En geometría algebraica y física teórica , la simetría especular es una relación entre objetos geométricos llamados variedades Calabi-Yau . El término se refiere a una situación en la que dos variedades de Calabi-Yau parecen muy diferentes geométricamente pero, sin embargo, son equivalentes cuando se emplean como dimensiones adicionales de la teoría de cuerdas .
Los físicos descubrieron los primeros casos de simetría especular. Los matemáticos se interesaron por esta relación alrededor de 1990, cuando Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green y Linda Parkes demostraron que podía usarse como herramienta en geometría enumerativa , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a preguntas geométricas. . Candelas y sus colaboradores demostraron que la simetría especular podría usarse para contar curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau, resolviendo así un problema de larga data. Aunque el enfoque original de la simetría especular se basó en ideas físicas que no se entendían de manera matemáticamente precisa, desde entonces algunas de sus predicciones matemáticas se han demostrado rigurosamente .
Hoy en día, la simetría especular es un tema de investigación importante en matemáticas puras , y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática de la relación basada en la intuición de los físicos. La simetría especular también es una herramienta fundamental para realizar cálculos en la teoría de cuerdas y se ha utilizado para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo que utilizan los físicos para describir partículas elementales . Los principales enfoques de la simetría especular incluyen el programa de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich y la conjetura SYZ de Andrew Strominger , Shing-Tung Yau y Eric Zaslow .
En física, la teoría de cuerdas es un marco teórico en el que las partículas puntuales de la física de partículas son reemplazadas por objetos unidimensionales llamados cuerdas . Estas cuerdas parecen pequeños segmentos o bucles de cuerda ordinaria. La teoría de cuerdas describe cómo las cuerdas se propagan a través del espacio e interactúan entre sí. En escalas de distancia mayores que la escala de cuerdas, una cuerda se verá como una partícula ordinaria, con su masa , carga y otras propiedades determinadas por el estado vibratorio de la cuerda. La división y recombinación de cuerdas corresponden a la emisión y absorción de partículas, dando lugar a las interacciones entre partículas. [1]
Existen diferencias notables entre el mundo descrito por la teoría de cuerdas y el mundo cotidiano. En la vida cotidiana, hay tres dimensiones familiares de espacio (arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás), y hay una dimensión de tiempo (más tarde/antes). Así, en el lenguaje de la física moderna, se dice que el espacio-tiempo es cuatridimensional. [2] Una de las características peculiares de la teoría de cuerdas es que requiere dimensiones adicionales de espacio-tiempo para su consistencia matemática. En la teoría de supercuerdas , la versión de la teoría que incorpora una idea teórica llamada supersimetría , hay seis dimensiones adicionales del espacio-tiempo además de las cuatro que nos resultan familiares por la experiencia cotidiana. [3]
Uno de los objetivos de la investigación actual en teoría de cuerdas es desarrollar modelos en los que las cuerdas representen partículas observadas en experimentos de física de alta energía. Para que un modelo así sea coherente con las observaciones, su espacio-tiempo debe ser de cuatro dimensiones en las escalas de distancia relevantes, por lo que hay que buscar formas de restringir las dimensiones adicionales a escalas más pequeñas. En la mayoría de los modelos realistas de física basados en la teoría de cuerdas, esto se logra mediante un proceso llamado compactificación , en el que se supone que las dimensiones adicionales se "cierran" sobre sí mismas para formar círculos. [4] En el límite donde estas dimensiones enrolladas se vuelven muy pequeñas, se obtiene una teoría en la que el espacio-tiempo tiene efectivamente un número menor de dimensiones. Una analogía estándar para esto es considerar un objeto multidimensional como una manguera de jardín. Si la manguera se mira desde una distancia suficiente, parece tener una sola dimensión: su longitud. Sin embargo, cuando uno se acerca a la manguera, descubre que contiene una segunda dimensión, su circunferencia. Así, una hormiga que se arrastrara sobre la superficie de la manguera se movería en dos dimensiones. [5]
La compactación se puede utilizar para construir modelos en los que el espacio-tiempo sea efectivamente de cuatro dimensiones. Sin embargo, no todas las formas de compactar las dimensiones adicionales producen un modelo con las propiedades adecuadas para describir la naturaleza. En un modelo viable de física de partículas, las dimensiones adicionales compactas deben tener la forma de una variedad Calabi-Yau . [4] Una variedad de Calabi-Yau es un espacio especial que normalmente se considera de seis dimensiones en aplicaciones a la teoría de cuerdas. Lleva el nombre de los matemáticos Eugenio Calabi y Shing-Tung Yau . [6]
Después de que las variedades Calabi-Yau entraron en la física como una forma de compactar dimensiones adicionales, muchos físicos comenzaron a estudiar estas variedades. A finales de la década de 1980, Lance Dixon , Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa y Nick Warner notaron que dada tal compactificación de la teoría de cuerdas, no es posible reconstruir de forma única una variedad Calabi-Yau correspondiente. [7] En cambio, dos versiones diferentes de la teoría de cuerdas llamadas teoría de cuerdas tipo IIA y tipo IIB pueden compactarse en variedades Calabi-Yau completamente diferentes dando lugar a la misma física. [a] En esta situación, las variedades se llaman variedades espejo, y la relación entre las dos teorías físicas se llama simetría especular. [9]
La relación de simetría especular es un ejemplo particular de lo que los físicos llaman dualidad física . En general, el término dualidad física se refiere a una situación en la que dos teorías físicas aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si una teoría se puede transformar para que parezca otra teoría, se dice que las dos son duales bajo esa transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes del mismo fenómeno. [10] Estas dualidades desempeñan un papel importante en la física moderna, especialmente en la teoría de cuerdas. [b]
Independientemente de si las compactaciones de Calabi-Yau de la teoría de cuerdas proporcionan una descripción correcta de la naturaleza, la existencia de la dualidad especular entre diferentes teorías de cuerdas tiene importantes consecuencias matemáticas. [11] Las variedades Calabi-Yau utilizadas en la teoría de cuerdas son de interés en las matemáticas puras , y la simetría especular permite a los matemáticos resolver problemas en geometría algebraica enumerativa , una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de soluciones a preguntas geométricas. Un problema clásico de la geometría enumerativa es enumerar las curvas racionales en una variedad de Calabi-Yau como la ilustrada arriba. Aplicando la simetría especular, los matemáticos han traducido este problema en un problema equivalente para el espejo Calabi-Yau, que resulta más fácil de resolver. [12]
En física, la simetría especular se justifica por motivos físicos. [13] Sin embargo, los matemáticos generalmente requieren pruebas rigurosas que no requieren una apelación a la intuición física. Desde un punto de vista matemático, la versión de la simetría especular descrita anteriormente sigue siendo sólo una conjetura, pero existe otra versión de la simetría especular en el contexto de la teoría de cuerdas topológica , una versión simplificada de la teoría de cuerdas introducida por Edward Witten , [14] lo cual ha sido rigurosamente probado por los matemáticos. [15] En el contexto de la teoría de cuerdas topológica, la simetría especular establece que dos teorías llamadas modelo A y modelo B son equivalentes en el sentido de que existe una dualidad que las relaciona. [16] Hoy en día, la simetría especular es un área activa de investigación en matemáticas, y los matemáticos están trabajando para desarrollar una comprensión matemática más completa de la simetría especular basada en la intuición de los físicos. [17]
La idea de la simetría especular se remonta a mediados de la década de 1980, cuando se observó que una cuerda que se propaga en un círculo de radio es físicamente equivalente a una cuerda que se propaga en un círculo de radio en unidades apropiadas . [18] Este fenómeno ahora se conoce como T-dualidad y se entiende que está estrechamente relacionado con la simetría especular. [19] En un artículo de 1985, Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger y Edward Witten demostraron que al compactar la teoría de cuerdas en una variedad de Calabi-Yau, se obtiene una teoría más o menos similar al modelo estándar de física de partículas que también consistentemente incorpora una idea llamada supersimetría. [20] Después de este desarrollo, muchos físicos comenzaron a estudiar las compactaciones de Calabi-Yau, con la esperanza de construir modelos realistas de física de partículas basados en la teoría de cuerdas. Cumrun Vafa y otros notaron que dado tal modelo físico, no es posible reconstruir de forma única una variedad Calabi-Yau correspondiente. En cambio, hay dos variedades Calabi-Yau que dan lugar a la misma física. [21]
Al estudiar la relación entre las variedades Calabi-Yau y ciertas teorías de campos conformes llamadas modelos de Gepner, Brian Greene y Ronen Plesser encontraron ejemplos no triviales de la relación especular. [22] Más evidencia de esta relación provino del trabajo de Philip Candelas, Monika Lynker y Rolf Schimmrigk, quienes examinaron una gran cantidad de variedades Calabi-Yau por computadora y descubrieron que venían en pares de espejos. [23]
Los matemáticos se interesaron por la simetría especular alrededor de 1990, cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes demostraron que la simetría especular podía utilizarse para resolver problemas de geometría enumerativa [24] que se habían resistido a la solución durante décadas o más. [25] Estos resultados fueron presentados a matemáticos en una conferencia en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (MSRI) en Berkeley, California , en mayo de 1991. Durante esta conferencia, se notó que uno de los números que Candelas había calculado para contar curvas racionales no estuvo de acuerdo con el número obtenido por los matemáticos noruegos Geir Ellingsrud y Stein Arild Strømme utilizando técnicas aparentemente más rigurosas. [26] Muchos matemáticos en la conferencia asumieron que el trabajo de Candelas contenía un error ya que no se basaba en argumentos matemáticos rigurosos. Sin embargo, tras examinar su solución, Ellingsrud y Strømme descubrieron un error en su código informático y, al arreglarlo, obtuvieron una respuesta que coincidía con la obtenida por Candelas y sus colaboradores. [27]
En 1990, Edward Witten introdujo la teoría topológica de cuerdas, [14] una versión simplificada de la teoría de cuerdas, y los físicos demostraron que existe una versión de simetría especular para la teoría topológica de cuerdas. [28] Esta afirmación sobre la teoría topológica de cuerdas generalmente se toma como la definición de simetría especular en la literatura matemática. [29] En un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1994, el matemático Maxim Kontsevich presentó una nueva conjetura matemática basada en la idea física de simetría especular en la teoría topológica de cuerdas. Conocida como simetría especular homológica , esta conjetura formaliza la simetría especular como una equivalencia de dos estructuras matemáticas: la categoría derivada de haces coherentes en una variedad Calabi-Yau y la categoría Fukaya de su espejo. [30]
También alrededor de 1995, Kontsevich analizó los resultados de Candelas, que daban una fórmula general para el problema de contar curvas racionales sobre una quintica triple , y reformuló estos resultados como una conjetura matemática precisa. [31] En 1996, Alexander Givental publicó un artículo que pretendía probar esta conjetura de Kontsevich. [32] Inicialmente, muchos matemáticos encontraron este artículo difícil de entender, por lo que había dudas sobre su exactitud. Posteriormente, Bong Lian, Kefeng Liu y Shing-Tung Yau publicaron una prueba independiente en una serie de artículos. [33] A pesar de la controversia sobre quién había publicado la primera prueba, ahora se considera colectivamente que estos artículos proporcionan una prueba matemática de los resultados obtenidos originalmente por los físicos utilizando simetría especular. [34] En 2000, Kentaro Hori y Cumrun Vafa dieron otra prueba física de simetría especular basada en la dualidad T. [13]
El trabajo sobre la simetría especular continúa hoy con importantes avances en el contexto de cuerdas en superficies con límites. [17] Además, la simetría especular se ha relacionado con muchas áreas activas de la investigación matemática, como la correspondencia de McKay , la teoría cuántica topológica de campos y la teoría de las condiciones de estabilidad . [35] Al mismo tiempo, las cuestiones básicas siguen molestando. Por ejemplo, los matemáticos todavía no comprenden cómo construir ejemplos de pares espejo Calabi-Yau, aunque se ha avanzado en la comprensión de este tema. [36]
Muchas de las aplicaciones matemáticas importantes de la simetría especular pertenecen a la rama de las matemáticas llamada geometría enumerativa. En geometría enumerativa, a uno le interesa contar el número de soluciones a preguntas geométricas, normalmente utilizando las técnicas de geometría algebraica . Uno de los primeros problemas de geometría enumerativa lo planteó alrededor del año 200 a. C. el antiguo matemático griego Apolonio , quien preguntó cuántos círculos en el plano son tangentes a tres círculos dados. En general, la solución al problema de Apolonio es que existen ocho círculos de este tipo. [37]
Los problemas enumerativos en matemáticas a menudo se refieren a una clase de objetos geométricos llamados variedades algebraicas que se definen por la desaparición de polinomios . Por ejemplo, la cúbica de Clebsch (ver la ilustración) se define utilizando un determinado polinomio de grado tres en cuatro variables. Un célebre resultado de los matemáticos del siglo XIX Arthur Cayley y George Salmon afirma que hay exactamente 27 líneas rectas que se encuentran enteramente sobre dicha superficie. [38]
Generalizando este problema, uno puede preguntarse cuántas líneas se pueden dibujar en una variedad quíntica de Calabi-Yau, como la ilustrada arriba, que está definida por un polinomio de grado cinco. Este problema fue resuelto por el matemático alemán del siglo XIX Hermann Schubert , quien descubrió que existen exactamente 2.875 líneas de este tipo. En 1986, el geómetra Sheldon Katz demostró que el número de curvas, como círculos, que están definidas por polinomios de grado dos y que se encuentran enteramente en la quíntica es 609.250. [37]
Para el año 1991, la mayoría de los problemas clásicos de la geometría enumerativa se habían resuelto y el interés por la geometría enumerativa había comenzado a disminuir. Según el matemático Mark Gross , "Cuando los viejos problemas se resolvieron, la gente volvió a comprobar los números de Schubert con técnicas modernas, pero eso se estaba volviendo bastante obsoleto". [39] El campo se revitalizó en mayo de 1991 cuando los físicos Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green y Linda Parkes demostraron que la simetría especular podía usarse para contar el número de curvas de grado tres en un Calabi-Yau quíntico. Candelas y sus colaboradores descubrieron que estas variedades Calabi-Yau de seis dimensiones pueden contener exactamente 317.206.375 curvas de grado tres. [39]
Además de contar curvas de grado tres en una quíntica al triple, Candelas y sus colaboradores obtuvieron una serie de resultados más generales para contar curvas racionales que iban mucho más allá de los resultados obtenidos por los matemáticos. [40] Aunque los métodos utilizados en este trabajo se basaron en la intuición física, los matemáticos han probado rigurosamente algunas de las predicciones de la simetría especular. En particular, las predicciones enumerativas de la simetría especular ahora han sido probadas rigurosamente. [34]
Además de sus aplicaciones en geometría enumerativa, la simetría especular es una herramienta fundamental para realizar cálculos en teoría de cuerdas. En el modelo A de la teoría topológica de cuerdas, las cantidades físicamente interesantes se expresan en términos de infinitos números llamados invariantes de Gromov-Witten , que son extremadamente difíciles de calcular. En el modelo B, los cálculos se pueden reducir a integrales clásicas y son mucho más sencillos. [41] Al aplicar la simetría especular, los teóricos pueden traducir cálculos difíciles en el modelo A en cálculos equivalentes pero técnicamente más fáciles en el modelo B. Estos cálculos se utilizan luego para determinar las probabilidades de diversos procesos físicos en la teoría de cuerdas. La simetría especular se puede combinar con otras dualidades para traducir los cálculos de una teoría en cálculos equivalentes en una teoría diferente. Al subcontratar los cálculos a diferentes teorías de esta manera, los teóricos pueden calcular cantidades que son imposibles de calcular sin el uso de dualidades. [42]
Fuera de la teoría de cuerdas, la simetría especular se utiliza para comprender aspectos de la teoría cuántica de campos , el formalismo que utilizan los físicos para describir partículas elementales . Por ejemplo, las teorías de calibre son una clase de teorías físicas altamente simétricas que aparecen en el modelo estándar de la física de partículas y otras partes de la física teórica. Algunas teorías de calibre que no forman parte del modelo estándar, pero que sin embargo son importantes por razones teóricas, surgen de cuerdas que se propagan sobre un fondo casi singular. Para tales teorías, la simetría especular es una herramienta computacional útil. [43] De hecho, la simetría especular se puede utilizar para realizar cálculos en una importante teoría de calibre en cuatro dimensiones del espacio-tiempo que fue estudiada por Nathan Seiberg y Edward Witten y también es familiar en matemáticas en el contexto de las invariantes de Donaldson . [44] También existe una generalización de la simetría especular llamada simetría especular 3D que relaciona pares de teorías cuánticas de campos en tres dimensiones espacio-temporales. [45]
En teoría de cuerdas y teorías relacionadas en física, una brana es un objeto físico que generaliza la noción de partícula puntual a dimensiones superiores. Por ejemplo, una partícula puntual puede verse como una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede verse como una brana de dimensión uno. También es posible considerar branas de dimensiones superiores. La palabra brana proviene de la palabra "membrana" que se refiere a una brana bidimensional. [46]
En teoría de cuerdas, una cuerda puede estar abierta (formando un segmento con dos extremos) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran cuerdas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus puntos finales se encuentren en una brana D. La letra "D" en D-brana se refiere a una condición que satisface, la condición de frontera de Dirichlet . [47]
Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . [48] Se trata de una estructura matemática que consta de objetos , y para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. [49] También se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas y son estados de cuerdas abiertas estiradas entre y . [50]
En el modelo B de la teoría topológica de cuerdas, las D-branas son subvariedades complejas de Calabi-Yau junto con datos adicionales que surgen físicamente al tener cargas en los puntos finales de las cuerdas. [50] Intuitivamente, uno puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro de Calabi-Yau, aunque las subvariedades también pueden existir en dimensiones diferentes de dos. [25] En lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como objetos se conoce como categoría derivada de haces coherentes en Calabi-Yau. [51] En el modelo A, las D-branas pueden verse nuevamente como subvariedades de una variedad Calabi-Yau. A grandes rasgos, son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales . [51] Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se sientan y minimizan la longitud, el área o el volumen. [52] La categoría que tiene estas branas como objetos se llama categoría Fukaya. [51]
La categoría derivada de gavillas coherentes se construye utilizando herramientas de geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe curvas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos utilizando ecuaciones algebraicas . [53] Por otro lado, la categoría Fukaya se construye utilizando la geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió a partir de estudios de física clásica . La geometría simpléctica estudia espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que se puede utilizar para calcular el área en ejemplos bidimensionales. [dieciséis]
La conjetura de simetría del espejo homológico de Maxim Kontsevich establece que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad Calabi-Yau es equivalente en cierto sentido a la categoría Fukaya de su espejo. [54] Esta equivalencia proporciona una formulación matemática precisa de la simetría especular en la teoría de cuerdas topológica. Además, proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber, la geometría compleja y la simpléctica. [55]
Andrew Strominger, Shing-Tung Yau y Eric Zaslow sugirieron otro enfoque para comprender la simetría especular en 1996. [19] Según su conjetura, ahora conocida como conjetura SYZ, la simetría especular se puede entender dividiendo una variedad de Calabi-Yau en piezas más simples y luego transformándolas para obtener el espejo Calabi–Yau. [56]
El ejemplo más simple de una variedad Calabi-Yau es una forma de toro o rosquilla bidimensional . [57] Considere un círculo en esta superficie que pasa una vez por el agujero del donut. Un ejemplo es el círculo rojo de la figura. Hay infinitos círculos similares en un toroide; de hecho, toda la superficie es una unión de tales círculos. [58]
Se puede elegir un círculo auxiliar (el círculo rosa en la figura) tal que cada uno de los infinitos círculos que descomponen el toro pase por un punto de . Se dice que este círculo auxiliar parametriza los círculos de la descomposición, lo que significa que hay una correspondencia entre ellos y los puntos de . Sin embargo, el círculo es más que una simple lista, porque también determina cómo se organizan estos círculos en el toroide. Este espacio auxiliar juega un papel importante en la conjetura SYZ. [52]
Se puede generalizar la idea de dividir un toroide en partes parametrizadas por un espacio auxiliar. Al aumentar la dimensión de dos a cuatro dimensiones reales, Calabi-Yau se convierte en una superficie K3 . Así como el toroide se descompuso en círculos, una superficie K3 de cuatro dimensiones se puede descomponer en toros bidimensionales. En este caso el espacio es una esfera ordinaria . Cada punto de la esfera corresponde a uno de los toros bidimensionales, excepto veinticuatro puntos "malos" que corresponden a toros "pellizcados" o singulares . [52]
Las variedades Calabi-Yau de principal interés en la teoría de cuerdas tienen seis dimensiones. Se puede dividir dicha variedad en 3-tori (objetos tridimensionales que generalizan la noción de toro) parametrizados por una 3-esfera (una generalización tridimensional de una esfera). Cada punto de corresponde a un 3 toro, excepto por infinitos puntos "malos" que forman un patrón de segmentos en forma de cuadrícula en Calabi-Yau y corresponden a toros singulares. [59]
Una vez que la variedad Calabi-Yau se ha descompuesto en partes más simples, la simetría especular se puede entender de una manera geométrica intuitiva. Como ejemplo, considere el toro descrito anteriormente. Imaginemos que este toroide representa el "espacio-tiempo" de una teoría física . Los objetos fundamentales de esta teoría serán cuerdas que se propagan a través del espacio-tiempo según las reglas de la mecánica cuántica . Una de las dualidades básicas de la teoría de cuerdas es la dualidad T, que establece que una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio es equivalente a una cuerda que se propaga alrededor de un círculo de radio en el sentido de que todas las cantidades observables en una descripción se identifican con cantidades en la descripción dual. [60] Por ejemplo, una cuerda tiene impulso a medida que se propaga alrededor de un círculo, y también puede enrollarse alrededor del círculo una o más veces. El número de veces que la cuerda se enrolla alrededor de un círculo se llama número de enrollamiento . Si una cuerda tiene impulso y número de devanado en una descripción, tendrá impulso y número de devanado en la descripción dual. [60] Al aplicar la dualidad T simultáneamente a todos los círculos que descomponen el toro, los radios de estos círculos se invierten y uno queda con un nuevo toro que es "más gordo" o "más delgado" que el original. Este toroide es el espejo del Calabi-Yau original. [61]
La dualidad T se puede extender desde círculos hasta los toros bidimensionales que aparecen en la descomposición de una superficie K3 o hasta los toros tridimensionales que aparecen en la descomposición de una variedad Calabi-Yau de seis dimensiones. En general, la conjetura SYZ establece que la simetría especular es equivalente a la aplicación simultánea de la dualidad T a estos toros. En cada caso, el espacio proporciona una especie de plano que describe cómo se ensamblan estos tori en una variedad Calabi-Yau. [62]
