Ideal jacobiano

En matemáticas el ideal jacobiano o ideal de gradiente es el ideal generado por el jacobiano de una función o germen de función . Sea el anillo de funciones suaves en variables y una función en el anillo. El ideal jacobiano de es ${\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización f}$

J_{f}:=\left\langle {\frac {\parcial f}{\parcial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\parcial f}{\parcial x_{n}}}\right\rangle .

Relación con la teoría de la deformación

En la teoría de la deformación , las deformaciones de una hipersuperficie dada por un polinomio se clasifican mediante el anillo. Esto se muestra utilizando el mapa de Kodaira-Spencer . ${\estilo de visualización f}$ ${\frac {\mathbb {C}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f)+J_{f}}}.$

Relación con la teoría de Hodge

En la teoría de Hodge, existen objetos denominados estructuras de Hodge reales , que son los datos de un espacio vectorial real y una filtración creciente de estructuras de compatibilidad que satisfacen una lista. Para una variedad proyectiva suave existe una estructura de Hodge canónica. $H_{\mathbb {R}$ $F^{\bullet}$ $H_{\mathbb {C}}=H_{\mathbb {R}}\otimes _{\mathbb {R}}\mathbb {C}$ ${\estilo de visualización X}$

Declaración para hipersuperficies de grado d

En el caso especial que se define por un polinomio de grado homogéneo , esta estructura de Hodge se puede entender completamente a partir del ideal jacobiano. Para sus partes graduadas, esto se da por la función ^[1] que es sobreyectiva en la cohomología primitiva, denotada por y tiene el núcleo . Nótese que las clases de cohomología primitiva son las clases de las cuales no provienen de , que es simplemente la clase Lefschetz . ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización d}$ $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))$ $\mathbb {C} [Z_{0},\ldots ,Z_{n}]^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}$ ${\text{Prim}}^{p,n-p}(X)$ $J_{f}$ $X$ $\mathbb {P} ^{n+1}$ $[L]^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}$

Bosquejo de la prueba

Mapa de reducción a residuos

Porque hay una secuencia corta exacta asociada de complejos donde el complejo del medio es el complejo de haces de formas logarítmicas y la función de la derecha es la función de residuos . Esto tiene una secuencia larga exacta asociada en cohomología. Del teorema del hiperplano de Lefschetz solo hay un grupo de cohomología interesante de , que es . De la secuencia larga exacta de esta secuencia corta exacta, hay la función de residuos inducida donde el lado derecho es igual a , que es isomorfa a . Además, hay un isomorfismo A través de estos isomorfismos hay una función de residuos inducida que es inyectiva y sobreyectiva en cohomología primitiva. Además, existe la descomposición de Hodge y . $X\subset \mathbb {P} ^{n+1}$ $0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }[-1]\to 0$ $X$ $H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })$ $\mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])$ $\mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })$ $\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })$ $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)$ $res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )$ $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))$ $H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)$

Cálculo del grupo de cohomología de De Rham

Resulta que el grupo de cohomología de De Rham es mucho más manejable y tiene una descripción explícita en términos de polinomios. La parte está abarcada por las formas meromórficas que tienen polos de orden que sobreyectan sobre la parte de . Esto proviene del isomorfismo de reducción. Usando la forma canónica en donde denota la eliminación del índice, estas formas diferenciales meromórficas se ven como donde Finalmente, resulta que el núcleo ^[1]^{del Lema 8.11} es de todos los polinomios de la forma donde . Nótese que la identidad de Euler muestra . $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)$ $F^{p}$ $\leq n-p+1$ $F^{p}$ ${\text{Prim}}^{n}(X)$ $F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}$ $(n+1)$ $\Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}$ $\mathbb {P} ^{n+1}$ ${\hat {dZ_{j}}}$ ${\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega$ ${\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}$ $A'+fB$ $A'\in J_{f}$ $f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}$ $f\in J_{f}$

Referencias

^ de José Bertin (2002). Introducción a la teoría de Hodge . Providence, RI: American Mathematical Society . pp. 199–205. ISBN. 0-8218-2040-0.OCLC 48892689 .