Cubriendo el espacio

Tipo de mapa continuo en topología

Intuitivamente, una cubierta proyecta localmente una "pila de panqueques" sobre un vecindario abierto . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

En topología , una cobertura o proyección de cobertura es un mapa entre espacios topológicos que, intuitivamente, actúa localmente como una proyección de múltiples copias de un espacio sobre sí mismo. En particular, las coberturas son tipos especiales de homeomorfismos locales . Si es una cobertura, se dice que es un espacio de cobertura o cobertura de , y se dice que es la base de la cobertura , o simplemente la base . Por abuso de la terminología , y a veces también pueden llamarse espacios de cobertura . Dado que las coberturas son homeomorfismos locales, un espacio de cobertura es un tipo especial de espacio étale . ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle ({\tilde {X}},p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle p}$

Los espacios de cobertura surgieron por primera vez en el contexto del análisis complejo (específicamente, la técnica de continuación analítica ), donde fueron introducidos por Riemann como dominios en los que las funciones complejas naturalmente multivaluadas se vuelven univaluadas. Estos espacios ahora se denominan superficies de Riemann . ^{[1] : 10}

Los espacios de recubrimiento son una herramienta importante en varias áreas de las matemáticas. En la geometría moderna , los espacios de recubrimiento (o recubrimientos ramificados , que tienen condiciones ligeramente más débiles) se utilizan en la construcción de variedades , orbifolds y los morfismos entre ellos. En la topología algebraica , los espacios de recubrimiento están estrechamente relacionados con el grupo fundamental : por un lado, dado que todos los recubrimientos tienen la propiedad de elevación de homotopía , los espacios de recubrimiento son una herramienta importante en el cálculo de grupos de homotopía . Un ejemplo estándar en esta línea es el cálculo del grupo fundamental del círculo por medio del recubrimiento de por (ver más abajo). ^{[2] : 29} Bajo ciertas condiciones, los espacios de recubrimiento también exhiben una correspondencia de Galois con los subgrupos del grupo fundamental. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición

Sea un espacio topológico. Una cubierta de es una función continua ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

tal que para cada existe un entorno abierto de y un espacio discreto tal que y es un homeomorfismo para cada . Los conjuntos abiertos se llaman láminas , que están unívocamente determinadas hasta el homeomorfismo si es conexo . ^{[2] : 56} Para cada el conjunto discreto se llama fibra de . Si es conexo (y no está vacío), se puede demostrar que es sobreyectiva , y la cardinalidad de es la misma para todos ; este valor se llama grado de la cobertura. Si es conexo por caminos , entonces la cobertura se llama cobertura conexa por caminos . Esta definición es equivalente a la afirmación de que es un fibrado de fibras localmente trivial . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$ ${\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}}$ ${\displaystyle d\in D_{x}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi }$

Algunos autores también exigen que sea sobreyectiva en el caso que no sea conexa. ^[3] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

• Para cada espacio topológico , la función identidad es una cobertura. De la misma manera, para cualquier espacio discreto, la proyección que toma es una cobertura. Las coberturas de este tipo se denominan coberturas triviales ; si tiene un número finito de elementos (por ejemplo ), la cobertura se denomina cobertura trivial en láminas de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X}$ ${\displaystyle (x,i)\mapsto x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

El espacio es un espacio de cobertura de . Los conjuntos abiertos disjuntos se mapean homeomórficamente sobre . La fibra de consta de los puntos . ${\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{i}}$

• La función con es una cobertura del círculo unitario . La base de la cobertura es y el espacio de cobertura es . Para cualquier punto tal que , el conjunto es un entorno abierto de . La preimagen de bajo es ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ ${\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)}$

y las láminas de la cubierta son para La fibra de es ${\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.}$

• Otra cobertura del círculo unitario es el mapa con para algún Para un vecindario abierto de un , se tiene: ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in S^{1}}$

${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$.

• Una función que es un homeomorfismo local pero no un recubrimiento del círculo unitario es con . Existe una hoja de un entorno abierto de , que no está representada homeomorfamente sobre . ${\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$ ${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle U}$

Propiedades

Homeomorfismo local

Dado que una aplicación de recubrimiento mapea cada uno de los conjuntos abiertos disjuntos de homeomorfizadamente sobre él, es un homeomorfismo local, es decir, es una aplicación continua y para cada existe un vecindario abierto de , tal que es un homeomorfismo. ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$

De ello se deduce que el espacio de cobertura y el espacio base comparten localmente las mismas propiedades. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• Si es una variedad conexa y no orientable , entonces existe un recubrimiento de grado , por lo que es una variedad conexa y orientable. ^{[2] : 234} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Si es un grupo de Lie conexo , entonces hay una cubierta que también es un homomorfismo de grupo de Lie y es un grupo de Lie. ^{[4] : 174} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}}$
• Si es un grafo , entonces se sigue para una cubierta que también es un grafo. ^{[2] : 85} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle E}$
• Si es una variedad conexa , entonces existe una cobertura , por lo que es una variedad conexa y simplemente conexa . ^{[5] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Si es una superficie de Riemann conexa , entonces hay una cubierta que también es una función holomorfa ^{[5] : 22} y es una superficie de Riemann conexa y simplemente conexa. ^{[5] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Factorización

Sean y espacios conexos por trayectorias, conexos por trayectorias localmente, y y mapas continuos, tales que el diagrama ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle r}$

desplazamientos diarios.

• Si y son cubiertas, entonces también lo es . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$
• Si y son cubiertas, entonces también lo es . ^{[6] : 485} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$

Producto de recubrimientos

Sean y espacios topológicos y y recubrimientos, entonces con es un recubrimiento. ^{[6] : 339} Sin embargo, los recubrimientos de no son todos de esta forma en general. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$ ${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$ ${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$ ${\displaystyle X\times X'}$

Equivalencia de recubrimientos

Sea un espacio topológico y y sean recubrimientos. Ambos recubrimientos se denominan equivalentes , si existe un homeomorfismo tal que el diagrama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$

conmuta. Si tal homeomorfismo existe, entonces se dice que los espacios de recubrimiento son isomorfos . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'}$

Propiedad de elevación

Todos los recubrimientos satisfacen la propiedad de elevación , es decir:

Sea el intervalo unitario y sea una cobertura. Sea una función continua y sea una elevación de , es decir, una función continua tal que . Entonces existe una función continua determinada de manera única para la cual y que es una elevación de , es decir , . ^{[2] : 60} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$ ${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$

Si es un espacio conexo por caminos, entonces se deduce que el mapa es una elevación de un camino en y para es una elevación de una homotopía de caminos en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=\{0\}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=I}$ ${\displaystyle X}$

En consecuencia, se puede demostrar que el grupo fundamental del círculo unitario es un grupo cíclico infinito , que se genera por las clases de homotopía del bucle con . ^{[2] : 29} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

Sea un espacio conexo por caminos y sea una cubierta conexa. Sean dos puntos cualesquiera, que estén conectados por un camino , es decir y . Sea la única elevación de , entonces la función ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$con ${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

es biyectiva . ^{[2] : 69}

Si es un espacio conexo por caminos y una cubierta conexa, entonces el homomorfismo de grupo inducido ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$con , ${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

es inyectiva y el subgrupo de consiste en las clases de homotopía de bucles en , cuyos elevadores son bucles en . ^{[2] : 61} ${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

Cobertura ramificada

Definiciones

Mapas holomorfos entre superficies de Riemann

Sean y superficies de Riemann , es decir, variedades complejas unidimensionales , y sea una aplicación continua. es holomorfa en un punto , si para cualesquiera gráficos de y de , con , la aplicación es holomorfa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

Si es holomórfico , decimos que es holomórfico. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$

El mapa se llama expresión local de en . ${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$

Si es una función holomórfica no constante entre superficies de Riemann compactas , entonces es sobreyectiva y una función abierta , ^{[5] : 11} es decir, para cada conjunto abierto la imagen también es abierta. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f(U)\subset Y}$

Punto de ramificación y punto de ramificación

Sea una función holomorfa no constante entre superficies de Riemann compactas. Para cada existen gráficos para y y existe un determinado de manera única , tal que la expresión local de en tiene la forma . ^{[5] : 10} El número se denomina índice de ramificación de en y el punto se denomina punto de ramificación si . Si para un , entonces es no ramificado . El punto imagen de un punto de ramificación se denomina punto de ramificación. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k_{x}\geq 2}$ ${\displaystyle k_{x}=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$

Grado de un mapa holomorfo

Sea una función holomorfa no constante entre superficies de Riemann compactas. El grado de es la cardinalidad de la fibra de un punto no ramificado , es decir . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}$

Este número está bien definido, ya que para cada fibra es discreto ^{[5] : 20} y para cualesquiera dos puntos no ramificados , es: ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ ${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}$

Se puede calcular:

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)}$ ^{[5] : 29}

Cobertura ramificada

Definición

Una función continua se denomina recubrimiento ramificado si existe un conjunto cerrado con complemento denso , tal que es un recubrimiento. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle E\subset Y}$ ${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$

Ejemplos

• Sea y , entonces con es una cobertura ramificada de grado , donde por es un punto de ramificación. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=0}$
• Toda función holomórfica no constante entre superficies de Riemann compactas de grado es una cobertura ramificada de grado . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Cobertura universal

Definición

Sea una envoltura simplemente conexa . Si es otra envoltura simplemente conexa, entonces existe un homeomorfismo determinado de manera única , tal que el diagrama ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}$

desplazamientos. ^{[6] : 482}

Esto significa que está, hasta la equivalencia, unívocamente determinado y por ello es una propiedad universal denominada cobertura universal del espacio . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

Existencia

No siempre existe una cobertura universal, pero las siguientes propiedades garantizan su existencia:

Sea un espacio topológico conexo, localmente simplemente conexo ; entonces, existe una cobertura universal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$

${\displaystyle {\tilde {X}}}$se define como y por . ^{[2] : 64} ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle p([\gamma ]):=\gamma (1)}$

La topología de se construye de la siguiente manera: Sea un camino con . Sea un vecindario simplemente conexo del punto final , entonces para cada los caminos dentro de a están determinados de manera única hasta la homotopía . Ahora considere , entonces con es una biyección y puede estar equipado con la topología final de . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\gamma (1)}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$ ${\displaystyle p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}}$

El grupo fundamental actúa libremente a través de sobre y con es un homeomorfismo, es decir . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$ ${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \psi :\Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \psi ([\Gamma {\tilde {x}}])={\tilde {x}}(1)}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X}$

Ejemplos

El pendiente hawaiano. Se muestran solo los diez círculos más grandes.

• ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$con es la cobertura universal del círculo unitario . ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$con es la cobertura universal del espacio proyectivo para . ${\displaystyle p(x)=[x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle q:\mathrm {SU} (n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)}$con es la cobertura universal del grupo unitario . ^{[7] : 5, Teorema 1} $${\displaystyle q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}_{\vphantom {x}}A}$$ ${\displaystyle U(n)}$
• Como , se deduce que el mapa cociente es la cobertura universal de . ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ $${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$
• Un espacio topológico que no tiene cobertura universal es el pendiente hawaiano : se puede demostrar que ningún entorno del origen está simplemente conexo. ^{[6] : 487, Ejemplo 1} $${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$ ${\displaystyle (0,0)}$

Recubrimientos G

Sea G un grupo discreto que actúa sobre el espacio topológico X . Esto significa que cada elemento g de G está asociado a un homeomorfismo H _g de X sobre sí mismo, de tal manera que H _{g h} es siempre igual a H _g ∘ H _h para cualesquiera dos elementos g y h de G . (O en otras palabras, una acción de grupo del grupo G sobre el espacio X es simplemente un homomorfismo de grupo del grupo G en el grupo Homeo( X ) de autohomeomorfismos de X .) Es natural preguntar bajo qué condiciones la proyección desde X al espacio de órbitas X / G es una función de recubrimiento. Esto no siempre es cierto ya que la acción puede tener puntos fijos. Un ejemplo de esto es el grupo cíclico de orden 2 que actúa sobre un producto X × X por la acción de torsión donde el elemento no identidad actúa por ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Por lo tanto, el estudio de la relación entre los grupos fundamentales de X y X / G no es tan sencillo.

Sin embargo, el grupo G actúa sobre el grupoide fundamental de X , por lo que el estudio se maneja mejor considerando grupos que actúan sobre grupoides y los grupoides de órbitas correspondientes . La teoría para esto se establece en el Capítulo 11 del libro Topología y grupoides al que se hace referencia más adelante. El resultado principal es que para acciones discontinuas de un grupo G sobre un espacio de Hausdorff X que admite una cubierta universal, entonces el grupoide fundamental del espacio de órbitas X / G es isomorfo al grupoide de órbitas del grupoide fundamental de X , es decir, el cociente de ese grupoide por la acción del grupo G . Esto conduce a cálculos explícitos, por ejemplo del grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio.

Revestimientos lisos

Sean E y M variedades suaves con o sin borde . Una cobertura se denomina cobertura suave si es una función suave y las láminas se aplican difeomórficamente al subconjunto abierto correspondiente de M . (Esto contrasta con la definición de cobertura, que simplemente requiere que las láminas se apliquen homeomórficamente al subconjunto abierto correspondiente). ${\displaystyle \pi :E\to M}$

Transformación de la cubierta

Definición

Sea una cubierta. Una transformación de cubierta es un homeomorfismo , tal que el diagrama de mapas continuos ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$

conmuta. Junto con la composición de mapas, el conjunto de transformación de cubierta forma un grupo , que es lo mismo que . ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$

Supongamos ahora que es un mapa de recubrimiento y (y por lo tanto también ) está conectado y conectado localmente por trayectorias. La acción de sobre cada fibra es libre . Si esta acción es transitiva sobre alguna fibra, entonces es transitiva sobre todas las fibras, y llamamos al recubrimiento regular (o normal o Galois ). Cada uno de estos recubrimientos regulares es un fibrado principal , donde se considera como un grupo topológico discreto. ${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Toda cubierta universal es regular, siendo el grupo de transformación de cubierta isomorfo al grupo fundamental . ${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Ejemplos

• Sea la cobertura para algunos , entonces el mapa para es una transformación de mazo y . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Sea la cubierta , entonces el mapa para es una transformación de mazo y . ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$
• Como otro ejemplo importante, considere el plano complejo y el plano complejo menos el origen. Entonces, la función con es una cobertura regular. Las transformaciones de mazos son multiplicaciones con raíces -ésimas de la unidad y, por lo tanto, el grupo de transformaciones de mazos es isomorfo al grupo cíclico . Asimismo, la función con es la cobertura universal. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Propiedades

Sea un espacio conexo por caminos y sea una cubierta conexa. Puesto que una transformación de cubierta es biyectiva , permuta los elementos de una fibra con y está determinada de forma única por el lugar al que envía un único punto. En particular, solo el mapa de identidad fija un punto en la fibra. ^{[2] : 70} Debido a esta propiedad, cada transformación de cubierta define una acción de grupo sobre , es decir, sea un vecindario abierto de a y un vecindario abierto de an , entonces es una acción de grupo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$

Recubrimientos normales

Definición

Una cubierta se llama normal si . Esto significa que para cada uno y cualesquiera dos existe una transformación de cubierta tal que . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$

Propiedades

Sea un espacio conexo por caminos y sea una cubierta conexa. Sea un subgrupo de , entonces es una cubierta normal si y solo si es un subgrupo normal de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Si es una cubierta normal y , entonces . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}$

Si es una cubierta conexa por caminos y , entonces , donde es el normalizador de . ^{[2] : 71} ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H}$ ${\displaystyle N(H)}$ ${\displaystyle H}$

Sea un espacio topológico. Un grupo actúa de manera discontinua sobre , si cada uno tiene un entorno abierto con , tal que para cada uno con uno tiene . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma }$ ${\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$

Si un grupo actúa de manera discontinua en un espacio topológico , entonces el mapa cociente con es una cobertura normal. ^{[2] : 72} Por lo tanto, es el espacio cociente y es la órbita de la acción del grupo. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$ ${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$ ${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$

Ejemplos

• La cubierta con es una cubierta normal para cada uno . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• Toda cubierta simplemente conectada es una cubierta normal.

Cálculo

Sea un grupo, que actúa de forma discontinua sobre un espacio topológico y sea la cobertura normal. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$

• Si está conexo por caminos, entonces . ^{[2] : 72} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$

• Si está simplemente conexo, entonces . ^{[2] : 71} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$

Ejemplos

• Sea . La función antípoda con genera, junto con la composición de funciones, un grupo e induce una acción de grupo , que actúa de manera discontinua sobre . Por lo tanto , se deduce que la función cociente es una cobertura normal y para una cobertura universal, por lo tanto, para . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=-x}$ ${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$ ${\displaystyle n>1}$
• Sea el grupo ortogonal especial , entonces la función es una cobertura normal y debido a , es la cobertura universal, por lo tanto . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))}$
• Con la acción grupal de sobre , donde es el producto semidirecto , se obtiene la cobertura universal de la botella de Klein , por lo tanto . ${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$
• Sea el toro que está incrustado en el . Entonces se obtiene un homeomorfismo , que induce una acción de grupo discontinua , por lo que . Se deduce que la función es una envoltura normal de la botella de Klein, por lo tanto . ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$
• Sea incrustado en el . Dado que la acción del grupo es discontinua, por lo que son coprimos , la función es la cobertura universal del espacio de lentes , por lo tanto . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$ ${\displaystyle L_{p,q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$

Correspondencia de Galois

Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo , entonces para cada subgrupo existe una cobertura conexa por caminos con . ^{[2] : 66} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$

Sean y dos recubrimientos conexos por caminos, entonces son equivalentes si y solo si los subgrupos y son conjugados entre sí. ^{[6] : 482} ${\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$

Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, entonces, hasta equivalencia entre recubrimientos, existe una biyección: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}}$

Para una secuencia de subgrupos se obtiene una secuencia de recubrimientos . Para un subgrupo con índice , el recubrimiento tiene grado . ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle d}$

Clasificación

Definiciones

Categoría de revestimientos

Sea un espacio topológico. Los objetos de la categoría son los recubrimientos de y los morfismos entre dos recubrimientos y son aplicaciones continuas , tales que el diagrama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle q:F\rightarrow X}$ ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$

desplazamientos diarios.

Conjunto G

Sea un grupo topológico . La categoría es la categoría de conjuntos que son G-conjuntos . Los morfismos son G-aplicaciones entre G-conjuntos . Satisfacen la condición para cada . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}}$ ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$ ${\displaystyle g\in G}$

Equivalencia

Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, y sea el grupo fundamental de . Puesto que define, mediante elevación de caminos y evaluando en el punto final de la elevación, una acción de grupo sobre la fibra de una cubierta, el funtor es una equivalencia de categorías . ^{[2] : 68–70} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$

Aplicaciones

El bloqueo del cardán se produce porque cualquier mapa T ³ → RP ³ no es un mapa de cobertura. En particular, el mapa relevante lleva cualquier elemento de T ³ , es decir, un triple ordenado (a,b,c) de ángulos (números reales mod 2 π ), a la composición de las tres rotaciones de ejes de coordenadas R _x (a)∘R _y (b)∘R _z (c) por esos ángulos, respectivamente. Cada una de estas rotaciones, y su composición, es un elemento del grupo de rotación SO(3), que es topológicamente RP ³ . Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir tres grados de libertad. Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres, y está en bloqueo del cardán . En este caso, puede cabecear o guiñar, pero no rodar (rotar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

Una aplicación práctica importante de los espacios de recubrimiento se da en los gráficos sobre SO(3) , el grupo de rotación . Este grupo se da ampliamente en ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en navegación , ingeniería náutica e ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO(3) es el espacio proyectivo real RP ³ , con grupo fundamental Z /2, y el único espacio de recubrimiento (no trivial) es la hiperesfera S ³ , que es el grupo Spin(3) , y está representado por los cuaterniones unitarios . Por lo tanto, los cuaterniones son un método preferido para representar rotaciones espaciales; consulte cuaterniones y rotación espacial .

Sin embargo, a menudo es deseable representar rotaciones por un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), tanto porque esto es conceptualmente más simple para alguien familiarizado con la rotación plana, como porque uno puede construir una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a una función del 3-toro T ³ de tres ángulos al espacio proyectivo real RP ³ de rotaciones, y la función resultante tiene imperfecciones debido a que esta función no puede ser una función de recubrimiento. Específicamente, el fracaso de la función para ser un homeomorfismo local en ciertos puntos se conoce como bloqueo de cardán , y se demuestra en la animación de la derecha: en algunos puntos (cuando los ejes son coplanares) el rango de la función es 2, en lugar de 3, lo que significa que solo se pueden realizar 2 dimensiones de rotaciones desde ese punto cambiando los ángulos. Esto causa problemas en las aplicaciones y se formaliza mediante la noción de un espacio de recubrimiento.

Véase también

• La red de Bethe es la cubierta universal de un gráfico de Cayley
• Gráfico de cobertura , un espacio de cobertura para un gráfico no dirigido y su caso especial, la cobertura doble bipartita
• Grupo de cobertura
• Conexión de Galois
• Espacio cociente (topología)

Literatura

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79160-X.OCLC 45420394  .
• Forster, Otto (1981). Lecciones sobre superficies de Riemann . Nueva York. ISBN. 0-387-90617-7.OCLC 7596520  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Munkres, James R. (2018). Topología . Nueva York, Nueva York. ISBN 978-0-13-468951-7.OCLC 964502066  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Kühnel, Wolfgang (2011). Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (en alemán). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. doi :10.1007/978-3-8348-9905-7. ISBN 978-3-8348-9905-7.OCLC 706962685  .

Referencias

1. Forster, Otto (1981). "Capítulo 1: Recubrimiento de espacios". Lecciones sobre superficies de Riemann . GTM. Traducido por Bruce Gillian. Nueva York: Springer. ISBN 9781461259633.
2. Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-79160-X.
3. Rowland, Todd. "Mapa de cobertura". De MathWorld, un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html
4. Kühnel, Wolfgang (6 de diciembre de 2010). Matrizen und Lie-Gruppen . Stuttgart: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7.
5. , Otto (1991). Conferencias sobre superficies de Riemann . Múnich: Springer Berlín. ISBN 978-3-540-90617-9.
6. Munkres, James (2000). Topología . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-468951-7.
7. Aguilar, Marcelo Alberto; Socolovsky, Miguel (23 de noviembre de 1999). "El grupo de cobertura universal de U(n) y representaciones proyectivas". Revista internacional de física teórica . 39 (4). Springer US (publicado en abril de 2000): 997–1013. arXiv : math-ph/9911028 . Código Bibliográfico :1999math.ph..11028A. doi :10.1023/A:1003694206391. S2CID  18686364.