Homomorfismo de grupo

En matemáticas , dados dos grupos , ( G ,∗) y ( H , ·), un homomorfismo de grupo de ( G ,∗) a ( H , ·) es una función h : G → H tal que para todo u y v en G se cumple que

h(u*v)=h(u)\cdot h(v)

donde la operación de grupo en el lado izquierdo de la ecuación es la de G y en el lado derecho la de H .

De esta propiedad se puede deducir que h asigna el elemento identidad e _G de G al elemento identidad e _H de H ,

h(e_{G})=e_{H}

y también asigna inversas a inversas en el sentido de que

h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,

Por lo tanto se puede decir que h "es compatible con la estructura del grupo".

En áreas de las matemáticas en las que se consideran grupos dotados de estructura adicional, un homomorfismo a veces significa una función que respeta no solo la estructura del grupo (como se indicó anteriormente) sino también la estructura adicional. Por ejemplo, a menudo se requiere que un homomorfismo de grupos topológicos sea continuo.

Intuición

El propósito de definir un homomorfismo de grupo es crear funciones que preserven la estructura algebraica. Una definición equivalente de homomorfismo de grupo es: La función h : G → H es un homomorfismo de grupo si siempre que

a ∗ b = c tenemos h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

En otras palabras, el grupo H en cierto sentido tiene una estructura algebraica similar a G y el homomorfismo h la preserva.

Tipos

Monomorfismo: Un homomorfismo de grupo que es inyectivo (o uno a uno); es decir, preserva la distinción.
Epimorfismo: Un homomorfismo de grupo que es sobreyectivo (o sobre), es decir, alcanza todos los puntos del codominio.
Isomorfismo: Un homomorfismo de grupo que es biyectivo , es decir, inyectivo y sobreyectivo. Su inverso también es un homomorfismo de grupo. En este caso, los grupos G y H se denominan isomorfos ; difieren solo en la notación de sus elementos (excepto el elemento identidad) y son idénticos para todos los fines prácticos. Es decir, reetiquetamos todos los elementos excepto el elemento identidad.
Endomorfismo: Homomorfismo de grupo, h : G → G ; el dominio y el codominio son iguales. También se denomina endomorfismo de G .
Automorfismo: Un endomorfismo de grupo que es biyectivo y, por lo tanto, un isomorfismo. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G , con composición funcional como operación, forma en sí mismo un grupo, el grupo de automorfismos de G . Se denota por Aut( G ). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de ( Z , + ) contiene solo dos elementos, la transformación identidad y la multiplicación por −1; es isomorfo a ( Z /2 Z , + ).

Imagen y kernel

Definimos el núcleo de h como el conjunto de elementos en G que se asignan a la identidad en H

\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.

y la imagen de h para ser

\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.

El núcleo y la imagen de un homomorfismo se pueden interpretar como una medida de lo cerca que está de ser un isomorfismo. El primer teorema de isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo de grupo, h ( G ), es isomorfo al grupo cociente G /ker h .

El núcleo de h es un subgrupo normal de G. Supóngase y demuestre para cualquier valor arbitrario : $u\in \operatorname {ker} (h)$ $g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)$ $u,g$

{\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}

La imagen de h es un subgrupo de H.

El homomorfismo, h , es un monomorfismo de grupo; es decir, h es inyectivo (uno a uno) si y solo si ker( h ) = { e _G }. La inyección indica directamente que hay un elemento único en el núcleo y, a la inversa, un elemento único en el núcleo indica la inyección:

{\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}

Ejemplos

Considérese el grupo cíclico Z ₃ = ( Z /3 Z , +) = ({0, 1, 2}, +) y el grupo de números enteros ( Z , +). La función h : Z → Z /3 Z con h ( u ) = u mod 3 es un homomorfismo de grupo. Es sobreyectivo y su núcleo está formado por todos los números enteros que son divisibles por 3.

El conjunto
$G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$
forma un grupo bajo la multiplicación de matrices. Para cualquier número complejo u la función f _u : G → C ^* definida por
${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$
es un homomorfismo de grupo.
Consideremos un grupo multiplicativo de números reales positivos ( R ⁺ , ⋅) para cualquier número complejo u . Entonces la función f _u : R ⁺ → C definida por
$f_{u}(a)=a^{u}$
es un homomorfismo de grupo.

El mapa exponencial produce un homomorfismo de grupo a partir del grupo de números reales R con adición al grupo de números reales distintos de cero R * con multiplicación. El núcleo es {0} y la imagen consta de los números reales positivos.
La función exponencial también produce un homomorfismo de grupo desde el grupo de números complejos C con adición hasta el grupo de números complejos distintos de cero C * con multiplicación. Esta función es sobreyectiva y tiene el núcleo {2π ki : k ∈ Z }, como se puede ver en la fórmula de Euler . Los cuerpos como R y C que tienen homomorfismos desde su grupo aditivo hasta su grupo multiplicativo se denominan cuerpos exponenciales .
La función , definida por es un homomorfismo. $\Phi :(\mathbb {N} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)$ $\Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x$
Consideremos los dos grupos y , representados respectivamente por y , donde son los números reales positivos. Entonces, la función definida por la función logaritmo es un homomorfismo. $(\mathbb {R} ^{+},*)$ $(\mathbb {R} ,+)$ $G$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}$ $f:G\rightarrow H$

Categoría de grupos

Si h : G → H y k : H → K son homomorfismos de grupo, entonces también lo es k ∘ h : G → K . Esto muestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupo como morfismos, forma una categoría (específicamente la categoría de grupos ).

Homomorfismos de grupos abelianos

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom( G , H ) de todos los homomorfismos de grupo desde G hasta H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos se define por

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) para todo u en G .

La conmutatividad de H es necesaria para demostrar que h + k es nuevamente un homomorfismo de grupo.

La adición de homomorfismos es compatible con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f está en Hom( K , G ) , h , k son elementos de Hom( G , H ) , y g está en Hom( H , L ) , entonces

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f ) y g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .

Puesto que la composición es asociativa , esto muestra que el conjunto End( G ) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo , el anillo de endomorfismo de G. Por ejemplo, el anillo de endomorfismo del grupo abeliano que consiste en la suma directa de m copias de Z / n Z es isomorfo al anillo de matrices m -por- m con entradas en Z / n Z. La compatibilidad anterior también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos de grupo forma una categoría preaditiva ; la existencia de sumas directas y núcleos de buen comportamiento hace de esta categoría el ejemplo prototípico de una categoría abeliana .

Véase también

Referencias

Dummit, DS; Foote, R. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley. págs. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

Enlaces externos

Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Homomorfismo de grupo". MathWorld .