La simetría especular homológica es una conjetura matemática realizada por Maxim Kontsevich . Busca una explicación matemática sistemática para un fenómeno llamado simetría especular observado por primera vez por los físicos que estudian la teoría de cuerdas .
En un discurso ante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zurich , Kontsevich (1994) especuló que la simetría especular para un par de variedades Calabi-Yau X e Y podría explicarse como una equivalencia de una categoría triangulada construida a partir de la geometría algebraica de X ( la categoría derivada de gavillas coherentes en X ) y otra categoría triangulada construida a partir de la geometría simpléctica de Y (la categoría derivada de Fukaya ).
Edward Witten describió originalmente la torsión topológica de la teoría de campos supersimétricos N = (2,2) en lo que llamó teorías topológicas de cuerdas de los modelos A y B [ cita requerida ] . Estos modelos se refieren a mapas de superficies de Riemann a un objetivo fijo, generalmente una variedad Calabi-Yau. La mayoría de las predicciones matemáticas de la simetría especular están integradas en la equivalencia física del modelo A en Y con el modelo B en su espejo X. Cuando las superficies de Riemann tienen límites vacíos, representan las hojas de mundo de cuerdas cerradas. Para cubrir el caso de cuerdas abiertas, se deben introducir condiciones de contorno para preservar la supersimetría. En el modelo A, estas condiciones de contorno se presentan en forma de subvariedades lagrangianas de Y con alguna estructura adicional (a menudo llamada estructura de brana). En el modelo B, las condiciones de contorno vienen en forma de subvariedades holomorfas (o algebraicas) de X con haces de vectores holomorfos (o algebraicos). Estos son los objetos que se utilizan para construir las categorías relevantes [ cita necesaria ] . A menudo se les llama branas A y B respectivamente. Los morfismos en las categorías vienen dados por el espectro sin masa de cuerdas abiertas que se extienden entre dos branas [ cita requerida ] .
Los modelos de cuerdas cerradas A y B sólo capturan el llamado sector topológico, una pequeña porción de la teoría de cuerdas completa. De manera similar, las branas en estos modelos son solo aproximaciones topológicas a los objetos dinámicos completos que son D-branas . Aun así, las matemáticas resultantes de este pequeño fragmento de teoría de cuerdas han sido a la vez profundas y difíciles.
La Escuela de Matemáticas del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton dedicó un año entero a la Simetría del Espejo Homológico durante el año académico 2016-17. Entre los participantes se encontraban Paul Seidel del MIT , Maxim Kontsevich del IHÉS y Denis Auroux, de la UC Berkeley . [1]
Sólo en unos pocos ejemplos los matemáticos han podido verificar la conjetura. En su discurso fundamental, Kontsevich comentó que la conjetura podría probarse en el caso de curvas elípticas utilizando funciones theta . Siguiendo esta ruta, Alexander Polishchuk y Eric Zaslow proporcionaron una prueba de una versión de la conjetura de las curvas elípticas. Kenji Fukaya pudo establecer elementos de la conjetura para las variedades abelianas . Más tarde, Kontsevich y Yan Soibelman proporcionaron una prueba de la mayoría de la conjetura para haces de toros no singulares sobre variedades afines utilizando ideas de la conjetura SYZ . En 2003, Paul Seidel demostró la conjetura en el caso de la superficie cuártica . En 2002, Hausel y Thaddeus (2002) explicaron la conjetura SYZ en el contexto del sistema Hitchin y la dualidad de Langlands.
Las dimensiones h p , q de espacios de formas diferenciales armónicas ( p , q ) (equivalentemente, la cohomología, es decir, formas cerradas módulo formas exactas) están dispuestas convencionalmente en forma de diamante llamado diamante de Hodge . Estos números (p,q)-Betti se pueden calcular para intersecciones completas utilizando una función generadora descrita por Friedrich Hirzebruch . [2] [3] [4] Para una variedad tridimensional, por ejemplo, el diamante de Hodge tiene p y q que van de 0 a 3:
La simetría especular traduce el número de dimensión de la (p, q)-ésima forma diferencial h p , q para la variedad original en h n-p , q de la de la variedad del par de contadores. Es decir, para cualquier variedad Calabi-Yau, el diamante Hodge no cambia mediante una rotación de π radianes y los diamantes Hodge de las variedades espejo Calabi-Yau están relacionados mediante una rotación de π/2 radianes.
En el caso de una curva elíptica , que se ve como una variedad Calabi-Yau unidimensional, el diamante de Hodge es especialmente simple: es la siguiente figura.
En el caso de una superficie K3 , que se ve como una variedad Calabi-Yau bidimensional, dado que los números de Betti son {1, 0, 22, 0, 1}, su diamante de Hodge es la siguiente figura.
En el caso tridimensional, habitualmente llamado variedad Calabi-Yau , sucede algo muy interesante. A veces hay pares de espejos, digamos M y W , que tienen diamantes de Hodge simétricos entre sí a lo largo de una línea diagonal.
Diamante M :
Diamante de W :
M y W corresponden a los modelos A y B en teoría de cuerdas. La simetría especular no sólo reemplaza las dimensiones homológicas sino también la estructura simpléctica y la estructura compleja de los pares de espejos. Ese es el origen de la simetría especular homológica.
En 1990-1991, Candelas et al. 1991 tuvo un gran impacto no sólo en la geometría algebraica enumerativa sino en toda la matemática y motivó a Kontsevich (1994). El par especular de dos triples quínticos en este artículo tiene los siguientes diamantes Hodge.