En matemáticas , se dice que un objeto matemático satisface una propiedad localmente , si la propiedad se satisface en algunas porciones inmediatas y limitadas del objeto (por ejemplo, en algunos vecindarios de puntos suficientemente pequeños o arbitrariamente pequeños ).
Tal vez el ejemplo más conocido de la idea de localidad se encuentra en el concepto de mínimo local (o máximo local ), que es un punto en una función cuyo valor funcional es el más pequeño (o el más grande) dentro de una vecindad inmediata de puntos. [1] Esto debe contrastarse con la idea de mínimo global (o máximo global), que corresponde al mínimo (o el máximo) de la función en todo su dominio. [2] [3]
A veces se dice que un espacio topológico exhibe una propiedad localmente , si la propiedad se exhibe "cerca" de cada punto de una de las siguientes maneras:
En este caso, cabe señalar que la condición (2) es en su mayor parte más fuerte que la condición (1), y que se debe tener especial cuidado para distinguir entre ambas. Por ejemplo, puede surgir alguna variación en la definición de localmente compacto como resultado de las diferentes opciones de estas condiciones.
Dada alguna noción de equivalencia (por ejemplo, homeomorfismo , difeomorfismo , isometría ) entre espacios topológicos , se dice que dos espacios son localmente equivalentes si cada punto del primer espacio tiene un vecindario que es equivalente a un vecindario del segundo espacio.
Por ejemplo, el círculo y la línea son objetos muy diferentes. No se puede estirar el círculo para que parezca una línea, ni comprimir la línea para que encaje en el círculo sin dejar huecos ni superposiciones. Sin embargo, se puede estirar y aplanar una pequeña parte del círculo para que parezca una pequeña parte de la línea. Por esta razón, se puede decir que el círculo y la línea son equivalentes localmente.
De manera similar, la esfera y el plano son equivalentes localmente. Un observador lo suficientemente pequeño que se encontrara sobre la superficie de una esfera (por ejemplo, una persona y la Tierra) la encontraría indistinguible de un plano.
Para un grupo infinito , se considera que un "pequeño vecindario" es un subgrupo finitamente generado . Se dice que un grupo infinito es localmente P si cada subgrupo finitamente generado es P. Por ejemplo, un grupo es localmente finito si cada subgrupo finitamente generado es finito, y un grupo es localmente soluble si cada subgrupo finitamente generado es soluble .
En el caso de los grupos finitos , se considera que un "vecindario pequeño" es un subgrupo definido en términos de un número primo p , normalmente los subgrupos locales , los normalizadores de los p -subgrupos no triviales . En cuyo caso, se dice que una propiedad es local si se puede detectar a partir de los subgrupos locales. Las propiedades globales y locales formaron una parte importante del trabajo inicial sobre la clasificación de grupos simples finitos , que se llevó a cabo durante la década de 1960.
En el caso de los anillos conmutativos, las ideas de geometría algebraica hacen que resulte natural considerar que un "pequeño vecindario" de un anillo es la localización en un ideal primo . En ese caso, se dice que una propiedad es local si se puede detectar a partir de los anillos locales . Por ejemplo, ser un módulo plano sobre un anillo conmutativo es una propiedad local, pero ser un módulo libre no lo es. Para obtener más información, consulte Localización de un módulo .