Quintic triple

En matemáticas, un triple quíntico es una hipersuperficie tridimensional de grado 5 en un espacio proyectivo de 4 dimensiones . Las triples quínticas no singulares son variedades de Calabi-Yau . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

El diamante de Hodge de una quíntica triple no singular es

El matemático Robbert Dijkgraaf dijo: "Un número que todo geómetra algebraico conoce es el número 2.875 porque, obviamente, ese es el número de líneas de una quintica". ^[1]

Definición

Una triple quíntica es una clase especial de variedades Calabi-Yau definidas por una variedad proyectiva de grado en . Muchos ejemplos se construyen como hipersuperficies en , o intersecciones completas en , o como una variedad suave que resuelve las singularidades de otra variedad. Como conjunto, una variedad Calabi-Yau es ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

$${\displaystyle X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}}$$

${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle 5}$

$${\displaystyle p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$$

polinomio de Fermatfórmula de conjunciónlas condiciones de suavidad

Hipersuperficies en P 4

Recuerde que un polinomio homogéneo (donde está el giro de Serre del haz de líneas del hiperplano ) define una variedad proyectiva , o esquema proyectivo , del álgebra. ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}}$$

fórmula adjuntapaquete canónico ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}}$$

suave ${\displaystyle 5}$

$${\displaystyle \partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f}$$

$${\displaystyle \{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}$$

Ejemplos

Fermat Quintic

Uno de los ejemplos más fáciles de comprobar de una variedad de Calabi-Yau lo da la triple quíntica de Fermat , que está definida por el lugar geométrico de fuga del polinomio.

$${\displaystyle f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle [0:0:0:0:0]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$

Como banco de pruebas de la conjetura de Hodge

Otra aplicación de la triple quíntica es el estudio de la conjetura de Hodge generalizada infinitesimal , donde este difícil problema puede resolverse en este caso. ^[2] De hecho, todas las líneas en esta hipersuperficie se pueden encontrar explícitamente.

Familia Dwork de triples quínticos.

Otra clase popular de ejemplos de triple quíntica, estudiada en muchos contextos, es la familia Dwork . Un estudio popular de dicha familia es el de Candelas, De La Ossa, Green y Parkes, ^[3] cuando descubrieron la simetría especular . Esto lo da la familia ^{[4] páginas 123-125}

$${\displaystyle f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$$

raíz ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle f_{\psi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$ ${\displaystyle \partial _{0}f_{\psi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$

$${\displaystyle \prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}}$$

${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle \psi ^{5}=1}$ ${\displaystyle f_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi ^{5}=1}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle [\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]}$$

$${\displaystyle \mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}}$$

${\displaystyle \mu _{5}=e^{2\pi i/5}}$

$${\displaystyle [\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]}$$

${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle (\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1}$ ${\displaystyle \psi =1}$

Otros ejemplos

• Barth-Nieto Quintic
• Quíntica de Consani-Scholten

Curvas en un triple quíntico.

El cálculo del número de curvas racionales de grado se puede calcular explícitamente utilizando el cálculo de Schubert . Sea el paquete de vectores de rango en el plano Grassmanniano en algún espacio vectorial de rango. Proyectar a da al Grassmanniano proyectivo de grado 1 líneas y desciende a un paquete de vectores en este Grassmanniano proyectivo. Su clase total de chern es ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G(2,5)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle G(2,5)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle T^{*}}$

$${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$$

ring de Chow^[5] ${\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))}$ ${\displaystyle l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})}$ ${\displaystyle {\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875}$$

principio de división

$${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}}$$

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$

$${\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})}$$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})}$

$${\displaystyle c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )}$$

clase de Euler

$${\displaystyle 5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=325\sigma _{2,2}(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}}$

Curvas racionales

Herbert Clemens  (1984) conjeturó que el número de curvas racionales de un grado dado en una triple quíntica genérica es finita. (Algunas tripletas quínticas suaves pero no genéricas tienen infinitas familias de líneas). Esto fue verificado para grados hasta 7 por Sheldon Katz  (1986), quien también calculó el número 609250 de curvas racionales de grado 2. Philip Candelas , Xenia C. de la Ossa y Paul S. Green et al. (1991) conjeturaron una fórmula general para el número virtual de curvas racionales de cualquier grado, que fue probada por Givental (1996) (el hecho de que el número virtual sea igual al número real depende de la confirmación de la conjetura de Clemens, actualmente conocida por el grado en la mayoría 11 Cotterill (2012)). El número de curvas racionales de varios grados en una quíntica genérica triple viene dado por

2875, 609250, 317206375, 242467530000, ...(secuencia A076912 en el OEIS ).

Dado que el triple quíntico genérico es un triple de Calabi-Yau y el espacio de módulos de las curvas racionales de un grado dado es un conjunto discreto y finito (por lo tanto, compacto), estos tienen invariantes de Donaldson-Thomas bien definidos (el "número virtual de puntos" ); al menos para los grados 1 y 2, estos coinciden con el número real de puntos.

Ver también

• Geometría enumerativa

• Simetría especular (teoría de cuerdas)
• Invariante de Gromov-Witten
• Ideal jacobiano : proporciona una base explícita para la descomposición de Hodge
• Teoría de la deformación
• estructura de hodge
• Cálculo de Schubert : técnicas para determinar el número de líneas en un triple quíntico

Referencias

1. Robbert Dijkgraaf (29 de marzo de 2015). "La irrazonable eficacia de la física cuántica en las matemáticas modernas". youtube.com . Trev M. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2021 . Consultado el 10 de septiembre de 2015 .ver 29 minutos 57 segundos
2. Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991). "Líneas sobre la triple quíntica de Fermat y la conjetura de Hodge generalizada infinitesimal". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 324 (1): 353–368. doi : 10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6 . ISSN  0002-9947.
3. Candelas, Felipe; De La Ossa, Xenia C.; Verde, Paul S.; Parkes, Linda (29 de julio de 1991). "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconformal exactamente soluble". Física Nuclear B. 359 (1): 21–74. Código bibliográfico : 1991NuPhB.359...21C. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN  0550-3213.
4. Bruto, Mark; Huybrechts, Daniel; Joyce, Dominic (2003). Ellingsrud, Geir; Olson, Loren; Ranestad, Kristian; Stromme, Stein A. (eds.). Colectores de Calabi-Yau y geometrías relacionadas: conferencias en una escuela de verano en Nordfjordeid, Noruega, junio de 2001. Universitext. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. págs. 123-125. ISBN 978-3-540-44059-8.
5. Katz, Sheldon. Geometría enumerativa y teoría de cuerdas . pag. 108.

• Arapura, Donu, "Cálculo de algunos números de Hodge" (PDF)
• Candelas, Felipe; de la Ossa, Xenia C.; Verde, Paul S.; Parkes, Linda (1991), "Un par de variedades de Calabi-Yau como una teoría superconformal exactamente soluble", Nuclear Physics B , 359 (1): 21–74, Bibcode :1991NuPhB.359...21C, doi :10.1016/ 0550-3213(91)90292-6, SEÑOR  1115626
• Clemens, Herbert (1984), "Algunos resultados sobre las asignaciones de Abel-Jacobi", Temas de geometría algebraica trascendental (Princeton, Nueva Jersey, 1981/1982) , Ann. de Matemáticas. Stud., vol. 106, Princeton University Press , págs. 289–304, SEÑOR  0756858
• Cotterill, Ethan (2012), "Curvas racionales de grado 11 en una quíntica general triple", The Quarterly Journal of Mathematics , 63 (3): 539–568, doi :10.1093/qmath/har001, MR  2967162
• Cox, David A .; Katz, Sheldon (1999), Simetría especular y geometría algebraica, Estudios y monografías matemáticas, vol. 68, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1059-0, señor  1677117
• Givental, Alexander B. (1996), "Invariantes equivalentes de Gromov-Witten", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 1996 (13): 613–663, doi : 10.1155/S1073792896000414 , SEÑOR  1408320
• Katz, Sheldon (1986), "Sobre la finitud de las curvas racionales en triples quínticos", Compositio Mathematica , 60 (2): 151–162, SEÑOR  0868135
• Pandharipande, Rahul (1998), "Curvas racionales en hipersuperficies (según A. Givental)", Astérisque , 1997/98 (252): 307–340, arXiv : math/9806133 , Bibcode :1998math......6133P, Señor  1685628