variedad afín

En geometría diferencial , un colector afín es un colector diferenciable equipado con una conexión plana y sin torsión .

De manera equivalente, es una variedad que está (si está conectada) cubierta por un subconjunto abierto de , con monodromía actuando mediante transformaciones afines . Esta equivalencia es un corolario fácil del teorema de Cartan-Ambrose-Hicks . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

De manera equivalente, es una variedad equipada con un atlas, llamado estructura afín , de modo que todas las funciones de transición entre gráficos son transformaciones afines (es decir, tienen una matriz jacobiana constante); ^[1] dos atlas son equivalentes si la variedad admite un atlas subordinado a ambos, siendo afines las transiciones de ambos atlas a un atlas más pequeño. Una variedad que tiene una estructura afín distinguida se llama variedad afín y los gráficos que están relacionados afínmente con los de la estructura afín se llaman gráficos afines . En cada dominio de coordenadas afines, los campos de vectores de coordenadas forman una paralelización de ese dominio, por lo que hay una conexión asociada en cada dominio. Estas conexiones definidas localmente son las mismas en partes superpuestas, por lo que hay una conexión única asociada con una estructura afín. Tenga en cuenta que existe un vínculo entre una conexión lineal (también llamada conexión afín ) y una red .

Definicion formal

Una variedad afín es una variedad real con gráficos tales que para todos donde denota el grupo de Lie de transformaciones afines. En palabras más elegantes, es una variedad (G,X) donde y es el grupo de transformaciones afines. ${\displaystyle M\,}$ ${\displaystyle \psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\in \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle i,j\,,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$

Una variedad afín se llama completa si su cobertura universal es homeomorfa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

En el caso de una variedad afín compacta , sea el grupo fundamental de y su cubierta universal . Se puede demostrar que cada variedad afín dimensional viene con un mapa en desarrollo y un homomorfismo , tal que es una inmersión y equivariante con respecto a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \varphi }$

Un grupo fundamental de una variedad afín plana completa compacta se llama grupo cristalográfico afín . La clasificación de grupos cristalográficos afines es un problema difícil, lejos de estar resuelto. Los grupos cristalográficos riemannianos (también conocidos como grupos de Bieberbach ) fueron clasificados por Ludwig Bieberbach , respondiendo a una pregunta planteada por David Hilbert . En su trabajo sobre el problema número 18 de Hilbert , Bieberbach demostró que cualquier grupo cristalográfico de Riemann contiene un subgrupo abeliano de índice finito.

Conjeturas importantes de larga data

La geometría de variedades afines es esencialmente una red de conjeturas de larga data; la mayoría de ellos probados en dimensiones bajas y algunos otros casos especiales.

Los más importantes de ellos son:

• Conjetura de Markus (1962) que establece que una variedad afín compacta es completa si y sólo si tiene volumen paralelo. Conocido en la dimensión 2.
• Conjetura de Auslander (1964) ^{[2] [3]} que establece que cualquier grupo cristalográfico afín contiene un subgrupo policíclico de índice finito . Conocido en dimensiones hasta 6, ^[4] y cuando la holonomía de la conexión plana conserva una métrica de Lorentz . ^[5] Dado que cada grupo cristalográfico prácticamente policíclico conserva una forma de volumen, la conjetura de Auslander implica la parte "sólo si" de la conjetura de Markus. ^[6]
• Conjetura de Chern (1955) La clase de Euler de una variedad afín desaparece. ^[7]

Notas

1. Bishop y Goldberg 1968, págs. 223-224.
2. Auslander, Louis (1964). "La estructura de variedades afines localmente completas". Topología . 3 (Suplemento 1): 131–139. doi : 10.1016/0040-9383(64)90012-6 .
3. Frito, Davis; Goldman, William M. (1983). "Grupos cristalográficos afines tridimensionales". Avances en Matemáticas . 47 (1): 1–49. doi : 10.1016/0001-8708(83)90053-1 .
4. Abels, Herbert; Margulis, Grigori A.; Soifer, Grigori A. (2002). "Sobre el cierre de Zariski de la parte lineal de un grupo propiamente discontinuo de transformaciones afines". Revista de Geometría Diferencial . 60 : 315–344. doi : 10.4310/jdg/1090351104 .
5. Goldman, William M.; Kamishima, Yoshinobu (1984). "El grupo fundamental de una forma espacial plana compacta de Lorentz es prácticamente policíclico". Revista de Geometría Diferencial . 19 (1): 233–240. doi : 10.4310/jdg/1214438430 .
6. Abels, Herbert (2001). "Grupos propiamente discontinuos de transformaciones afines: una encuesta". Geometriae Dedicata . 87 : 309–333. doi : 10.1023/A:1012019004745 .
7. Kostant, Bertram ; Sullivan, Dennis (1975). "La característica de Euler de una forma de espacio afín es cero". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 81 (5): 937–938. doi : 10.1090/S0002-9904-1975-13896-1 .

Referencias

• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, Takeshi (1994), Geometría diferencial afín , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44177-3
• Sharpe, Richard W. (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Obispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968). Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover, 1980). La Compañía Macmillan. ISBN 0-486-64039-6.