Fórmula de adjunción

En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas , la fórmula de adjunción relaciona el fibrado canónico de una variedad y una hipersuperficie dentro de esa variedad. Se utiliza a menudo para deducir hechos sobre variedades insertas en espacios con buen comportamiento, como el espacio proyectivo , o para demostrar teoremas por inducción.

Adjunto para variedades lisas

Fórmula para una subvariedad suave

Sea X una variedad algebraica suave o variedad compleja suave e Y una subvariedad suave de X. Denotemos la función de inclusión Y → X por i y el haz ideal de Y en X por . La sucesión exacta conormal para i es ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0,}$

donde Ω denota un fibrado cotangente . El determinante de esta sucesión exacta es un isomorfismo natural.

${\displaystyle \omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee },}$

donde denota el dual de un fibrado lineal. ${\displaystyle \vee }$

El caso particular de un divisor suave

Supóngase que D es un divisor liso en X . Su fibrado normal se extiende a un fibrado lineal en X , y el haz ideal de D corresponde a su dual . El fibrado conormal es , que, combinado con la fórmula anterior, da ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

En términos de clases canónicas, esto dice que

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

Ambas fórmulas se denominan fórmula de adjunción .

Ejemplos

Hipersuperficies de grado d

Dada una hipersuperficie de grado suave , podemos calcular sus fibrados canónicos y anticanónicos utilizando la fórmula de adjunción. Esto se lee como ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d)}$

que es isomorfo a . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)}$

Intersecciones completas

Para una intersección completa y suave de grados , el fibrado conormal es isomorfo a , por lo que el fibrado determinante es y su dual es , mostrando ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}$

${\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2}).}$

Esto se generaliza de la misma manera para todas las intersecciones completas.

Curvas en una superficie cuadrática

${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$se incrusta en como una superficie cuadrática dada por el lugar geométrico de desaparición de un polinomio cuadrático que proviene de una matriz simétrica no singular. ^[1] Podemos entonces restringir nuestra atención a las curvas en . Podemos calcular el fibrado cotangente de utilizando la suma directa de los fibrados cotangentes en cada , por lo que es . Entonces, el haz canónico está dado por , que se puede encontrar utilizando la descomposición de cuñas de sumas directas de fibrados vectoriales. Luego, utilizando la fórmula de adjunción, una curva definida por el lugar geométrico de desaparición de una sección , se puede calcular como ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,-2)}$ ${\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))}$

${\displaystyle \omega _{C}\,\cong \,{\mathcal {O}}(-2,-2)\otimes {\mathcal {O}}_{C}(a,b)\,\cong \,{\mathcal {O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).}$

Residuo de Poincaré

La función de restricción se denomina residuo de Poincaré . Supóngase que X es una variedad compleja. Entonces, en secciones, el residuo de Poincaré se puede expresar de la siguiente manera. Fijemos un conjunto abierto U en el que D esté dado por la desaparición de una función f . Cualquier sección sobre U de se puede escribir como s / f , donde s es una función holomorfa sobre U. Sea η una sección sobre U de ω _X. El residuo de Poincaré es la función ${\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

${\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},}$

es decir, se forma aplicando el campo vectorial ∂/∂ f a la forma de volumen η, luego multiplicando por la función holomorfa s . Si U admite coordenadas locales z ₁ , ..., z _n tales que para algún i , ∂ f /∂ z _i ≠ 0 , entonces esto también se puede expresar como

${\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.}$

Otra forma de ver el residuo de Poincaré primero reinterpreta la fórmula de adjunción como un isomorfismo.

${\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}$

En un conjunto abierto U como antes, una sección de es el producto de una función holomorfa s con la forma df / f . El residuo de Poincaré es la función que toma el producto de cuña de una sección de ω _D y una sección de . ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$ ${\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}$

Inversión de adjunción

La fórmula de adjunción es falsa cuando la sucesión exacta conormal no es una sucesión exacta corta. Sin embargo, es posible utilizar esta falla para relacionar las singularidades de X con las singularidades de D. Los teoremas de este tipo se denominan inversión de adjunción y son una herramienta importante en la geometría birracional moderna.

El divisor canónico de una curva plana

Sea una curva plana suave cortada por un polinomio homogéneo de grado . Afirmamos que el divisor canónico es donde es el divisor del hiperplano. ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F(X,Y,Z)}$ ${\displaystyle K=(d-3)[C\cap H]}$ ${\displaystyle H}$

Primer trabajo en el diagrama afín . La ecuación se convierte en donde y . Calcularemos explícitamente el divisor de la diferencial ${\displaystyle Z\neq 0}$ ${\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}$ ${\displaystyle x=X/Z}$ ${\displaystyle y=Y/Z}$

${\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.}$

En cualquier punto, o bien so es un parámetro local o bien so es un parámetro local. En ambos casos, el orden de desaparición de en el punto es cero. Por lo tanto, todas las contribuciones al divisor están en la línea en el infinito, . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}$ ${\displaystyle y-y_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\text{div}}(\omega )}$ ${\displaystyle Z=0}$

Ahora mira la recta . Supón que basta con mirar el gráfico con coordenadas y . La ecuación de la curva se convierte en ${\displaystyle {Z=0}}$ ${\displaystyle [1,0,0]\not \in C}$ ${\displaystyle Y\neq 0}$ ${\displaystyle u=1/y}$ ${\displaystyle v=x/y}$

${\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}$

Por eso

${\displaystyle \partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}}$

entonces

${\displaystyle \omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {du}{\partial g/\partial v}}}$

con orden de desaparición . Por lo tanto, concuerda con la fórmula de adjunción. ${\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}$ ${\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)[C\cap \{Z=0\}]}$

Aplicaciones a curvas

La fórmula de género-grado para curvas planas se puede deducir de la fórmula de adjunción. ^[2] Sea C  ⊂  P ² una curva plana suave de grado d y género g . Sea H la clase de un hiperplano en P ² , es decir, la clase de una línea. La clase canónica de P ² es −3 H . En consecuencia, la fórmula de adjunción dice que la restricción de ( d − 3) H a C es igual a la clase canónica de C . Esta restricción es la misma que el producto de intersección ( d − 3) H ⋅ dH restringido a C , y por lo tanto el grado de la clase canónica de C es d ( d −3) . Por el teorema de Riemann-Roch , g − 1 = ( d −3) d − g + 1 , lo que implica la fórmula

${\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).}$

De manera similar, ^[3] si C es una curva suave en la superficie cuádrica P ¹ × P ¹ con bigrado ( d ₁ , d ₂ ) (lo que significa que d ₁ , d ₂ son sus grados de intersección con una fibra de cada proyección a P ¹ ), dado que la clase canónica de P ¹ × P ¹ tiene bigrado (−2,−2), la fórmula de adjunción muestra que la clase canónica de C es el producto de intersección de divisores de bigrados ( d ₁ , d ₂ ) y ( d ₁ −2, d ₂ −2). La forma de intersección en P ¹ × P ¹ es por definición del bigrado y por bilinealidad, por lo que al aplicar Riemann–Roch se obtiene o ${\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}$ ${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)}$

${\displaystyle g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.}$

El género de una curva C que es la intersección completa de dos superficies D y E en P ³ también se puede calcular utilizando la fórmula de adjunción. Supóngase que d y e son los grados de D y E , respectivamente. Aplicando la fórmula de adjunción a D se muestra que su divisor canónico es ( d − 4) H | _D , que es el producto de intersección de ( d − 4) H y D . Haciendo esto de nuevo con E , lo cual es posible porque C es una intersección completa, se muestra que el divisor canónico C es el producto ( d + e − 4) H ⋅ dH ⋅ eH , es decir, tiene grado de ( d + e − 4) . Por el teorema de Riemann-Roch, esto implica que el género de C es

${\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}$

De manera más general, si C es la intersección completa de n − 1 hipersuperficies D ₁ , ..., D _{n − 1} de grados d ₁ , ..., d _{n − 1} en P ⁿ , entonces un cálculo inductivo muestra que la clase canónica de C es . El teorema de Riemann-Roch implica que el género de esta curva es ${\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}$

${\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}$

En topología de baja dimensión

Sea S una superficie compleja (en particular una variedad de 4 dimensiones) y sea una curva compleja conexa suave (no singular). Entonces ^[4] ${\displaystyle C\to S}$

${\displaystyle 2g(C)-2=[C]^{2}-c_{1}(S)[C]}$

donde es el género de C , denota las autointersecciones y denota el apareamiento de Kronecker . ${\displaystyle g(C)}$ ${\displaystyle [C]^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(S)[C]}$ ${\displaystyle <c_{1}(S),[C]>}$

Véase también

• Forma logarítmica
• Residuos de Poincaré
• Conjetura de Thom

Referencias

1. Zhang, Ziyu. "10. Superficies algebraicas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11 de febrero de 2020.
2. Hartshorne, capítulo V, ejemplo 1.5.1
3. Hartshorne, capítulo V, ejemplo 1.5.2
4. Gompf, Stipsicz, Teorema 1.4.17

• Teoría de intersecciones 2da edición, William Fulton, Springer, ISBN 0-387-98549-2 , Ejemplo 3.2.12. 
• Principios de geometría algebraica , Griffiths y Harris, Biblioteca de clásicos Wiley, ISBN 0-471-05059-8 pp 146–147. 
• Geometría algebraica , Robin Hartshorne , Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9 , Proposición II.8.20.