conexión galois

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , una conexión de Galois es una correspondencia particular (típicamente) entre dos conjuntos parcialmente ordenados (posets). Las conexiones de Galois encuentran aplicaciones en diversas teorías matemáticas. Generalizan el teorema fundamental de la teoría de Galois sobre la correspondencia entre subgrupos y subcampos , descubierto por el matemático francés Évariste Galois .

También se puede definir una conexión Galois en conjuntos o clases reservados ; este artículo presenta el caso común de posets. La literatura contiene dos nociones estrechamente relacionadas de "conexión Galois". En este artículo, nos referiremos a ellas como conexiones de Galois (monótonas) y conexiones de Galois antitono .

Una conexión de Galois es bastante débil en comparación con un isomorfismo de orden entre los posets involucrados, pero cada conexión de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos sub-posets, como se explicará más adelante. El término correspondencia de Galois se utiliza a veces para referirse a una conexión biyectiva de Galois ; esto es simplemente un isomorfismo de orden (o isomorfismo de orden dual, dependiendo de si tomamos conexiones de Galois monótonas o antitonales).

Definiciones

(Monótono) Conexión Galois

Sean $(A, \leq)$ y $(B, \leq)$ dos conjuntos parcialmente ordenados . Una conexión monótona de Galois entre estos posets consta de dos funciones monótonas ^[1] : $F$ $:$ $A$ $\to$ $B$ y $G$ $:$ $B$ $\to$ $A$ , tales que para todo $a$ en $A$ y $b$ en $B$ , tenemos

F (a)\leqb si

sólo

si

a\leqG (b )

En esta situación, F $se$ llama adjunto inferior de $G$ y $G$ se llama adjunto superior de F. Mnemónicamente, la terminología superior/inferior se refiere a dónde aparece la aplicación de la función en relación con ≤. ^[2] El término "adjunto" se refiere al hecho de que las conexiones monótonas de Galois son casos especiales de pares de functores adjuntos en la teoría de categorías , como se analiza más adelante. Otra terminología encontrada aquí es adjunto izquierdo (respectivamente adjunto derecho ) para el adjunto inferior (respectivamente superior).

Una propiedad esencial de una conexión de Galois es que un adjunto superior/inferior de una conexión de Galois determina de forma única el otro:

F (a)

es el elemento mínimo

~ b

con

un \leq G (~ b)

, y

G (b)

es el elemento más grande

~ a

con

F (~ a) \leq b

Una consecuencia de esto es que si $F$ o $G$ son biyectivos , entonces cada uno es el inverso del otro, es decir, $F = G -1$ .

Dada una conexión de Galois con el adjunto inferior $F$ y el adjunto superior $G$ , podemos considerar las composiciones $GF : A \to A$ , conocida como operador de cierre asociado , y $FG : B \to B$ , conocida como operador de núcleo asociado. Ambos son monótonos e idempotentes , y tenemos $a \leq GF (a)$ para todo $a$ en $A$ y $FG (b) \leq b$ para todo $b$ en $B.$

Una inserción de Galois de $B$ en $A$ es una conexión de Galois en la que el operador del núcleo $FG$ es la identidad en $B$ y, por tanto, $G$ es un isomorfismo de orden de $B$ en el conjunto de elementos cerrados $GF$ [ $A$ ] de $A.$ ^[3]

Conexión de Antitono Galois

La definición anterior es común en muchas aplicaciones actuales y destaca en la teoría de redes y dominios . Sin embargo, la noción original de la teoría de Galois es ligeramente diferente. En esta definición alternativa, una conexión de Galois es un par de funciones antitono , es decir, de inversión de orden, $F : A \to B$ y $G : B \to A$ entre dos posets $A$ y $B$ , tales que

b \leq F (a)

si y sólo si

a \leq G (b)

La simetría de $F$ y $G$ en esta versión borra la distinción entre superior e inferior, y las dos funciones se denominan entonces polaridades en lugar de adjuntas. ^[4] Cada polaridad determina de forma única a la otra, ya que

F (a)

es el elemento

b

más grande con

a \leq G (b)

, y

G (b)

es el elemento más grande

a

con

b \leq F (a)

Las composiciones $GF : A \to A$ y $FG : B \to B$ son los operadores de cierre asociados; son mapas idempotentes monótonos con la propiedad $a \leq GF (a)$ para todo $a$ en $A$ y $b \leq FG (b)$ para todo $b$ en $B$ .

Las implicaciones de las dos definiciones de conexiones de Galois son muy similares, ya que una conexión de Galois antitono entre A $y$ B $es$ simplemente una conexión de Galois monótona entre $A$ y el orden dual $B op$ de $B.$ Por lo tanto, todas las declaraciones siguientes sobre conexiones de Galois se pueden convertir fácilmente en declaraciones sobre conexiones de Galois en antítono.

Ejemplos

Conexiones monótonas de Galois

Set de poder; implicación y conjunción

Para un ejemplo de teoría del orden, sea $U$ algún conjunto , y sean $A$ y $B$ ambos el conjunto potencia de $U$ , ordenados por inclusión . Elija un subconjunto fijo $L$ de $U$ . Entonces los mapas $F$ y $G$ , donde $F (M) = L \cap M$ , y $G ( N ) = N ∪ ( U \ L )$ , forman una conexión de Galois monótona, siendo $F$ el adjunto inferior. Una conexión de Galois similar cuyo adjunto inferior viene dado por la operación encuentro ( ínfimo ) se puede encontrar en cualquier álgebra de Heyting . Especialmente, está presente en cualquier álgebra booleana , donde las dos asignaciones pueden describirse mediante $F (x) = (a \land x)$ y $G (y) = (y \lor \neg a) = (a \Rightarrow y)$ . En términos lógicos : "implicación de $a$ " es el adjunto superior de "conjunción con $a$ ".

Celosías

En el artículo sobre propiedades de completitud se describen más ejemplos interesantes de conexiones de Galois . En términos generales, resulta que las funciones habituales ∨ y ∧ son adjuntos inferior y superior del mapa diagonal $X \to X \times X$ . Los elementos menor y mayor de un orden parcial están dados por adjuntos superior e inferior de la función única $X \to {1}.$ Además, incluso las celosías completas se pueden caracterizar por la existencia de elementos adjuntos adecuados. Estas consideraciones dan alguna impresión de la ubicuidad de las conexiones de Galois en la teoría del orden.

Acciones grupales transitivas

Dejemos que $G$ actúe transitivamente sobre $X$ y elija algún punto $x$ en $X.$ Considerar

{\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {o} \ gB\cap B=\emptyset \},

el conjunto de bloques que contienen $x$ . Además, constemos de los subgrupos de $G$ que contienen el estabilizador de $x$ . ${\mathcal {G}}$

Luego, la correspondencia : ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}$

B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}

es una conexión Galois monótona y uno a uno . ^[5] Como corolario , se puede establecer que las acciones doblemente transitivas no tienen más bloques que los triviales (singletons o el conjunto de $X$ ): esto se deduce de que los estabilizadores son máximos en $G$ en ese caso. Consulte Grupo doblemente transitivo para obtener más información.

Imagen e imagen inversa

Si $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ es una función , entonces para cualquier subconjunto $M$ de $X$ podemos formar la imagen $F$ $($ $M$ $) =$ $f$ $M$ $= {$ $f$ $($ $m$ $) |$ $m$ $\in$ $M$ $}$ y para cualquier subconjunto $N$ de $Y$ podemos formar la imagen inversa $G$ $($ $N$ $) =$ $f$ $-1$ $N$ $= {$ $x$ $\in$ $X$ $|$ $f$ $($ $x$ $) \in$ $norte$ $}.$ Entonces $F$ y $G$ forman una conexión de Galois monótona entre el conjunto de potencias de $X$ y el conjunto de potencias de $Y$ , ambos ordenados por inclusión ⊆. Hay otro par adjunto en esta situación: para un subconjunto $M$ de $X$ , defina $H$ $($ $M$ $) = {$ $y$ $\in$ $Y$ $|$ $f$ $-1$ ${$ $y$ $} \subseteq$ $M$ $}.$ Entonces $G$ y $H$ forman una conexión de Galois monótona entre el conjunto de potencias de $Y$ y el conjunto de potencias de $X.$ En la primera conexión de Galois, $G$ es el adjunto superior, mientras que en la segunda conexión de Galois sirve como adjunto inferior.

En el caso de una aplicación de cociente entre objetos algebraicos (como grupos ), esta conexión se denomina teorema de red : los subgrupos de $G$ se conectan a subgrupos de $G / N$ , y el operador de cierre en los subgrupos de $G$ viene dado por $H = HN$ .

Lapso y cierre

Elija algún objeto matemático $X$ que tenga un conjunto subyacente , por ejemplo un grupo, anillo , espacio vectorial , etc. Para cualquier subconjunto $S$ de $X$ , sea $F (S)$ el subobjeto más pequeño de $X$ que contiene $S$ , es decir, el subgrupo , subanillo o subespacio generado por $S$ . Para cualquier subobjeto $U$ de $X$ , sea $G (U)$ el conjunto subyacente de $U.$ (Incluso podemos tomar a $X$ como un espacio topológico , dejar que $F (S)$ sea el cierre de $S$ y tomar como "subobjetos de $X$ " los subconjuntos cerrados de $X.$ ) Ahora $F$ y $G$ forman una conexión de Galois monótona entre subconjuntos de $X.$ y subobjetos de $X$ , si ambos están ordenados por inclusión. $F$ es el adjunto inferior.

Sintaxis y semántica

Un comentario muy general de William Lawvere ^[6] es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: tome $A$ como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones) ordenadas inversamente por fuerza, y $B$ como el conjunto potencia del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría $T \in A$ , sea $Mod(T)$ el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas $T$ ; para un conjunto de estructuras matemáticas $S \in B$ , sea $Th(S)$ el mínimo de las axiomatizaciones que se aproximan $a S$ (en lógica de primer orden , este es el conjunto de oraciones que son verdaderas en todas las estructuras de $S$ ). Entonces podemos decir que $S$ es un subconjunto de $Mod(T)$ si y sólo si $Th(S)$ implica lógicamente $a T$ : el "functor semántico" $Mod$ y el "functor de sintaxis" $Th$ forman una conexión monótona de Galois, siendo la semántica la parte superior. adjunto.

Conexiones de Antitone Galois

Teoría de Galois

El ejemplo motivador proviene de la teoría de Galois: supongamos que $L / K$ es una extensión de campo . Sea $A$ el conjunto de todos los subcampos de $L$ que contienen $K$ , ordenados por inclusión ⊆. Si $E$ es uno de esos subcampos, escriba $Gal(L / E)$ para el grupo de automorfismos de campo de $L$ que mantienen $E$ fijo. Sea $B$ el conjunto de subgrupos de $Gal(L / K)$ , ordenados por inclusión ⊆. Para tal subgrupo $G$ , defina $Fix(G)$ como el campo que consta de todos los elementos de $L$ que se mantienen fijos por todos los elementos de $G$ . Entonces los mapas $E \mapsto Gal(L / E)$ y $G \mapsto Fix(G)$ forman una conexión de Galois en antitono.

Topología algebraica: cubriendo espacios

De manera análoga, dado un espacio topológico $X$ conectado por camino , existe una conexión de Galois en antitono entre subgrupos del grupo fundamental $π$ $1$ $($ $X$ $)$ y espacios de cobertura de $X$ conectados por camino . En particular, si $X$ es simplemente conexo semilocalmente , entonces para cada subgrupo $G$ de $π$ $1$ $($ $X$ $)$ , hay un espacio de cobertura con $G$ como su grupo fundamental.

Álgebra lineal: aniquiladores y complementos ortogonales

Dado un espacio producto interno $V$ , podemos formar el complemento ortogonal $F (X)$ de cualquier subespacio $X$ de $V.$ Esto produce una conexión de Galois en antitono entre el conjunto de subespacios de $V$ y él mismo, ordenados por inclusión; ambas polaridades son iguales a $F$ .

Dado un espacio vectorial $V$ y un subconjunto X $de$ V $podemos$ definir su aniquilador $F (X)$ , que consta de todos los elementos del espacio dual $V *$ de $V$ que desaparecen en $X.$ De manera similar, dado un subconjunto $Y$ de $V *$ , definimos su aniquilador $G (Y) = {x \in V | φ (x) = 0 \forall φ \in Y}.$ Esto da una conexión de Galois en antitono entre los subconjuntos de $V$ y los subconjuntos de $V *$ .

geometría algebraica

En geometría algebraica , la relación entre conjuntos de polinomios y sus conjuntos de ceros es una conexión de Galois en antitono.

Fije un número natural $n$ y un cuerpo $K$ y sea $A$ el conjunto de todos los subconjuntos del anillo polinómico $K [X 1, ..., X n]$ ordenados por inclusión ⊆, y sea $B$ el conjunto de todos los subconjuntos de $K n$ ordenado por inclusión ⊆. Si $S$ es un conjunto de polinomios, defina la variedad de ceros como

V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ para todos }}f\in S\},

el conjunto de ceros comunes de los polinomios en $S$ . Si $U$ es un subconjunto de $K n$ , defina $I (U)$ como el ideal de polinomios que desaparecen en $U$ , es decir

I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ para todo }}x\in U\}.

Entonces $V$ y yo formamos una conexión de Galois en antitono.

El cierre en $K n$ es el cierre en la topología de Zariski , y si el campo $K$ es algebraicamente cerrado , entonces el cierre en el anillo polinómico es el radical del ideal generado por $S.$

De manera más general, dado un anillo conmutativo $R$ (no necesariamente un anillo polinomial), existe una conexión de Galois antitono entre los ideales radicales en el anillo y las subvariedades de la variedad afín $Spec (R)$ .

De manera más general, existe una conexión de Galois en antitono entre los ideales en el anillo y los subesquemas de la variedad afín correspondiente .

Conexiones en conjuntos de potencias que surgen de relaciones binarias.

Supongamos que $X$ e $Y$ son conjuntos arbitrarios y se da una relación binaria $R$ sobre $X$ e $Y.$ Para cualquier subconjunto $M$ de $X$ , definimos $F (M) = {y \in Y | mRy \forall metro \in M}.$ De manera similar, para cualquier subconjunto $N$ de $Y$ , defina $G (N) = {x \in X | xRn \forall n \in N}.$ Entonces $F$ y $G$ producen una conexión de Galois en antitono entre los conjuntos de potencias de $X$ e $Y$ , ambos ordenados por inclusión ⊆. ^[7]

Hasta el isomorfismo, todas las conexiones de Galois en antitono entre conjuntos de potencias surgen de esta manera. Esto se desprende del "Teorema básico sobre redes conceptuales". ^[8] La teoría y las aplicaciones de las conexiones de Galois que surgen de relaciones binarias se estudian en el análisis de conceptos formales . Ese campo utiliza conexiones de Galois para el análisis de datos matemáticos. Se pueden encontrar muchos algoritmos para conexiones de Galois en la literatura respectiva, p. ej. en ^[9]

Propiedades

A continuación, consideramos una conexión de Galois (monótona) $f$ $= ($ $f$ $*$ $,$ $f$ $*$ $)$ , donde $f$ $*$ $:$ $A$ $\to$ $B$ es el adjunto inferior como se presentó anteriormente. Algunas propiedades básicas útiles e instructivas se pueden obtener inmediatamente. Según la propiedad definitoria de las conexiones de Galois, $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ es equivalente a $x$ $\leq$ $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $))$ , para todo $x$ en $A$ . Mediante un razonamiento similar (o simplemente aplicando el principio de dualidad para la teoría del orden ) , se encuentra que $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $y$ $)) \leq$ $y$ , para todo $y$ en $B.$ Estas propiedades se pueden describir diciendo que el compuesto $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es deflacionario , mientras que $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es inflacionario (o extensivo ).

Ahora considere $x, y \in A$ tal que $x \leq y$ . Luego, usando lo anterior se obtiene $x \leq f * (f * (y))$ . Aplicando la propiedad básica de las conexiones de Galois, ahora se puede concluir que $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $*$ $($ $y$ $)$ . Pero esto sólo muestra que $f$ $*$ preserva el orden de dos elementos cualesquiera, es decir, es monótono. Nuevamente, un razonamiento similar produce monotonicidad de $f$ $*$ . Por tanto, la monotonicidad no tiene por qué incluirse explícitamente en la definición. Sin embargo, mencionar la monotonía ayuda a evitar confusión sobre las dos nociones alternativas de conexiones de Galois.

Otra propiedad básica de las conexiones de Galois es el hecho de que $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $))) =$ $f$ $*$ $($ $x$ $)$ , para todo $x$ en $B$ . Claramente encontramos que

f * (f * (f * (x))) \geq f * (x)

porque $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es inflacionario como se muestra arriba. Por otro lado, dado que $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es deflacionario, mientras que $f$ $*$ es monótono, se encuentra que

f * (f * (f * (x))) \leq f * (x)

Esto muestra la igualdad deseada. Además, podemos utilizar esta propiedad para concluir que

f * (f * (f * (f * (x)))) = f * (f * (x))

f * (f * (f * (f * (x)))) = f * (f * (x))

es decir, $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ y $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ son idempotentes .

Se puede demostrar (ver Blyth o Erné para pruebas) que una función $f$ es un adjunto inferior (respectivamente superior) si y solo si $f$ es un mapeo residual (respectivamente mapeo residual). Por lo tanto, la noción de mapeo residual y conexión monótona de Galois son esencialmente la misma.

Operadores de cierre y conexiones Galois.

Los hallazgos anteriores se pueden resumir de la siguiente manera: para una conexión de Galois, el compuesto $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es monótono (siendo el compuesto de funciones monótonas), inflacionario e idempotente. Esto establece que $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es de hecho un operador de cierre en $A$ . Dualmente, $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ es monótono, deflacionario e idempotente. Estas asignaciones a veces se denominan operadores del núcleo . En el contexto de marcos y locales , el compuesto $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ se llama núcleo inducido por $f$ . Los núcleos inducen homomorfismos de marco; un subconjunto de una localidad se llama sublocal si está dado por un núcleo.

Por el contrario , cualquier operador de cierre $c$ en algún poset $A$ da lugar a la conexión de Galois con el adjunto inferior $f$ $*$ siendo solo la correstricción de $c$ a la imagen de $c$ (es decir, como un mapeo sobreyectivo del sistema de cierre $c$ $($ $A$ $)$ ). El adjunto superior $f$ $*$ viene dado entonces por la inclusión de $c$ $($ $A$ $)$ en $A$ , que asigna cada elemento cerrado a sí mismo, considerado como un elemento de $A$ . De esta manera, se considera que los operadores de cierre y las conexiones de Galois están estrechamente relacionados y cada uno especifica una instancia del otro. Conclusiones similares son válidas para los operadores del núcleo.

Las consideraciones anteriores también muestran que los elementos cerrados de $A$ (elementos $x$ con $f$ $*$ $($ $f$ $*$ $($ $x$ $)) =$ $x$ ) se asignan a elementos dentro del rango del operador del núcleo $f$ $*$ $\circ$ $f$ $*$ , y viceversa.

Existencia y singularidad de las conexiones de Galois.

Otra propiedad importante de las conexiones de Galois es que los adjuntos inferiores preservan todos los supremos que existen dentro de su dominio . Dualmente, los adjuntos superiores preservan toda la ínfima existente . De estas propiedades también se puede concluir inmediatamente la monotonicidad de los adjuntos. El teorema del funtor adjunto para la teoría del orden establece que la implicación inversa también es válida en ciertos casos: especialmente, cualquier mapeo entre redes completas que preserve toda suprema es el adjunto inferior de una conexión de Galois.

En esta situación, una característica importante de las conexiones de Galois es que un adjunto determina de forma única al otro. Por lo tanto, se puede reforzar la afirmación anterior para garantizar que cualquier mapa que preserve el supremo entre redes completas sea el adjunto inferior de una conexión de Galois única. La principal propiedad para derivar esta unicidad es la siguiente: Para cada $x$ en $A$ , $f$ $*$ $($ $x$ $)$ es el menor elemento $y$ de $B$ tal que $x$ $\leq$ $f$ $*$ $($ $y$ $)$ . Dualmente, para cada $y$ en $B$ , $f$ $*$ $($ $y$ $)$ es el mayor $x$ en $A$ tal que $f$ $*$ $($ $x$ $) \leq$ $y$ . La existencia de una determinada conexión de Galois implica ahora la existencia de los respectivos elementos menor o mayor, sin importar si los posets correspondientes satisfacen alguna propiedad de completitud . Por lo tanto, cuando se da un adjunto superior de una conexión de Galois, el otro adjunto superior se puede definir mediante esta misma propiedad.

Por otro lado, alguna función monótona $f$ es un adjunto inferior si y sólo si cada conjunto de la forma ${$ $x$ $\in$ $A$ $|$ $f$ $($ $x$ $) \leq$ $b$ $},$ para $b$ en $B$ , contiene un elemento mayor. Nuevamente, esto se puede dualizar para el adjunto superior.

Conexiones de Galois como morfismos.

Las conexiones de Galois también proporcionan una clase interesante de asignaciones entre posets que pueden usarse para obtener categorías de posets. Especialmente, es posible componer conexiones de Galois: dadas conexiones de Galois $(f *, f *)$ entre posets $A$ y $B$ y $(g *, g *)$ entre $B$ y $C$ , el compuesto $(g * \circ f *, f * \circ g *)$ también es una conexión de Galois. Al considerar categorías de redes completas, esto se puede simplificar y considerar simplemente mapeos que preservan toda suprema (o, alternativamente, ínfima). Al asignar redes completas a sus duales, estas categorías muestran la dualidad automática , que es bastante fundamental para obtener otros teoremas de dualidad. Tipos más especiales de morfismos que inducen mapeos adjuntos en la otra dirección son los morfismos que generalmente se consideran para marcos (o configuraciones regionales).

Conexión con la teoría de categorías

Todo conjunto parcialmente ordenado puede verse como una categoría de forma natural: existe un morfismo único de xay si y sólo si $x$ $\leq$ $y$ . Una conexión monótona de Galois no es entonces más que un par de functores adjuntos entre dos categorías que surgen de conjuntos parcialmente ordenados. En este contexto, el adjunto superior es el adjunto derecho , mientras que el adjunto inferior es el adjunto izquierdo . Sin embargo, esta terminología se evita para las conexiones de Galois, ya que hubo un tiempo en que los posets se transformaban en categorías de forma dual, es decir, con morfismos apuntando en la dirección opuesta. Esto llevó a una notación complementaria relativa a los adjuntos izquierdo y derecho, que hoy es ambigua.

Aplicaciones en la teoría de la programación.

Las conexiones de Galois pueden usarse para describir muchas formas de abstracción en la teoría de la interpretación abstracta de los lenguajes de programación . ^[10]^[11]

Notas

^ La monotonicidad se deriva de la siguiente condición. Vea la discusión de las propiedades. Sólo es explícito en la definición distinguirlo de la definición de antítono alternativa . También se pueden definir las conexiones de Galois como un par de funciones monótonas que satisfacen la condición más laxa de que para todo $x$ en $A$ , $x \leq g (f (x))$ y para todo $y$ en $B$ , $f (g (y)) \leq y$ .
^ Gierz, pág. 23
^ Bistarelli, Stefano (2004). Semirings para programación y resolución de restricciones suaves . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 2962. Springer-Verlag . pag. 102. arXiv : cs/0208008 . doi :10.1007/978-3-540-25925-1_8. ISBN 3-540-21181-0. ISSN 0302-9743.
^ Galatos, pag. 145
^ Ver Alperin, Bell, Grupos y Representaciones (GTM 162), p. 32
^ William Lawvere , Adjunción en las fundaciones, Dialectica, 1969, disponible aquí. La notación es diferente hoy en día; una introducción más sencilla de Peter Smith en estas notas de la conferencia, que también atribuyen el concepto al artículo citado.
^ Birkhoff, primera edición (1940): §32, tercera edición (1967): cap. V, §7 y §8
^ Ganter, B. y Wille, R. Análisis de conceptos formales: fundamentos matemáticos , Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715
^ Ganter, B. y Obiedkov, S. Exploración conceptual , Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1
^ Patricio Cousot; Radhia Cousot (enero de 1977). "Interpretación abstracta: un modelo de celosía unificada para el análisis estático de programas mediante construcción o aproximación de puntos fijos" (PDF) . Proc. 4to Simposio ACM sobre principios de lenguajes de programación (POPL) . págs. 238–252.
Para ver un contraejemplo del falso teorema de la sección 7 (p.243 arriba a la derecha), consulte: Jochen Burghardt; Florian Kammüller; Jeff W. Sanders (diciembre de 2000). Isomorfismo de incrustaciones de Galois (Informe técnico). vol. 122. GMD . pag. 9-14. ISSN 1435-2702.(Sin embargo el artículo original sólo considera celosías completas)
^ Patricio Cousot; Radhia Cousot (enero de 1979). "Diseño sistemático de marcos de análisis de programas" (PDF) . Proc. 6to Simposio ACM. sobre principios de lenguajes de programación (POPL) . Prensa ACM. págs. 269–282.

Referencias

Los siguientes libros y artículos de encuestas incluyen conexiones de Galois utilizando la definición monótona:

Brian A. Davey y Hilary A. Priestley : Introducción a las celosías y al orden , Cambridge University Press, 2002.
Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott : dominios y celosías continuas , Cambridge University Press, 2003.
Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, Introducción a las conexiones de Galois , en: Actas de la Conferencia de verano de 1991 sobre topología general y aplicaciones en honor a Mary Ellen Rudin y su trabajo, Anales de la Academia de Nueva York de Ciencias, vol. 704, 1993, págs. 103-125. (Disponible gratuitamente en línea en varios formatos de archivo PS.GZ PS, presenta muchos ejemplos y resultados, así como notas sobre las diferentes notaciones y definiciones que surgieron en esta área).

Algunas publicaciones que utilizan la definición original (antítono):

Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
Thomas Scott Blyth, Celosías y estructuras algebraicas ordenadas , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 .
Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski y Hiroakira Ono (2007), Celosías residuales. Una mirada algebraica a la lógica subestructural , Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5 .
Garrett Birkhoff : Teoría del entramado , Amer. Matemáticas. Soc. Col. Publicación, volumen 25, 1940
Ore, Øystein (1944), "Galois Connexions", Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , 55 (3): 493–513, doi :10.2307/1990305, JSTOR 1990305