• para cada arista dirigida i j , una función de pegado simplicial equivariante Γ _i ψ _ij de C _i en C _j . ${\displaystyle \rightarrow }$
• Los mapas de pegado son compatibles con los gráficos, es decir, φ _j ·ψ _ij = φ _i .
• Los mapas de pegado son únicos hasta la composición con elementos del grupo, es decir, cualquier otro mapa de pegado posible de V _i a V _j tiene la forma g ·ψ _ij para un g único en Γ _j .

Si i j k , entonces hay un único elemento de transición g _ijk en Γ _k tal que ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Estos elementos de transición satisfacen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

así como la relación co-ciclo

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Propiedades principales

• Los datos teóricos de grupos de un orbiedro dan un complejo de grupos en X , porque los vértices i de la subdivisión baricéntrica X ' corresponden a los símplices en X .
• Cada complejo de grupos en X está asociado con una estructura orbiédrica esencialmente única en X . Este hecho clave se desprende del hecho de que la estrella y el enlace de un vértice i de X ', correspondiente a un símplex σ de X , tienen descomposiciones naturales: la estrella es isomorfa al complejo simplicial abstracto dado por la unión de σ y la subdivisión baricéntrica σ' de σ; y el enlace es isomorfo a la unión del enlace de σ en X y el enlace del baricentro de σ en σ'. Restringiendo el complejo de grupos al enlace de σ en X , todos los grupos Γ _τ vienen con homomorfismos inyectivos en Γ _σ . Dado que el enlace de i en X ' está cubierto canónicamente por un complejo simplicial sobre el que actúa Γ _σ , esto define una estructura orbiédrica en X .
• El grupo fundamental del orbiedro es (tautológicamente) simplemente el grupo de aristas del complejo asociado de grupos.
• Todo orbiedro es también naturalmente un orbispacio: de hecho, en la realización geométrica del complejo simplicial, se pueden definir cartas orbispaciales utilizando los interiores de las estrellas.
• El grupo fundamental del orbiedro puede identificarse naturalmente con el grupo fundamental del orbiespacio del orbiespacio asociado. Esto se logra aplicando el teorema de aproximación simplicial a segmentos de una trayectoria del orbiespacio que se encuentran en un diagrama del orbiespacio: es una variante sencilla de la prueba clásica de que el grupo fundamental de un poliedro puede identificarse con su grupo de trayectorias de aristas .
• El orbispacio asociado a un orbiedro tiene una estructura métrica canónica , que proviene localmente de la métrica de longitud en la realización geométrica estándar en el espacio euclidiano, con vértices mapeados a una base ortonormal. También se utilizan otras estructuras métricas, que involucran métricas de longitud obtenidas al realizar los símplices en el espacio hiperbólico , con símplices identificados isométricamente a lo largo de límites comunes.
• El orbiespacio asociado a un orbiedro es no positivamente curvado si y sólo si el enlace en cada diagrama del orbiedro tiene circunferencia mayor o igual a 6, es decir, cualquier circuito cerrado en el enlace tiene longitud al menos 6. Esta condición, bien conocida a partir de la teoría de los espacios de Hadamard , depende sólo del complejo subyacente de grupos.
• Cuando el orbiedro universal envolvente no tiene curvatura positiva, el grupo fundamental es infinito y se genera a partir de copias isomorfas de los grupos de isotropía. Esto se desprende del resultado correspondiente para los orbispacios.

Triángulos de grupos

Históricamente, una de las aplicaciones más importantes de los orbifolds en la teoría geométrica de grupos ha sido en triángulos de grupos . Este es el ejemplo bidimensional más simple que generaliza el "intervalo de grupos" unidimensional discutido en las conferencias de Serre sobre árboles, donde se estudian los productos libres amalgamados en términos de acciones sobre árboles. Dichos triángulos de grupos surgen cada vez que un grupo discreto actúa simplemente de manera transitiva sobre los triángulos en el edificio afín de Bruhat-Tits para SL ₃ ( Q _p ); en 1979, Mumford descubrió el primer ejemplo para p = 2 (ver más abajo) como un paso en la producción de una superficie algebraica no isomorfa al espacio proyectivo , pero que tiene los mismos números de Betti . Los triángulos de grupos fueron elaborados en detalle por Gersten y Stallings, mientras que el caso más general de complejos de grupos, descrito anteriormente, fue desarrollado independientemente por Haefliger. El método geométrico subyacente para analizar grupos finitamente presentados en términos de espacios métricos de curvatura no positiva se debe a Gromov. En este contexto, los triángulos de grupos corresponden a complejos simpliciales bidimensionales no curvados positivamente con la acción regular de un grupo, transitivo sobre triángulos .

Un triángulo de grupos es un complejo simple de grupos que consiste en un triángulo con vértices A , B , C . Hay grupos

• Γ _A , Γ _B , Γ _C en cada vértice
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB para cada arista
• Γ _ABC para el triángulo mismo.

Hay un homomorfismo inyectivo de Γ _ABC en todos los demás grupos y de un grupo de aristas Γ _XY en Γ _X y Γ _Y . Las tres formas de mapear Γ _ABC en un grupo de vértices concuerdan. (A menudo Γ _ABC es el grupo trivial.) La estructura métrica euclidiana en el orbiespacio correspondiente es no positivamente curvada si y solo si el vínculo de cada uno de los vértices en el diagrama del orbiedro tiene una circunferencia de al menos 6.

Esta circunferencia en cada vértice es siempre par y, como observó Stallings, puede describirse en un vértice A , por ejemplo, como la longitud de la palabra más pequeña en el núcleo del homomorfismo natural en Γ _A del producto libre amalgamado sobre Γ _ABC de los grupos de aristas Γ _AB y Γ _AC :

${\displaystyle \Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.}$

El resultado que se obtiene con la estructura métrica euclidiana no es óptimo. Los ángulos α, β, γ en los vértices A , B y C fueron definidos por Stallings como 2π dividido por la circunferencia. En el caso euclidiano α, β, γ ≤ π/3. Sin embargo, si solo se requiere que α + β + γ ≤ π, es posible identificar el triángulo con el triángulo geodésico correspondiente en el plano hiperbólico con la métrica de Poincaré (o el plano euclidiano si se cumple la igualdad). Es un resultado clásico de la geometría hiperbólica que las medianas hiperbólicas se intersecan en el baricentro hiperbólico, ^[19] tal como en el caso euclidiano familiar. La subdivisión baricéntrica y la métrica de este modelo producen una estructura métrica no positivamente curvada en el orbispacio correspondiente. Por lo tanto, si α+β+γ≤π,

• el orbiespacio del triangulo de grupos es desarrollable;
• el grupo de aristas-trayectorias correspondiente, que también puede describirse como el colimite del triángulo de grupos, es infinito;
• Los homomorfismos de los grupos de vértices en el grupo de aristas-trayectorias son inyecciones.

El ejemplo de Mumford

El avión de Fano

Sea α = dado por la expansión binomial de (1 − 8) ^1/2 en Q ₂ y hagamos K = Q ( α ) Q ₂ . Sea ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$ ${\displaystyle \subset }$

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Sea E = Q ( ζ ), un espacio vectorial tridimensional sobre K con base 1, ζ y ζ ² . Defina los operadores K -lineales sobre E de la siguiente manera:

• σ es el generador del grupo de Galois de E sobre K , un elemento de orden 3 dado por σ(ζ) = ζ ²
• τ es el operador de multiplicación por ζ en E , un elemento de orden 7
• ρ es el operador dado por ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ y ρ (1) = μ · ζ ² , de modo que ρ ³ es la multiplicación escalar por  μ .

Los elementos ρ , σ y τ generan un subgrupo discreto de GL ₃ ( K ) que actúa propiamente sobre el edificio afín de Bruhat–Tits correspondiente a SL ₃ ( Q ₂ ). Este grupo actúa transitivamente sobre todos los vértices, aristas y triángulos del edificio. Sea

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

Entonces

• σ ₁ , σ ₂ y σ ₃ generan un subgrupo Γ de SL ₃ ( K ).
• Γ es el subgrupo más pequeño generado por σ y τ , invariante bajo la conjugación por ρ .
• Γ actúa simplemente de forma transitiva sobre los triángulos del edificio.
• Existe un triángulo Δ tal que los estabilizadores de sus aristas son los subgrupos de orden 3 generados por los σ _i 's.
• El estabilizador de un vértice de Δ es el grupo de Frobenius de orden 21 generado por los dos elementos de orden 3 que estabilizan las aristas que se encuentran en el vértice.
• El estabilizador de Δ es trivial.

Los elementos σ y τ generan el estabilizador de un vértice. El enlace de este vértice se puede identificar con el edificio esférico de SL ₃ ( F ₂ ) y el estabilizador se puede identificar con el grupo de colineación del plano de Fano generado por una simetría triple σ que fija un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, que satisface στ = τ ² σ . Identificando F ₈ * con el plano de Fano, σ se puede tomar como la restricción del automorfismo de Frobenius σ ( x ) = x ²² de F ₈ y τ como la multiplicación por cualquier elemento que no esté en el cuerpo primo F ₂ , es decir, un generador de orden 7 del grupo multiplicativo cíclico de F ₈ . Este grupo de Frobenius actúa simplemente de manera transitiva sobre las 21 banderas en el plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados. Las fórmulas para σ y τ en E "elevan" las fórmulas en F ₈ .

Mumford también obtiene una acción simplemente transitiva sobre los vértices del edificio al pasar a un subgrupo de Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I >. El grupo Γ ₁ conserva la forma hermítica con valor Q ( α )

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

en Q (ζ) y se puede identificar con U ₃ (f) GL ₃ ( S ) donde S = Z [ α , ⁠ ${\displaystyle \cap }$ 1/2⁠ ]. Como S /( α ) = F ₇ , existe un homomorfismo del grupo Γ ₁ en GL ₃ ( F ₇ ). Esta acción deja invariante un subespacio bidimensional en F ₇ ³ y por tanto da lugar a un homomorfismo Ψ de Γ ₁ en SL ₂ ( F ₇ ), un grupo de orden 16·3·7. Por otra parte, el estabilizador de un vértice es un subgrupo de orden 21 y Ψ es inyectivo sobre este subgrupo. Así, si el subgrupo de congruencia Γ ₀ se define como la imagen inversa bajo Ψ del subgrupo de Sylow de 2 dimensiones de SL ₂ ( F ₇ ), la acción de Γ ₀ sobre los vértices debe ser simplemente transitiva.

Generalizaciones

Se pueden construir otros ejemplos de triángulos o complejos bidimensionales de grupos mediante variaciones del ejemplo anterior.

Cartwright et al. consideran acciones sobre edificios que son simplemente transitivas sobre vértices . Cada una de estas acciones produce una biyección (o dualidad modificada) entre los puntos x y las líneas x * en el complejo de banderas de un plano proyectivo finito y una colección de triángulos orientados de puntos ( x , y , z ), invariantes bajo permutación cíclica, de modo que x se encuentra en z *, y se encuentra en x * y z se encuentra en y * y cualesquiera dos puntos determinan de forma única el tercero. Los grupos producidos tienen generadores x , etiquetados por puntos, y relaciones xyz = 1 para cada triángulo. Genéricamente, esta construcción no corresponderá a una acción sobre un edificio afín clásico.

De manera más general, como lo muestran Ballmann y Brin, datos algebraicos similares codifican todas las acciones que son simplemente transitivas en los vértices de un complejo simplicial bidimensional no curvado positivamente, siempre que el enlace de cada vértice tenga una circunferencia de al menos 6. Estos datos consisten en:

• un conjunto generador S que contiene inversas, pero no la identidad;
• un conjunto de relaciones g h k = 1, invariantes bajo permutación cíclica.

Los elementos g en S etiquetan los vértices g · v en el enlace de un vértice fijo v ; y las relaciones corresponden a las aristas ( g ⁻¹ · v , h · v ) en ese enlace. El grafo con vértices S y aristas ( g , h ), para g ⁻¹ h en S , debe tener circunferencia al menos 6. El complejo simplicial original puede reconstruirse utilizando complejos de grupos y la segunda subdivisión baricéntrica.

El gráfico bipartito de Heawood

Swiatkowski ha construido otros ejemplos de complejos de grupos bidimensionales no positivamente curvados basándose en acciones simplemente transitivas sobre aristas orientadas e induciendo una simetría triple en cada triángulo; en este caso también el complejo de grupos se obtiene a partir de la acción regular sobre la segunda subdivisión baricéntrica. El ejemplo más simple, descubierto anteriormente con Ballmann, parte de un grupo finito H con un conjunto simétrico de generadores S , que no contiene la identidad, de modo que el grafo de Cayley correspondiente tiene una circunferencia de al menos 6. El grupo asociado es generado por H y una involución τ sujeta a (τg) ³ = 1 para cada g en S .

De hecho, si Γ actúa de esta manera, fijando una arista ( v , w ), hay una involución τ que intercambia v y w . El enlace de v está formado por vértices g · w para g en un subconjunto simétrico S de H = Γ _v , generando H si el enlace es conexo. El supuesto sobre triángulos implica que

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

para g en S . Por lo tanto, si σ = τ g y u = g ⁻¹ · w , entonces

σ( v ) = w , σ( w ) = tu , σ( u ) = w .

Por simple transitividad en el triángulo ( v , w , u ), se deduce que σ ³ = 1.

La segunda subdivisión baricéntrica da un complejo de grupos que consiste en triángulos simples o pares de triángulos subdivididos baricéntricamente unidos a lo largo de sus lados mayores: estos pares están indexados por el espacio cociente S /~ obtenido al identificar inversos en S . Los triángulos simples o "acoplados" están a su vez unidos a lo largo de una "columna" común. Todos los estabilizadores de los símplices son triviales excepto los dos vértices en los extremos de la columna, con estabilizadores H y <τ>, y los vértices restantes de los triángulos grandes, con estabilizador generado por un σ apropiado. Tres de los triángulos más pequeños en cada triángulo grande contienen elementos de transición.

Cuando todos los elementos de S son involuciones, no es necesario duplicar ninguno de los triángulos. Si se toma H como el grupo diedro D ₇ de orden 14, generado por una involución a y un elemento b de orden 7 tal que

ab = b ⁻¹ a ,

entonces H es generado por las 3 involuciones a , ab y ab ⁵ . El enlace de cada vértice está dado por el grafo de Cayley correspondiente, por lo que es simplemente el grafo de Heawood bipartito , es decir, exactamente el mismo que en el edificio afín para SL ₃ ( Q ₂ ). Esta estructura de enlace implica que el complejo simplicial correspondiente es necesariamente un edificio euclidiano . En la actualidad, sin embargo, parece ser desconocido si alguno de estos tipos de acción puede de hecho realizarse en un edificio afín clásico: el grupo de Mumford Γ ₁ (módulo escalares) es simplemente transitivo solo en aristas, no en aristas orientadas.

Orbifolds bidimensionales

Los orbifolds bidimensionales tienen los siguientes tres tipos de puntos singulares:

• Un punto límite
• Un punto elíptico o punto de giro de orden n , tal como el origen de R ² cociente entre un grupo cíclico de orden n de rotaciones.
• Un reflector de esquina de orden n : el origen de R ² está cocienteado por un grupo diedro de orden 2 n .

Un orbifold compacto bidimensional tiene una característica de Euler dada por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})}$,

donde es la característica de Euler de la variedad topológica subyacente , y son los órdenes de los reflectores de esquina, y son los órdenes de los puntos elípticos. ${\displaystyle \chi (X_{0})}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Un orbifold compacto conexo bidimensional tiene una estructura hiperbólica si su característica de Euler es menor que 0, una estructura euclidiana si es 0 y si su característica de Euler es positiva es malo o tiene una estructura elíptica (un orbifold se llama malo si no tiene una variedad como espacio de recubrimiento). En otras palabras, su espacio de recubrimiento universal tiene una estructura hiperbólica, euclidiana o esférica.

Los orbifolds compactos bidimensionales conexos que no son hiperbólicos se enumeran en la tabla siguiente. Los 17 orbifolds parabólicos son los cocientes del plano por los 17 grupos de papel tapiz .

Orbifolds tridimensionales

Se dice que una variedad 3 es pequeña si es cerrada, irreducible y no contiene ninguna superficie incompresible.

Teorema de orbifold. Sea M una pequeña variedad de 3 dimensiones. Sea φ un difeomorfismo periódico no trivial que preserva la orientación de M. Entonces, M admite una estructura hiperbólica o de fibras de Seifert invariante en φ.

Este teorema es un caso especial del teorema de orbifold de Thurston, anunciado sin prueba en 1981; forma parte de su conjetura de geometrización para 3-variedades . En particular, implica que si X es un 3-orbifold compacto, conexo, orientable, irreducible y atoroidal con un lugar geométrico singular no vacío, entonces M tiene una estructura geométrica (en el sentido de orbifolds). Una prueba completa del teorema fue publicada por Boileau, Leeb y Porti en 2005. ^[20]

Aplicaciones

Orbifolds en la teoría de cuerdas

En teoría de cuerdas , la palabra "orbifold" tiene un significado ligeramente nuevo. Para los matemáticos, un orbifold es una generalización de la noción de variedad que permite la presencia de los puntos cuyo vecindario es difeomorfo a un cociente de R ⁿ por un grupo finito, es decir R ⁿ / Γ . En física, la noción de un orbifold generalmente describe un objeto que puede escribirse globalmente como un espacio de órbitas M / G donde M es una variedad (o una teoría), y G es un grupo de sus isometrías (o simetrías) - no necesariamente todas ellas. En teoría de cuerdas, estas simetrías no tienen por qué tener una interpretación geométrica.

Una teoría cuántica de campos definida en un orbifold se vuelve singular cerca de los puntos fijos de G . Sin embargo, la teoría de cuerdas requiere que agreguemos nuevas partes del espacio de Hilbert de cuerdas cerradas , es decir, los sectores retorcidos donde los campos definidos en las cuerdas cerradas son periódicos hasta una acción de G . Por lo tanto, el orbifolding es un procedimiento general de la teoría de cuerdas para derivar una nueva teoría de cuerdas a partir de una antigua teoría de cuerdas en la que los elementos de G se han identificado con la identidad. Tal procedimiento reduce el número de estados porque los estados deben ser invariantes bajo G , pero también aumenta el número de estados debido a los sectores retorcidos adicionales. El resultado suele ser una nueva teoría de cuerdas perfectamente suave.

Las D-branas que se propagan en los orbifolds se describen, a bajas energías, mediante teorías de calibración definidas por los diagramas de quiver . Las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas no tienen sector torcido, y por lo tanto el número de estados de cuerdas abiertas se reduce mediante el procedimiento de orbifolding.

Más específicamente, cuando el grupo orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías del espacio-tiempo, entonces si no tiene un punto fijo, el resultado es usualmente un espacio compacto y suave; el sector retorcido consiste en cuerdas cerradas enrolladas alrededor de la dimensión compacta, que se llaman estados sinuosos .

Cuando el grupo orbifold G es un subgrupo discreto de isometrías del espacio-tiempo, y tiene puntos fijos, entonces estos suelen tener singularidades cónicas , porque R ⁿ / Z k tiene tal singularidad en el punto fijo de Z k . En la teoría de cuerdas, las singularidades gravitacionales suelen ser un signo de grados de libertad adicionales que se encuentran en un punto geométrico en el espacio-tiempo. En el caso del orbifold, estos grados de libertad son los estados torcidos, que son cuerdas "pegadas" en los puntos fijos. Cuando los campos relacionados con estos estados torcidos adquieren un valor de expectativa de vacío distinto de cero , la singularidad se deforma, es decir, la métrica cambia y se vuelve regular en este punto y alrededor de él. Un ejemplo de una geometría resultante es el espacio-tiempo de Eguchi-Hanson .

Desde el punto de vista de las D-branas en la vecindad de los puntos fijos, la teoría efectiva de las cuerdas abiertas unidas a estas D-branas es una teoría de campos supersimétrica, cuyo espacio de vacíos tiene un punto singular, donde existen grados de libertad sin masa adicionales. Los campos relacionados con el sector retorcido de la cuerda cerrada se acoplan a las cuerdas abiertas de tal manera que agregan un término de Fayet-Iliopoulos al lagrangiano de la teoría de campos supersimétrica, de modo que cuando dicho campo adquiere un valor esperado de vacío distinto de cero , el término de Fayet-Iliopoulos es distinto de cero y, por lo tanto, deforma la teoría (es decir, la cambia) de modo que la singularidad ya no existe [1], [2].

Variedades de Calabi-Yau

En la teoría de supercuerdas , ^{[21] [22]} la construcción de modelos fenomenológicos realistas requiere reducción dimensional porque las cuerdas se propagan naturalmente en un espacio de 10 dimensiones mientras que la dimensión observada del espacio-tiempo del universo es 4. Las restricciones formales de las teorías, sin embargo, imponen restricciones al espacio compactificado en el que viven las variables "ocultas" adicionales: cuando se buscan modelos realistas de 4 dimensiones con supersimetría , el espacio compactificado auxiliar debe ser una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones . ^[23]

Hay una gran cantidad de variedades de Calabi-Yau posibles (decenas de miles), de ahí el uso del término " paisaje " en la literatura actual de física teórica para describir la desconcertante elección. El estudio general de las variedades de Calabi-Yau es matemáticamente complejo y durante mucho tiempo ha sido difícil construir ejemplos explícitamente. Por lo tanto, los orbifolds han demostrado ser muy útiles ya que satisfacen automáticamente las restricciones impuestas por la supersimetría. Proporcionan ejemplos degenerados de variedades de Calabi-Yau debido a sus puntos singulares , ^[24] pero esto es completamente aceptable desde el punto de vista de la física teórica. Tales orbifolds se denominan "supersimétricos": son técnicamente más fáciles de estudiar que las variedades de Calabi-Yau generales. Muy a menudo es posible asociar una familia continua de variedades de Calabi-Yau no singulares a un orbifold supersimétrico singular. En 4 dimensiones esto se puede ilustrar utilizando superficies K3 complejas :

• Toda superficie K3 admite 16 ciclos de dimensión 2 que son topológicamente equivalentes a las 2-esferas habituales. Al hacer que la superficie de estas esferas tienda a cero, la superficie K3 desarrolla 16 singularidades. Este límite representa un punto en el límite del espacio de módulos de las superficies K3 y corresponde al orbifold obtenido al tomar el cociente del toro por la simetría de inversión. ${\displaystyle T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,}$

El estudio de las variedades de Calabi-Yau en la teoría de cuerdas y la dualidad entre diferentes modelos de teoría de cuerdas (tipo IIA y IIB) condujeron a la idea de la simetría especular en 1988. El papel de los orbifolds fue señalado por primera vez por Dixon, Harvey, Vafa y Witten aproximadamente al mismo tiempo. ^[25]

Teoría musical

Más allá de sus múltiples y variadas aplicaciones en matemáticas y física, los orbifolds han sido aplicados a la teoría musical al menos desde 1985 en el trabajo de Guerino Mazzola ^{[26] [27]} y más tarde por Dmitri Tymoczko y colaboradores. ^{[28] [29] [30] [31]} Uno de los artículos de Tymoczko fue el primer artículo de teoría musical publicado por la revista Science . ^{[32] [33] [34]} Mazzola y Tymoczko han participado en debates sobre sus teorías documentadas en una serie de comentarios disponibles en sus respectivos sitios web. ^{[35] [36]}

Rebanadas animadas del orbifold tridimensional . Las rebanadas de cubos colocadas de pie (con sus diagonales largas perpendiculares al plano de la imagen) forman regiones de Voronoi coloreadas (coloreadas por tipo de acorde) que representan los acordes de tres notas en sus centros, con tríadas aumentadas en el centro mismo, rodeadas por tríadas mayores y menores (verde lima y azul marino). Las regiones blancas son tricords degenerados (una nota repetida tres veces), con las tres líneas (que representan acordes de dos notas) que conectan sus centros formando las paredes del prisma triangular retorcido, planos 2D perpendiculares al plano de la imagen que actúan como espejos. ${\displaystyle T^{3}/S_{3}}$

Tymoczko modela acordes musicales que consisten en n notas, que no son necesariamente distintas, como puntos en el orbifold – el espacio de n puntos no ordenados (no necesariamente distintos) en el círculo, realizado como el cociente del n - toro (el espacio de n puntos ordenados en el círculo) por el grupo simétrico (que corresponde a pasar de un conjunto ordenado a un conjunto no ordenado). ${\displaystyle T^{n}/S_{n}}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Musicalmente esto se explica de la siguiente manera:

• Los tonos musicales dependen de la frecuencia (tono) de su fundamental y, por lo tanto, están parametrizados por los números reales positivos, R ⁺ .
• Los tonos musicales que difieren en una octava (una duplicación de la frecuencia) se consideran el mismo tono: esto corresponde a tomar el logaritmo en base 2 de las frecuencias (lo que produce los números reales, como ), luego cociente por los números enteros (que corresponde a diferir en un cierto número de octavas), lo que produce un círculo (como ). ${\displaystyle \mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}}$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z} }$
• Los acordes corresponden a tonos múltiples sin tener en cuenta el orden; por lo tanto, las notas t (con orden) corresponden a t puntos ordenados en el círculo, o equivalentemente a un solo punto en el t -toro y omitir el orden corresponde a tomar el cociente obteniendo un orbifold. ${\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},}$ ${\displaystyle S_{t},}$

Para las díadas (dos tonos), esto produce la banda de Möbius cerrada ; para las tríadas (tres tonos), esto produce un orbifold que puede describirse como un prisma triangular con las caras triangulares superior e inferior identificadas con un giro de 120° (un ⁠1/3⁠ giro) – equivalentemente, como un toro sólido en 3 dimensiones con una sección transversal de un triángulo equilátero y tal giro.

El orbifold resultante está naturalmente estratificado por tonos repetidos (adecuadamente, por particiones enteras de t ): el conjunto abierto consta de tonos distintos (la partición ), mientras que hay un conjunto singular unidimensional que consta de todos los tonos que son iguales (la partición ), que topológicamente es un círculo, y varias particiones intermedias. También hay un círculo notable que atraviesa el centro del conjunto abierto que consta de puntos igualmente espaciados. En el caso de las tríadas, las tres caras laterales del prisma corresponden a dos tonos que son iguales y el tercero diferente (la partición ), mientras que los tres bordes del prisma corresponden al conjunto singular unidimensional. Las caras superior e inferior son parte del conjunto abierto, y solo aparecen porque el orbifold ha sido cortado: si se ve como un toro triangular con un giro, estos artefactos desaparecen. ${\displaystyle t=1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle t=t}$ ${\displaystyle 3=2+1}$

Tymoczko sostiene que los acordes cercanos al centro (con tonos igualmente espaciados o casi igualmente) forman la base de gran parte de la armonía occidental tradicional, y que visualizarlos de esta manera ayuda en el análisis. Hay 4 acordes en el centro (igualmente espaciados bajo el temperamento igual - espaciado de 4/4/4 entre tonos), correspondientes a las tríadas aumentadas (pensadas como conjuntos musicales ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB y EG♯C (luego hacen un ciclo: FAC♯ = C♯FA), con los 12 acordes mayores y 12 acordes menores siendo los puntos al lado pero no en el centro - casi espaciados uniformemente pero no del todo. Los acordes mayores corresponden a un espaciado de 4/3/5 (o equivalentemente, 5/4/3), mientras que los acordes menores corresponden a un espaciado de 3/4/5. Los cambios clave corresponden entonces al movimiento entre estos puntos en el orbifold, con cambios más suaves efectuados por el movimiento entre puntos cercanos.

Véase también

• Cobertura ramificada
• Característica de Euler de un orbifold
• Cociente geométrico
• Fórmula de Riemann-Roch de Kawasaki
• Notación orbifold
• Orientable
• Anillo de formas modulares
• Pila (matemáticas)

Notas

1. Satake 1956.
2. Thurston 1978–1981, Capítulo 13.
3. Haefliger 1990.
4. Poincaré 1985.
5. Serre 1970.
6. Scott 1983.
7. Bridson y Haefliger 1999.
8. Di Francesco, Mathieu y Sénéchal 1997.
9. Bredon 1972.
10. Moerdijk, Ieke (2002). Orbifolds como grupoides: una introducción. Orbifolds en matemáticas y física. Matemáticas contemporáneas. Vol. 310. American Mathematical Society . págs. 205–222. arXiv : math/0203100 . ISBN. 978-0-8218-2990-5.
11. Moerdijk, Ieke ; Mrcun, Janez (2003). Introducción a las foliaciones y los grupoides de Lie. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press . págs. 140–144. doi :10.1017/cbo9780511615450. ISBN 978-0-521-83197-0.
12. Iglesias-Zemmour 2013.
13. Iglesias, Karshon y Zadka 2010.
14. Iglesias et al. 2010, Teorema 46.
15. Haefliger 1984.
16. Satake 1957, nota al pie p.469.
17. Iglesias et al. 2010, Ejemplo 25.
18. Iglesias-Zemmour & Laffineur 2017.
19. Teorema de las medianas hiperbólicas
20. Se pueden encontrar introducciones generales a este material en las notas de Peter Scott de 1983 y en las exposiciones de Boileau, Maillot y Porti y Cooper, Hodgson y Kerckhoff.
21. M. Green, J. Schwartz y E. Witten, Teoría de supercuerdas , vol. 1 y 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN 0521357527
22. J. Polchinski, Teoría de cuerdas , vol. 2, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-63304-4 
23. P. Candelas, Lecciones sobre variedades complejas , en *Trieste 1987, Actas, Superstrings '87* 1-88, 1987
24. Blumenhagen, Ralph; Lüst, Dieter; Theisen, Stefan (2012), Conceptos básicos de la teoría de cuerdas, Física teórica y matemática, Springer, p. 487, Bibcode :2013bcst.book.....B, ISBN 9783642294969Los orbifolds pueden verse como límites singulares de variedades suaves de Calabi-Yau..
25. Dixon, L.; Harvey, JA; Vafa, C.; Witten, E. (1 de enero de 1985). "Cuerdas en orbifolds". Física nuclear B . 261 : 678–686. Código Bibliográfico :1985NuPhB.261..678D. doi :10.1016/0550-3213(85)90593-0. ISSN  0550-3213.
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28. Tymoczko 2006.
29. Callender, Quinn y Tymoczko 2008.
30. Dmitri Tymoczko, La geometría de la música : enlaces a artículos y software de visualización.
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Referencias

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