Instantón gravitacional

Variedad de Riemann completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío

En física matemática y geometría diferencial , un instantón gravitacional es una variedad de Riemann completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío . Se llaman así porque son análogos en las teorías cuánticas de la gravedad de los instantones de la teoría de Yang-Mills . De acuerdo con esta analogía con los instantones autoduales de Yang-Mills , generalmente se supone que los instantones gravitacionales parecen un espacio euclidiano de cuatro dimensiones a grandes distancias y que tienen un tensor de Riemann autodual . Matemáticamente, esto significa que son 4 variedades hiperkähler asintóticamente localmente euclidianas (o quizás asintóticamente localmente planas) y, en este sentido, son ejemplos especiales de variedades de Einstein . Desde un punto de vista físico, un instantón gravitacional es una solución no singular de las ecuaciones de Einstein del vacío con métrica definida positiva , a diferencia de la métrica de Lorentz .

Hay muchas generalizaciones posibles de la concepción original de un instantón gravitacional: por ejemplo, se puede permitir que los instantones gravitacionales tengan una constante cosmológica distinta de cero o un tensor de Riemann que no sea autodual. También se puede relajar la condición de frontera de que la métrica es asintóticamente euclidiana.

Existen muchos métodos para construir instantones gravitacionales, incluido el Ansatz de Gibbons-Hawking , la teoría de twistores y la construcción del cociente de hiperkähler .

Introducción

Los instantones gravitacionales son interesantes porque ofrecen información sobre la cuantificación de la gravedad. Por ejemplo, se necesitan métricas localmente euclidianas asintóticamente definidas positivas, ya que obedecen a la conjetura de acción positiva; las acciones que son ilimitadas a continuación crean divergencia en la integral de trayectoria cuántica .

• Una variedad Kähler - Einstein de cuatro dimensiones tiene un tensor de Riemann autodual .
• De manera equivalente, un instantón gravitacional autodual es una variedad hiperkähler completa de cuatro dimensiones .
• Los instantones gravitacionales son análogos a los instantones autoduales de Yang-Mills .

Se pueden hacer varias distinciones con respecto a la estructura del tensor de curvatura de Riemann , pertenecientes a la planitud y la autodualidad. Éstas incluyen:

• Einstein (constante cosmológica distinta de cero)
• Planitud de Ricci (tensor de Ricci que desaparece)
• Planitud conforme (tensor de Weyl que desaparece)
• Autodualidad
• Anti-auto-dualidad
• Conformemente auto-dual
• Conformemente anti-auto-dual

Taxonomía

Al especificar las 'condiciones de frontera', es decir, las asintóticas de la métrica 'en el infinito' en una variedad de Riemann no compacta, los instantones gravitacionales se dividen en unas pocas clases, como espacios asintóticamente localmente euclidianos (espacios ALE), espacios asintóticamente localmente planos (ALF espacios).

Se pueden caracterizar además por si el tensor de Riemann es autodual, si el tensor de Weyl es autodual o ninguno de los dos; si son o no variedades de Kähler ; y varias clases características , como la característica de Euler , la firma de Hirzebruch ( clase Pontryagin ), el índice Rarita-Schwinger (índice spin-3/2) o, en general, la clase Chern . La capacidad de soportar una estructura de espín ( es decir, permitir espinores de Dirac consistentes ) es otra característica atractiva.

Lista de ejemplos

Eguchi et al. Enumere varios ejemplos de instantes gravitacionales. ^[1] Estos incluyen, entre otros:

• El espacio plano , el toroide y el espacio euclidiano de Sitter , es decir, la métrica estándar sobre las 4 esferas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$
• El producto de las esferas . ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• La métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$
• El instanton de Eguchi-Hanson , que se muestra a continuación. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)}$
• La solución Taub-NUT , que se muestra a continuación.
• La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo ^[2] Tenga en cuenta que el plano proyectivo complejo no admite espinores de Dirac bien definidos . Es decir, no es una estructura de espín . Sin embargo, se le puede dar una estructura de espín . ${\displaystyle \mathbb {CP} (2).}$
• "Espacio de página, una métrica compacta giratoria sobre la suma directa de dos planos proyectivos complejos ". ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\oplus {\overline {\mathbb {CP} }}(2)}$
• Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking, que se detallan a continuación.
• La métrica de perno Taub y la métrica de perno Taub giratorio. Las métricas de "perno" tienen una singularidad de coordenadas de tipo cilíndrico en el origen, en comparación con las métricas de "tuerca", que tienen una singularidad de coordenadas de esfera. En ambos casos, la singularidad de las coordenadas se puede eliminar cambiando a coordenadas euclidianas en el origen. ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}}$
• El K3 emerge .
• Las variedades autoduales asintóticamente localmente euclidianas, incluidos los espacios de la lente , las dobles cubiertas de los grupos diédricos , el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico y el grupo icosaédrico . Tenga en cuenta que corresponde al instanten de Eguchi-Hanson, mientras que para k mayor , corresponde a las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking. ${\displaystyle L(k+1,1)}$ ${\displaystyle L(2,1)}$ ${\displaystyle L(2,1)}$

Esta es una lista incompleta; hay otros.

Ejemplos

Será conveniente escribir las soluciones instantónicas gravitacionales a continuación utilizando formas 1 invariantes a la izquierda en las tres esferas S ³ (vistas como el grupo Sp(1) o SU(2)). Estos se pueden definir en términos de ángulos de Euler por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&=\cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que para cíclico. ${\displaystyle d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0}$ ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

Métrica Taub-NUT

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})}$

Métrica de Eguchi-Hanson

El espacio de Eguchi-Hanson está definido por una métrica, el paquete cotangente de las 2 esferas . Esta métrica es ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).}$

dónde . Esta métrica es suave en todas partes si no tiene singularidad cónica en ,. Porque esto sucede si tiene un período de , lo que da una métrica plana en R ⁴ ; Sin embargo, esto sucede si tiene un período de . ${\displaystyle r\geq a^{1/4}}$ ${\displaystyle r\rightarrow a^{1/4}}$ ${\displaystyle \theta =0,\pi }$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Asintóticamente (es decir, en el límite ), la métrica parece ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

que ingenuamente parece la métrica plana en R ⁴ . Sin embargo, para , tiene sólo la mitad de la periodicidad habitual, como hemos visto. Así, la métrica es asintóticamente R ⁴ con la identificación , que es un subgrupo Z 2 de SO(4) , el grupo de rotación de R ⁴ . Por lo tanto, se dice que la métrica es asintóticamente R ⁴ / Z ₂ . ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \,{\sim }\,\psi +2\pi }$

Hay una transformación a otro sistema de coordenadas , en el que la métrica se parece

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

dónde ${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

(Para a = 0, y las nuevas coordenadas se definen de la siguiente manera: primero se define y luego parametriza , y por las coordenadas R ³ , es decir ). ${\displaystyle V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}}$ ${\displaystyle \rho =r^{2}/4}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )}$

En las nuevas coordenadas, tiene la periodicidad habitual. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .}$

Se puede reemplazar V por

${\displaystyle \quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

Para algunos n puntos , i  = 1, 2...,  n . Esto da un instante gravitacional Eguchi-Hanson multicéntrico, que nuevamente es suave en todas partes si las coordenadas angulares tienen las periodicidades habituales (para evitar singularidades cónicas ). El límite asintótico ( ) equivale a llevar todo a cero y al cambiar las coordenadas nuevamente a r, y y redefinir , obtenemos la métrica asintótica ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r\rightarrow r/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].}$

Esto es R ⁴ / Z _n = C ² / Z _n , porque es R ⁴ con la coordenada angular reemplazada por , que tiene la periodicidad incorrecta ( en lugar de ). En otras palabras, es R ⁴ identificado en , o, de manera equivalente, C ² identificado en z _i ~ z _i para i = 1, 2. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /n}$ ${\displaystyle 4\pi /n}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n}$ ${\displaystyle e^{2\pi ik/n}}$

Para concluir, la geometría multicéntrica de Eguchi-Hanson es una geometría plana de Kähler Ricci que es asintóticamente C ² / Z _n . Según el teorema de Yau ésta es la única geometría que satisface estas propiedades. Por lo tanto, ésta es también la geometría de un orbifold C ² / Z _n en la teoría de cuerdas después de que su singularidad cónica ha sido suavizada por su "explosión" (es decir, deformación). ^[3]

Métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking

Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking vienen dadas por ^{[4] [5]}

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

dónde

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

Aquí, corresponde a multi-Taub–NUT, y es un espacio plano, y y es la solución de Eguchi-Hanson (en diferentes coordenadas). ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle k=2}$

Métricas FLRW como instantes gravitacionales

En 2021 se descubrió ^[6] que si se considera el parámetro de curvatura de un espacio foliado máximamente simétrico como una función continua, la acción gravitacional, como suma de la acción de Einstein-Hilbert y el término límite de Gibbons-Hawking-York , se convierte en el de una partícula puntual. Entonces la trayectoria es el factor de escala y el parámetro de curvatura se considera el potencial. Para soluciones restringidas así, la relatividad general toma la forma de una teoría topológica de Yang-Mills .

Ver también

• anomalía gravitacional
• Colector Hyperkähler

Referencias

1. Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial". Informes de Física . 66 (6): 213–393. Código bibliográfico : 1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN  0370-1573.
2. Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (8 de noviembre de 1976). "Gravedad cuántica y topología mundial". Cartas de revisión física . 37 (19): 1251-1254. Código bibliográfico : 1976PhRvL..37.1251E. doi :10.1103/physrevlett.37.1251. ISSN  0031-9007.
3. Douglas, Michael R.; Moore, Gregorio (1996). "D-branas, Quivers y ALE Instantons". arXiv : hep-th/9603167 .
4. Hawking, SW (1977). "Instantáneos gravitacionales". Letras de Física A. 60 (2): 81–83. Código bibliográfico : 1977PhLA...60...81H. doi :10.1016/0375-9601(77)90386-3. ISSN  0375-9601.
5. Gibones, GW; Hawking, SW (1978). "Múltiples instantes gravitacionales". Letras de Física B. 78 (4): 430–432. Código bibliográfico : 1978PhLB...78..430G. doi :10.1016/0370-2693(78)90478-1. ISSN  0370-2693.
6. J. Hristov;. Teoría cuántica de la métrica, su conexión con los modelos de Chern-Simons y la estructura de vacío theta de la gravedad cuántica https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-021-09315-1 ${\displaystyle k(\phi )}$

• Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1978). "Múltiples instantes gravitacionales". Letras de Física B. 78 (4): 430–432. Código bibliográfico : 1978PhLB...78..430G. doi :10.1016/0370-2693(78)90478-1.
• Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1979). "Clasificación de simetrías de Instanton gravitacionales". Comunicaciones en Física Matemática . 66 (3): 291–310. Código bibliográfico : 1979CMaPh..66..291G. doi :10.1007/BF01197189. S2CID  123183399.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (abril de 1978). "Soluciones autoduales asintóticamente planas para la gravedad euclidiana". Letras de Física B. 74 (3): 249–251. Código bibliográfico : 1978PhLB...74..249E. doi :10.1016/0370-2693(78)90566-X. OSTI  1446816. S2CID  16380482.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J (julio de 1979). "Soluciones autoduales a la gravedad euclidiana". Anales de Física . 120 (1): 82-106. Código bibliográfico : 1979AnPhy.120...82E. doi :10.1016/0003-4916(79)90282-3. OSTI  1447072. S2CID  48866858.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (diciembre de 1979). "Instantáneos gravitacionales". Relatividad General y Gravitación . 11 (5): 315–320. Código Bib : 1979GReGr..11..315E. doi :10.1007/BF00759271. S2CID  123806150.
• Kronheimer, PB (1989). "La construcción de espacios ALE como cocientes de hiper-Kähler". Revista de Geometría Diferencial . 29 (3): 665–683. doi : 10.4310/jdg/1214443066 .