En matemáticas , la geometría enumerativa es la rama de la geometría algebraica que se ocupa de contar números de soluciones a cuestiones geométricas, principalmente mediante la teoría de la intersección .
El problema de Apolonio es uno de los primeros ejemplos de geometría enumerativa. Este problema pide el número y la construcción de círculos que son tangentes a tres círculos, puntos o rectas dados. En general, el problema para tres círculos dados tiene ocho soluciones, que pueden verse como 2 3 , cada condición de tangencia impone una condición cuadrática al espacio de los círculos. Sin embargo, para disposiciones especiales de los círculos dados, el número de soluciones también puede ser cualquier número entero entre 0 (sin soluciones) y seis; no existe ningún acuerdo para el cual existan siete soluciones al problema de Apolonio.
Una serie de herramientas, que van desde las más elementales hasta las más avanzadas, incluyen:
La geometría enumerativa está muy ligada a la teoría de la intersección .
La geometría enumerativa tuvo un desarrollo espectacular hacia finales del siglo XIX, de la mano de Hermann Schubert . [1] Lo introdujo con el propósito del cálculo de Schubert , que ha demostrado tener un valor geométrico y topológico fundamental en áreas más amplias. Las necesidades específicas de la geometría enumerativa no se abordaron hasta que se les prestó mayor atención en las décadas de 1960 y 1970 (como señaló, por ejemplo, Steven Kleiman ). Los números de intersección habían sido definidos rigurosamente (por André Weil como parte de su programa fundacional 1942-6, [2] y nuevamente posteriormente), pero esto no agotó el dominio adecuado de las cuestiones enumerativas.
La aplicación ingenua del recuento de dimensiones y el teorema de Bézout produce resultados incorrectos, como muestra el siguiente ejemplo. En respuesta a estos problemas, los geómetras algebraicos introdujeron vagos " factores engañosos ", que sólo se justificaron rigurosamente décadas después.
Como ejemplo, cuente las secciones cónicas tangentes a cinco rectas dadas en el plano proyectivo . [3] Las cónicas constituyen un espacio proyectivo de dimensión 5, tomando sus seis coeficientes como coordenadas homogéneas , y cinco puntos determinan una cónica , si los puntos están en posición general lineal , ya que pasar por un punto dado impone una condición lineal. De manera similar, la tangencia a una línea dada L (la tangencia es la intersección con la multiplicidad dos) es una condición cuadrática, por lo que se determina una cuádrica en P 5 . Sin embargo, el sistema lineal de divisores que consta de todas esas cuádricas no carece de un lugar geométrico de base . De hecho, cada una de estas cuádricas contiene la superficie veronesa , que parametriza las cónicas.
llamadas "líneas dobles". Esto se debe a que una línea doble intersecta a todas las líneas en el plano, ya que las líneas en el plano proyectivo se cruzan con multiplicidad dos porque está duplicada y, por lo tanto, satisface la misma condición de intersección (intersección de multiplicidad dos) que una cónica no degenerada que es tangente a la línea.
El teorema general de Bézout dice que 5 cuádricas generales en 5 espacios se cruzarán en 32 = 2 5 puntos. Pero las cuádricas relevantes aquí no están en posición general . De 32, hay que restar 31 y atribuirlo al veronés, para dejar la respuesta correcta (desde el punto de vista de la geometría), es decir, 1. Este proceso de atribuir intersecciones a casos "degenerados" es una típica introducción geométrica de una "fraude". factor'.
El decimoquinto problema de Hilbert fue superar la naturaleza aparentemente arbitraria de estas intervenciones; este aspecto va más allá de la cuestión fundacional del propio cálculo de Schubert.
En 1984, H. Clemens estudió tres veces el conteo del número de curvas racionales en una quíntica y llegó a la siguiente conjetura.
Esta conjetura ha sido resuelta en el caso , pero aún está abierta a mayores .
En 1991, el artículo [4] sobre la simetría especular en la quíntica triple desde el punto de vista de la teoría de cuerdas proporciona números de curvas racionales de grado d para todos . Antes de esto, los geómetras algebraicos sólo podían calcular estos números para .
Algunos de los ejemplos históricamente importantes de enumeraciones en geometría algebraica incluyen:
