La simetría especular homológica es una conjetura matemática formulada por Maxim Kontsevich . Busca una explicación matemática sistemática para un fenómeno llamado simetría especular observado por primera vez por físicos que estudiaban la teoría de cuerdas .
En un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zúrich , Kontsevich (1994) especuló que la simetría especular para un par de variedades de Calabi-Yau X e Y podría explicarse como una equivalencia de una categoría triangulada construida a partir de la geometría algebraica de X (la categoría derivada de haces coherentes en X ) y otra categoría triangulada construida a partir de la geometría simpléctica de Y (la categoría derivada de Fukaya ).
Edward Witten describió originalmente la torsión topológica de la teoría de campos supersimétricos N=(2,2) en lo que llamó las teorías de cuerdas topológicas del modelo A y B [ cita requerida ] . Estos modelos se refieren a aplicaciones de superficies de Riemann en un objetivo fijo, generalmente una variedad de Calabi-Yau. La mayoría de las predicciones matemáticas de simetría especular están integradas en la equivalencia física del modelo A en Y con el modelo B en su espejo X . Cuando las superficies de Riemann tienen un borde vacío, representan las capas del mundo de cuerdas cerradas. Para cubrir el caso de cuerdas abiertas, uno debe introducir condiciones de borde para preservar la supersimetría. En el modelo A, estas condiciones de borde vienen en forma de subvariedades lagrangianas de Y con alguna estructura adicional (a menudo llamada estructura de brana). En el modelo B, las condiciones de borde vienen en forma de subvariedades holomorfas (o algebraicas) de X con fibrados vectoriales holomorfas (o algebraicas) en ellas. Estos son los objetos que se utilizan para construir las categorías relevantes [ cita requerida ] . A menudo se las llama branas A y B respectivamente. Los morfismos en las categorías están dados por el espectro sin masa de cuerdas abiertas que se extienden entre dos branas [ cita requerida ] .
Los modelos de cuerdas cerradas A y B solo captan el llamado sector topológico, una pequeña porción de la teoría de cuerdas completa. De manera similar, las branas en estos modelos son solo aproximaciones topológicas a los objetos dinámicos completos que son D-branas . Aun así, las matemáticas resultantes de esta pequeña parte de la teoría de cuerdas han sido a la vez profundas y difíciles.
La Escuela de Matemáticas del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton dedicó un año entero a la simetría especular homológica durante el año académico 2016-17. Entre los participantes se encontraban Paul Seidel del MIT , Maxim Kontsevich del IHÉS y Denis Auroux, de la UC Berkeley . [1]
Solo en unos pocos ejemplos los matemáticos han podido verificar la conjetura. En su discurso seminal, Kontsevich comentó que la conjetura podría probarse en el caso de curvas elípticas usando funciones theta . Siguiendo esta ruta, Alexander Polishchuk y Eric Zaslow proporcionaron una prueba de una versión de la conjetura para curvas elípticas. Kenji Fukaya pudo establecer elementos de la conjetura para variedades abelianas . Más tarde, Kontsevich y Yan Soibelman proporcionaron una prueba de la mayoría de la conjetura para fibrados de toros no singulares sobre variedades afines usando ideas de la conjetura SYZ . En 2003, Paul Seidel demostró la conjetura en el caso de la superficie cuártica . En 2002, Hausel y Thaddeus (2002) explicaron la conjetura SYZ en el contexto del sistema de Hitchin y la dualidad de Langlands.
Las dimensiones h p , q de los espacios de formas diferenciales armónicas ( p , q ) (equivalentemente, la cohomología, es decir, formas cerradas módulo formas exactas) se organizan convencionalmente en una forma de diamante llamada diamante de Hodge . Estos números (p,q)-Betti se pueden calcular para intersecciones completas utilizando una función generadora descrita por Friedrich Hirzebruch . [2] [3] [4] Para una variedad tridimensional, por ejemplo, el diamante de Hodge tiene p y q que van de 0 a 3:
La simetría especular traduce el número de dimensión de la (p, q)-ésima forma diferencial h p , q para la variedad original en h n-p , q de la variedad de pares de contadores. Es decir, para cualquier variedad de Calabi–Yau el diamante de Hodge no cambia con una rotación de π radianes y los diamantes de Hodge de las variedades especulares de Calabi–Yau están relacionados con una rotación de π/2 radianes.
En el caso de una curva elíptica , que se considera una variedad de Calabi-Yau unidimensional, el diamante de Hodge es especialmente simple: es la siguiente figura.
En el caso de una superficie K3 , que se considera una variedad de Calabi-Yau bidimensional, dado que los números de Betti son {1, 0, 22, 0, 1}, su diamante de Hodge es la siguiente figura.
En el caso tridimensional, generalmente llamado variedad de Calabi-Yau , sucede algo muy interesante. A veces hay pares de espejos, por ejemplo M y W , que tienen rombos de Hodge simétricos entre sí a lo largo de una línea diagonal.
El diamante de M :
El diamante de W :
M y W corresponden a los modelos A y B de la teoría de cuerdas. La simetría especular no sólo reemplaza las dimensiones homológicas, sino también la estructura simpléctica y la estructura compleja en los pares especulares. Ese es el origen de la simetría especular homológica.
En 1990-1991, Candelas et al. 1991 tuvo un gran impacto no sólo en la geometría algebraica enumerativa sino en las matemáticas en general y motivó a Kontsevich (1994). El par de espejos de dos ternas quínticas en este artículo tienen los siguientes diamantes de Hodge.