mapa adecuado

Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacta

En matemáticas , una función entre espacios topológicos se llama propia si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son compactas. ^[1] En geometría algebraica , el concepto análogo se denomina morfismo propio .

Definición

Hay varias definiciones en competencia de " función adecuada ". Algunos autores llaman a una función entre dos espacios topológicos propia si la preimagen de todo conjunto compacto es compacta en Otros autores llaman a una función propia si es continua y cerrada con fibras compactas ; es decir, si es un mapa cerrado continuo y la preimagen de cada punto es compacta . Las dos definiciones son equivalentes si es localmente compacto y Hausdorff . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Si es Hausdorff y es Hausdorff localmente compacto, entonces lo propio equivale a universalmente cerrado . Un mapa es universalmente cerrado si para cualquier espacio topológico el mapa está cerrado. En el caso de Hausdorff, esto equivale a exigir que para cualquier mapa el retroceso esté cerrado, como se desprende del hecho de que es un subespacio cerrado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle X\times Z.}$

Una definición equivalente, posiblemente más intuitiva, cuando y son espacios métricos es la siguiente: decimos que una secuencia infinita de puntos en un espacio topológico escapa al infinito si, para cada conjunto compacto sólo hay un número finito de puntos . Entonces una aplicación continua es adecuada si y sólo si por cada secuencia de puntos que escapa al infinito en la secuencia escapa al infinito en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades

• Todo mapa continuo desde un espacio compacto hasta un espacio de Hausdorff es propio y cerrado .
• Todo mapa sobreyectivo propio es un mapa de cobertura compacto.
  • Un mapa se llama cobertura compacta si para cada subconjunto compacto existe algún subconjunto compacto tal que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle f(C)=K.}$
• Un espacio topológico es compacto si y sólo si el mapa desde ese espacio hasta un solo punto es adecuado.
• Si es un mapa continuo adecuado y es un espacio de Hausdorff generado de forma compacta (esto incluye espacios de Hausdorff que son primero contables o localmente compactos ), entonces está cerrado. ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Generalización

Es posible generalizar la noción de mapas adecuados de espacios topológicos a lugares y topoi , ver (Johnstone 2002).

Ver también

• Mapa casi abierto  : Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Mapas abiertos y cerrados  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
• Mapa perfecto  : mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras también son conjuntos compactos.
• Glosario de topología  – Glosario de matemáticasPages displaying short descriptions of redirect targets

Citas

1. Lee 2012, pág. 610, supra Proposición A.53.
2. Palacio, Richard S. (1970). "Cuando los mapas adecuados están cerrados". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 24 (4): 835–836. doi : 10.1090/s0002-9939-1970-0254818-x . SEÑOR  0254818.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1998). Topología general. Capítulos 5 a 10 . Elementos de las Matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64563-4. SEÑOR  1726872.
• Johnstone, Pedro (2002). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría del topos . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-851598-7., especialmente sección C3.2 "Mapas adecuados"
• Marrón, Ronald (2006). Topología y grupoides . Carolina del Norte: Booksurge . ISBN 1-4196-2722-8., especialmente pag. 90 "Mapas adecuados" y los ejercicios de la Sección 3.6.
• Marrón, Ronald (1973). "Mapas secuencialmente propios y compactación secuencial". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 7 (3): 515–522. doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 218 (Segunda ed.). Nueva York Londres: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771.