Conexión afín

En geometría diferencial , una conexión afín ^[a] es un objeto geométrico en una variedad suave que conecta espacios tangentes cercanos , por lo que permite diferenciar campos vectoriales tangentes como si fueran funciones en la variedad con valores en un espacio vectorial fijo . Las conexiones se encuentran entre los métodos más simples para definir la diferenciación de las secciones de fibrados vectoriales . ^[3]

La noción de conexión afín tiene sus raíces en la geometría y el cálculo tensorial del siglo XIX , pero no fue desarrollada completamente hasta principios de la década de 1920, por Élie Cartan (como parte de su teoría general de conexiones ) y Hermann Weyl (quien utilizó la noción como parte de sus fundamentos para la relatividad general ). La terminología se debe a Cartan ^[b] y tiene sus orígenes en la identificación de espacios tangentes en el espacio euclidiano $R n$ por traducción: la idea es que la elección de una conexión afín hace que una variedad se parezca infinitesimalmente al espacio euclidiano no solo de manera uniforme, sino como un espacio afín .

En cualquier variedad de dimensión positiva hay infinitas conexiones afines. Si la variedad está dotada además de un tensor métrico , entonces hay una elección natural de conexión afín, llamada conexión de Levi-Civita . La elección de una conexión afín es equivalente a prescribir una forma de diferenciar campos vectoriales que satisface varias propiedades razonables ( linealidad y la regla de Leibniz ). Esto produce una posible definición de una conexión afín como una derivada covariante o una conexión (lineal) en el fibrado tangente . Una elección de conexión afín también es equivalente a una noción de transporte paralelo , que es un método para transportar vectores tangentes a lo largo de curvas. Esto también define un transporte paralelo en el fibrado de marco . El transporte paralelo infinitesimal en el fibrado de marco produce otra descripción de una conexión afín, ya sea como una conexión de Cartan para el grupo afín o como una conexión principal en el fibrado de marco.

Las principales invariantes de una conexión afín son su torsión y su curvatura . La torsión mide la precisión con la que el corchete de Lie de los campos vectoriales puede recuperarse de la conexión afín. Las conexiones afines también pueden utilizarse para definir geodésicas (afines) en una variedad, generalizando las líneas rectas del espacio euclidiano, aunque la geometría de esas líneas rectas puede ser muy diferente de la geometría euclidiana habitual ; las principales diferencias se resumen en la curvatura de la conexión.

Motivación e historia

Una variedad suave es un objeto matemático que se parece localmente a una deformación suave del espacio euclidiano $R n$ : por ejemplo, una curva o superficie suave se parece localmente a una deformación suave de una línea o un plano. Las funciones suaves y los campos vectoriales se pueden definir en variedades, al igual que en el espacio euclidiano, y las funciones escalares en variedades se pueden diferenciar de forma natural. Sin embargo, la diferenciación de campos vectoriales es menos sencilla: se trata de una cuestión sencilla en el espacio euclidiano, porque el espacio tangente de los vectores base en un punto $p$ se puede identificar de forma natural (por traslación) con el espacio tangente en un punto cercano $q$ . En una variedad general, no existe tal identificación natural entre espacios tangentes cercanos, por lo que los vectores tangentes en puntos cercanos no se pueden comparar de una forma bien definida. La noción de conexión afín se introdujo para remediar este problema conectando espacios tangentes cercanos. Los orígenes de esta idea se remontan a dos fuentes principales: la teoría de superficies y el cálculo tensorial .

Motivación desde la teoría de superficies

Considere una superficie lisa $S$ en un espacio euclidiano tridimensional. Cerca de cualquier punto, $S$ puede aproximarse por su plano tangente en ese punto, que es un subespacio afín del espacio euclidiano. Los geómetras diferenciales del siglo XIX estaban interesados en la noción de desarrollo en el que una superficie rodaba a lo largo de otra, sin deslizarse ni torcerse . En particular, el plano tangente a un punto de $S$ puede rodarse en $S$ : esto debería ser fácil de imaginar cuando $S$ es una superficie como la 2-esfera, que es el límite liso de una región convexa . A medida que el plano tangente rueda sobre $S$ , el punto de contacto traza una curva en $S$ . A la inversa, dada una curva en $S$ , el plano tangente puede rodarse a lo largo de esa curva. Esto proporciona una forma de identificar los planos tangentes en diferentes puntos a lo largo de la curva: en particular, un vector tangente en el espacio tangente en un punto de la curva se identifica con un vector tangente único en cualquier otro punto de la curva. Estas identificaciones siempre se dan mediante transformaciones afines de un plano tangente a otro.

Esta noción de transporte paralelo de vectores tangentes, por transformaciones afines, a lo largo de una curva tiene una característica: el punto de contacto del plano tangente con la superficie siempre se mueve con la curva bajo traslación paralela (es decir, a medida que el plano tangente rueda a lo largo de la superficie, el punto de contacto se mueve). Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan . En enfoques más modernos, el punto de contacto se considera como el origen en el plano tangente (que entonces es un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante una traslación, de modo que el transporte paralelo es lineal, en lugar de afín.

Sin embargo, desde el punto de vista de las conexiones de Cartan, los subespacios afines del espacio euclidiano son superficies modelo (son las superficies más simples del espacio tridimensional euclidiano y son homogéneas bajo el grupo afín del plano) y cada superficie lisa tiene una superficie modelo única tangente a ella en cada punto. Estas superficies modelo son geometrías de Klein en el sentido del programa de Erlangen de Felix Klein . De manera más general, un espacio afín $n -dimensional es una$ geometría de Klein para el grupo afín $Aff($ $n$ $)$ , siendo el estabilizador de un punto el grupo lineal general $GL($ $n$ $)$ . Una $n$ -variedad afín es entonces una variedad que se parece infinitesimalmente a un espacio afín $n$ -dimensional.

Motivación a partir del cálculo tensorial

La segunda motivación para las conexiones afines proviene de la noción de una derivada covariante de campos vectoriales. Antes de la llegada de los métodos independientes de las coordenadas, era necesario trabajar con campos vectoriales mediante la incorporación de sus respectivos vectores euclidianos en un atlas . Estos componentes se pueden diferenciar, pero las derivadas no se transforman de una manera manejable bajo cambios de coordenadas. ^{[ cita requerida ]} Los términos de corrección fueron introducidos por Elwin Bruno Christoffel (siguiendo las ideas de Bernhard Riemann ) en la década de 1870 para que la derivada (corregida) de un campo vectorial a lo largo de otro se transformara covariantemente bajo transformaciones de coordenadas; estos términos de corrección posteriormente llegaron a conocerse como símbolos de Christoffel .

Esta idea fue desarrollada en la teoría del cálculo diferencial absoluto (ahora conocido como cálculo tensorial ) por Gregorio Ricci-Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita entre 1880 y principios del siglo XX.

Sin embargo, el cálculo tensorial realmente cobró vida con la llegada de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein en 1915. Unos años después, Levi-Civita formalizó la conexión única asociada a una métrica de Riemann, ahora conocida como la conexión de Levi-Civita . Las conexiones afines más generales fueron estudiadas alrededor de 1920, por Hermann Weyl ^[5] , quien desarrolló una base matemática detallada para la relatividad general, y Élie Cartan ^[6], quien hizo el vínculo con las ideas geométricas provenientes de la teoría de superficies.

Aproches

La compleja historia ha llevado al desarrollo de enfoques muy variados y generalizaciones del concepto de conexión afín.

El enfoque más popular es probablemente la definición motivada por las derivadas covariantes. Por un lado, las ideas de Weyl fueron retomadas por los físicos en forma de teoría de gauge y derivadas covariantes de gauge . Por otro lado, la noción de diferenciación covariante fue abstraída por Jean-Louis Koszul , quien definió conexiones (lineales o de Koszul) en fibrados vectoriales . En este lenguaje, una conexión afín es simplemente una derivada covariante o una conexión (lineal) en el fibrado tangente .

Sin embargo, este enfoque no explica la geometría detrás de las conexiones afines ni cómo adquirieron su nombre. ^[c] El término realmente tiene sus orígenes en la identificación de espacios tangentes en el espacio euclidiano por traslación: esta propiedad significa que el $n$ -espacio euclidiano es un espacio afín . (Alternativamente, el espacio euclidiano es un espacio homogéneo principal o torsor bajo el grupo de traslaciones, que es un subgrupo del grupo afín). Como se mencionó en la introducción, hay varias formas de hacer esto preciso: uno usa el hecho de que una conexión afín define una noción de transporte paralelo de campos vectoriales a lo largo de una curva. Esto también define un transporte paralelo en el fibrado marco . El transporte paralelo infinitesimal en el fibrado marco produce otra descripción de una conexión afín, ya sea como una conexión de Cartan para el grupo afín $Aff(n)$ o como una conexión $GL(n)$ principal en el fibrado marco.

Definición formal como operador diferencial

Sea $M una$ variedad suave y sea $Γ(T M)$ el espacio de campos vectoriales en $M$ , es decir, el espacio de secciones suaves del fibrado tangente $T M$ . Entonces una conexión afín en $M$ es una función bilineal

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y )&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{alineado}}

tal que para todo $f$ en el conjunto de funciones suaves en $M$ , escrito $C \infty (M, R)$ , y todos los campos vectoriales $X, Y$ en $M$ :

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ , es decir, $\nabla$ es $C \infty (M, R)$ - lineal en la primera variable;
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ , donde $\partial X$ denota la derivada direccional ; es decir, $\nabla$ satisface la regla de Leibniz en la segunda variable.

Propiedades elementales

De la propiedad 1 anterior se desprende que el valor de $\nabla X Y$ en un punto $x \in M$ depende solo del valor de $X$ en $x$ y no del valor de $X$ en $M - {x}$ . También se desprende de la propiedad 2 anterior que el valor de $\nabla X Y$ en un punto $x \in M$ depende solo del valor de $Y$ en un entorno de $x$ .
Si $\nabla 1, \nabla 2$ son conexiones afines entonces el valor en $x$ de $\nabla 1 X Y - \nabla 2X Y$ puede escribirse $Γ x (X x, Y x)$ dondees bilineal y depende suavemente de $x$ (es decir, define un homomorfismo de fibrado suave ). Por el contrario, si $\nabla$ es una conexión afín y $Γ$ es un homomorfismo de fibrado bilineal suave (llamado forma de conexión en $M$ ), entonces $\nabla + Γ$ es una conexión afín. $\Gamma _{x}:\mathrm {T} _{x}M\times \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}M$
Si $M$ es un subconjunto abierto de $R n$ , entonces el fibrado tangente de $M$ es el fibrado trivial $M \times R n$ . En esta situación hay una conexión afín canónica $d$ en $M$ : cualquier campo vectorial $Y$ está dado por una función suavizada $V$ de $M$ a $R n$ ; entonces $d X Y$ es el campo vectorial correspondiente a la función suavizada $d V (X) = \partial X Y$ de $M$ a $R n$ . Por lo tanto, cualquier otra conexión afín $\nabla$ en $M$ puede escribirse $\nabla = d + Γ$ , donde $Γ$ es una forma de conexión en $M$ .
De manera más general, una trivialización local del fibrado tangente es un isomorfismo de fibrado entre la restricción de $T M$ a un subconjunto abierto $U$ de $M$ , y $U \times R n$ . La restricción de una conexión afín $\nabla$ a $U$ puede entonces escribirse en la forma $d + Γ$ donde $Γ$ es una forma de conexión en $U$ .

Transporte paralelo para conexiones afines

La comparación de vectores tangentes en diferentes puntos de una variedad no suele ser un proceso bien definido. Una conexión afín proporciona una forma de solucionar este problema utilizando la noción de transporte paralelo , y de hecho esto puede utilizarse para dar una definición de conexión afín.

Sea $M$ una variedad con una conexión afín $\nabla$ . Entonces se dice que un campo vectorial $X$ es paralelo si $\nabla X = 0$ en el sentido de que para cualquier campo vectorial $Y$ , $\nabla Y X = 0$ . Intuitivamente hablando, los vectores paralelos tienen todas sus derivadas iguales a cero y, por lo tanto, en cierto sentido, son constantes . Al evaluar un campo vectorial paralelo en dos puntos $x$ e $y$ , se obtiene una identificación entre un vector tangente en $x$ y uno en $y$ . Se dice que dichos vectores tangentes son transportes paralelos entre sí.

En general, no existen campos vectoriales paralelos no nulos, porque la ecuación $\nabla X = 0$ es una ecuación diferencial parcial sobredeterminada : la condición de integrabilidad para esta ecuación es la desaparición de la curvatura de $\nabla (véase más abajo). Sin embargo, si esta$ ecuación se restringe a una curva de $x$ a $y$ se convierte en una ecuación diferencial ordinaria . Existe entonces una solución única para cualquier valor inicial de $X$ en $x$ .

Más precisamente, si $γ : I \to M$ es una curva suave parametrizada por un intervalo $[a, b]$ y $ξ \in T x M$ , donde $x = γ (a)$ , entonces un campo vectorial $X$ a lo largo de $γ$ (y en particular, el valor de este campo vectorial en $y = γ (b)$ ) se denomina transporte paralelo de $ξ$ a lo largo de $γ$ si

$\nabla γ' (t) X = 0$ , para todo $t \in [a, b]$
$X γ (a) = ξ$ .

Formalmente, la primera condición significa que $X$ es paralela con respecto a la conexión de pullback en el fibrado de pullback $γ * T M$ . Sin embargo, en una trivialización local es un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , que tiene una solución única para cualquier condición inicial dada por la segunda condición (por ejemplo, por el teorema de Picard–Lindelöf ).

De este modo, el transporte paralelo proporciona una forma de mover vectores tangentes a lo largo de una curva utilizando la conexión afín para mantenerlos "apuntando en la misma dirección" en un sentido intuitivo, y esto proporciona un isomorfismo lineal entre los espacios tangentes en los dos extremos de la curva. El isomorfismo obtenido de esta manera dependerá en general de la elección de la curva: si no es así, entonces el transporte paralelo a lo largo de cada curva se puede utilizar para definir campos vectoriales paralelos en $M$ , lo que solo puede suceder si la curvatura de $\nabla$ es cero.

Un isomorfismo lineal está determinado por su acción sobre una base o marco ordenado . Por lo tanto, el transporte paralelo también puede caracterizarse como una forma de transportar elementos del fibrado de marco (tangente) $GL(M)$ a lo largo de una curva. En otras palabras, la conexión afín proporciona una elevación de cualquier curva $γ$ en $M$ a una curva $γ̃$ en $GL(M)$ .

Definición formal del conjunto de tramas

Una conexión afín también puede definirse como una conexión principal $GL(n)$ $ω$ en el fibrado $F M$ o $GL(M)$ de una variedad $M$ . En más detalle, $ω$ es una función suave del fibrado tangente $T(F M)$ del fibrado al espacio de matrices $n \times n$ (que es el álgebra de Lie $gl (n)$ del grupo de Lie $GL(n) de matrices$ $n \times n$ invertibles ) que satisface dos propiedades:

$ω$ es equivariante con respecto a la acción de $GL(n)$ sobre $T(F M)$ y $gl (n)$ ;
$ω (X ξ) = ξ$ para cualquier $ξ$ en $gl (n)$ , donde $X ξ$ es el campo vectorial en $F M$ correspondiente a $ξ$ .

Una conexión de este tipo $ω$ define inmediatamente una derivada covariante no sólo en el fibrado tangente, sino en fibrados vectoriales asociados a cualquier representación de grupo de $GL(n)$ , incluidos fibrados de tensores y densidades de tensores . Por el contrario, una conexión afín en el fibrado tangente determina una conexión afín en el fibrado de marco, por ejemplo, al requerir que $ω$ se anule en los vectores tangentes a los levantamientos de las curvas al fibrado de marco definido por el transporte paralelo.

El fibrado de marcos también viene equipado con una forma de soldadura $θ : T(F M) \to R n$ que es horizontal en el sentido de que se desvanece en vectores verticales tales como los valores puntuales de los campos vectoriales $X ξ$ : De hecho, $θ$ se define primero proyectando un vector tangente (a $F M$ en un marco $f$ ) a $M$ , luego tomando los componentes de este vector tangente en $M$ con respecto al marco $f$ . Nótese que $θ$ también es $GL(n)$ -equivariante (donde $GL(n)$ actúa sobre $R n$ por multiplicación de matrices).

El par $(θ, ω)$ define un isomorfismo de fibrado de $T(F M)$ con el fibrado trivial $F M \times aff (n)$ , donde $aff (n)$ es el producto cartesiano de $R n$ y $gl (n)$ (visto como el álgebra de Lie del grupo afín, que en realidad es un producto semidirecto – ver más abajo).

Conexiones afines como conexiones de Cartan

Las conexiones afines se pueden definir dentro del marco general de Cartan. ^[7] En el enfoque moderno, esto está estrechamente relacionado con la definición de conexiones afines en el fibrado de marcos. De hecho, en una formulación, una conexión de Cartan es un paralelismo absoluto de un fibrado principal que satisface propiedades adecuadas. Desde este punto de vista, la forma única $aff (n) -valuada$ $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ en el fibrado de marcos (de una variedad afín ) es una conexión de Cartan. Sin embargo, el enfoque original de Cartan era diferente de esto en varios aspectos:

El concepto de haces de trama o haces principales no existía;
Se consideró una conexión en términos de transporte paralelo entre puntos infinitesimalmente cercanos; ^[d]
Este transporte paralelo era afín, más que lineal;
Los objetos transportados no eran vectores tangentes en el sentido moderno, sino elementos de un espacio afín con un punto marcado, que la conexión de Cartan identifica en última instancia con el espacio tangente.

Explicaciones e intuición histórica

Los puntos que acabamos de plantear son más fáciles de explicar a la inversa, partiendo de la motivación proporcionada por la teoría de superficies. En esta situación, aunque los planos que ruedan sobre la superficie son planos tangentes en un sentido ingenuo, la noción de un espacio tangente es realmente una noción infinitesimal , ^[e] mientras que los planos, como subespacios afines de $R 3$ , son infinitos en extensión. Sin embargo, todos estos planos afines tienen un punto marcado, el punto de contacto con la superficie, y son tangentes a la superficie en este punto. Por lo tanto, la confusión surge porque un espacio afín con un punto marcado puede identificarse con su espacio tangente en ese punto. Sin embargo, el transporte paralelo definido por el rodamiento no fija este origen: es afín en lugar de lineal; el transporte paralelo lineal puede recuperarse aplicando una traslación.

Abstrayendo esta idea, una variedad afín debería ser, por lo tanto, una variedad $n$ - $M$ con un espacio afín $A x$ , de dimensión $n$ , unido a cada $x \in M$ en un punto marcado $a x \in A x$ , junto con un método para transportar elementos de estos espacios afines a lo largo de cualquier curva $C$ en $M$ . Este método es necesario para satisfacer varias propiedades:

para cualesquiera dos puntos $x, y$ en $C$ , el transporte paralelo es una transformación afín de $A x$ a $A y$ ;
El transporte paralelo se define infinitesimalmente en el sentido de que es diferenciable en cualquier punto de $C$ y depende únicamente del vector tangente a $C$ en ese punto;
La derivada del transporte paralelo en $x$ determina un isomorfismo lineal de $T x M$ a $T a x A x$ .

Estos dos últimos puntos son bastante difíciles de precisar, ^[9] por lo que las conexiones afines se definen más a menudo infinitesimalmente. Para motivar esto, basta con considerar cómo los marcos de referencia afines se transforman infinitesimalmente con respecto al transporte paralelo. (Este es el origen del método de Cartan de mover marcos ). Un marco afín en un punto consiste en una lista $(p, e 1,\dots e n)$ , donde $p \in A x$ ^[f] y los $e i$ forman una base de $T p (A x)$ . La conexión afín se da entonces simbólicamente por un sistema diferencial de primer orden

(*){\begin{casos}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf { e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _ {i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots,n

definida por una colección de formas unitarias $(θ j, ω yo yo)$ . Geométricamente, un marco afín sufre un desplazamiento que recorre una curva $γ$ desde $γ (t)$ hasta $γ (t + δt)$ dada (aproximadamente o infinitesimalmente) por

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\ derecha)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\mathrm {\delta } t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i) }^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{alineado}}

Además, se requiere que los espacios afines $A x$ sean tangentes a $M$ en el sentido informal de que el desplazamiento de $a x$ a lo largo de $γ$ se puede identificar (aproximadamente o infinitesimalmente) con el vector tangente $γ'(t)$ a $γ$ en $x = γ (t)$ (que es el desplazamiento infinitesimal de $x$ ). Dado que

a_{x}(\gamma (t+\delta t))-a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

donde $θ$ se define por $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ , esta identificación se da por $θ$ , por lo que el requisito es que $θ$ debe ser un isomorfismo lineal en cada punto.

El espacio afín tangencial $A x$ se identifica así intuitivamente con un entorno afín infinitesimal de $x$ .

El punto de vista moderno hace que toda esta intuición sea más precisa utilizando fibrados principales (la idea esencial es reemplazar un marco o un marco variable por el espacio de todos los marcos y funciones en este espacio). También se inspira en el programa de Erlangen de Felix Klein , ^[10] en el que una geometría se define como un espacio homogéneo . El espacio afín es una geometría en este sentido, y está equipado con una conexión plana de Cartan. Por lo tanto, una variedad afín general se considera como una deformación curva de la geometría del modelo plano del espacio afín.

El espacio afín como geometría del modelo plano

Definición de un espacio afín

De manera informal, un espacio afín es un espacio vectorial sin una elección fija de origen . Describe la geometría de puntos y vectores libres en el espacio. Como consecuencia de la falta de origen, los puntos en el espacio afín no se pueden sumar, ya que esto requiere una elección de origen con el que formar la ley del paralelogramo para la adición de vectores. Sin embargo, un vector $v$ se puede sumar a un punto $p$ colocando el punto inicial del vector en $p$ y luego transportando $p$ al punto terminal. La operación así descrita $p \to p + v$ es la traslación de $p$ a lo largo $de v . En términos técnicos, el$ $n$ -espacio afín es un conjunto $A n$ equipado con una acción transitiva libre del grupo vectorial $R n$ sobre él a través de esta operación de traslación de puntos: $A n$ es, por tanto, un espacio homogéneo principal para el grupo vectorial $R n$ .

El grupo lineal general $GL(n)$ es el grupo de transformaciones de $R n$ que preservan la estructura lineal de $R n$ en el sentido de que $T (av + bw) = aT (v) + bT (w)$ . Por analogía, el grupo afín $Aff(n)$ es el grupo de transformaciones de $A n$ que preservan la estructura afín . Por lo tanto $φ \in Aff(n)$ debe preservar las traslaciones en el sentido de que

\varphi (p+v)=\varphi (p)+T(v)

donde $T$ es una transformación lineal general. La función que envía $φ \in Aff(n)$ a $T \in GL(n)$ es un homomorfismo de grupo . Su núcleo es el grupo de traslaciones $R n$ . El estabilizador de cualquier punto $p$ en $A$ puede entonces identificarse con $GL(n)$ usando esta proyección: esto realiza el grupo afín como un producto semidirecto de $GL(n)$ y $R n$ , y el espacio afín como el espacio homogéneo $Aff(n)/GL(n)$ .

Marcos afines y conexión plana afín

Un marco afín para $A$ consiste en un punto $p \in A$ y una base $(e 1,\dots e n)$ del espacio vectorial $T p A = R n$ . El grupo lineal general $GL(n)$ actúa libremente sobre el conjunto $F A$ de todos los marcos afines fijando $p$ y transformando la base $(e 1,\dots e n)$ de la manera usual, y la función $π$ que envía un marco afín $(p; e 1,\dots e n)$ a $p$ es la función cociente . Por lo tanto $F A$ es un fibrado principal $GL(n)$ sobre $A$ . La acción de $GL(n)$ se extiende naturalmente a una acción transitiva libre del grupo afín $Aff(n)$ sobre $F A$ , de modo que $F A$ es un $Aff(n)$ - torsor , y la elección de un marco de referencia identifica $F A \to A$ con el fibrado principal $Aff(n) \to Aff(n)/GL(n)$ .

En $F A$ hay una colección de $n + 1$ funciones definidas por

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p

(como antes) y

\varepsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}\,.

Después de elegir un punto base para $A$ , todas estas son funciones con valores en $R n$ , por lo que es posible tomar sus derivadas externas para obtener 1-formas diferenciales con valores en $R n$ . Dado que las funciones $ε i$ producen una base para $R n$ en cada punto de $F A$ , estas 1-formas deben poder expresarse como sumas de la forma

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{aligned}}

para alguna colección $(θ i, ω kj ) 1 \leq i, j, k \leq n$ de formas-uno de valor real en $Aff(n)$ . Este sistema de formas-uno en el fibrado principal $F A \to A$ define la conexión afín en $A$ .

Tomando la derivada exterior una segunda vez, y utilizando el hecho de que $d 2 = 0$ así como la independencia lineal de $ε i$ , se obtienen las siguientes relaciones:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,.\end{aligned}}

Estas son las ecuaciones de Maurer-Cartan para el grupo de Lie $Aff(n)$ (identificado con $F A$ por la elección de un marco de referencia). Además:

El sistema pfaffiano $θ j = 0$ (para todo $j$ ) es integrable , y sus variedades integrales son las fibras del fibrado principal $Aff(n) \to A$ .
El sistema pfaffiano $ω yo yo = 0$ (para todo $i, j$ ) también es integrable, y sus variedades integrales definen el transporte paralelo en $F A$ .

Así las formas $(ω yo yo) define una$ conexión principal plana en $F A \to A$ .

Para una comparación estricta con la motivación, uno debería definir en realidad el transporte paralelo en un fibrado principal $Aff(n)$ sobre $A.$ Esto se puede hacer retirando $F A$ mediante la función suave $φ : R n \times A \to A$ definida por la traslación. Entonces el compuesto $φ' * F A \to F A \to A$ es un fibrado principal $Aff(n) sobre$ $A$ , y las formas $(θ i, ω kj )$ retroceda para dar una conexión principal plana $Aff(n)$ en este haz.

Geometrías afines generales: definiciones formales

Un espacio afín, como cualquier geometría de Klein suave , es una variedad equipada con una conexión de Cartan plana. Se obtienen fácilmente variedades afines o geometrías afines más generales eliminando la condición de planitud expresada por las ecuaciones de Maurer-Cartan. Hay varias formas de abordar la definición y se darán dos. Ambas definiciones se ven facilitadas por la comprensión de que las 1-formas $(θ i, ω kj )$ en el modelo plano se ajustan para dar una 1-forma con valores en el álgebra de Lie $aff (n)$ del grupo afín $Aff(n)$ .

En estas definiciones, $M$ es una variedad $n$ suave y $A = Aff(n)/GL(n)$ es un espacio afín de la misma dimensión.

Definición por paralelismo absoluto

Sea $M$ una variedad y $P$ un fibrado principal $GL(n) sobre$ $M$ . Entonces una conexión afín es una 1-forma $η$ sobre $P$ con valores en $aff (n)$ que satisfacen las siguientes propiedades

$η$ es equivariante con respecto a la acción de $GL(n)$ sobre $P$ y $aff (n)$ ;
$η (X ξ) = ξ$ para todo $ξ$ en el álgebra de Lie $gl (n)$ de todas $las matrices n \times n$ ;
$η$ es un isomorfismo lineal de cada espacio tangente de $P$ con $aff (n)$ .

La última condición significa que $η$ es un paralelismo absoluto en $P$ , es decir, identifica el fibrado tangente de $P$ con un fibrado trivial (en este caso $P \times aff (n)$ ). El par $(P, η)$ define la estructura de una geometría afín en $M$ , convirtiéndola en una variedad afín .

El álgebra de Lie afín $aff (n)$ se divide como un producto semidirecto de $R n$ y $gl (n)$ y, por lo tanto, $η$ puede escribirse como un par $(θ, ω)$ donde $θ$ toma valores en $R n$ y $ω$ toma valores en $gl (n)$ . Las condiciones 1 y 2 son equivalentes a que $ω$ sea una conexión principal $GL(n) y que$ $θ$ sea una 1-forma equivariante horizontal, lo que induce un homomorfismo de fibrado desde $T M$ hasta el fibrado asociado $P \times GL(n) R n$ . La condición 3 es equivalente al hecho de que este homomorfismo de fibrado es un isomorfismo. (Sin embargo, esta descomposición es una consecuencia de la estructura bastante especial del grupo afín.) Puesto que $P$ es el fibrado de $P \times GL(n) R n$ , se deduce que $θ$ proporciona un isomorfismo de fibrado entre $P$ y el fibrado de marco $F M$ de $M$ ; esto recupera la definición de una conexión afín como una conexión $GL(n) principal en$ $F M$ .

Las 1-formas que surgen en el modelo plano son solo los componentes de $θ$ y $ω$ .

Definición como conexión afín principal

Una conexión afín en $M$ es un fibrado principal $Aff(n)$ $Q$ sobre $M$ , junto con un subfibrado principal $GL(n)$ $P$ de $Q$ y una conexión principal $Aff(n)$ $α$ (una 1-forma en $Q$ con valores en $aff (n) ) que satisface la siguiente$ condición de Cartan (genérica) . El componente $R n$ del pullback de $α$ a $P$ es una 1-forma equivariante horizontal y, por lo tanto, define un homomorfismo de fibrado de $T M$ a $P \times GL(n) R n$ : se requiere que sea un isomorfismo.

Relación con la motivación

Como $Aff(n)$ actúa sobre $A$ , existe, asociado al fibrado principal $Q$ , un fibrado $A = Q \times Aff(n) A$ , que es un fibrado sobre $M$ cuya fibra en $x$ en $M$ es un espacio afín $A x$ . Una sección $a$ de $A$ (que define un punto marcado $a x$ en $A x$ para cada $x \in M$ ) determina un subfibrado principal $GL(n)$ $P$ de $Q$ (como el fibrado de estabilizadores de estos puntos marcados) y viceversa. La conexión principal $α$ define una conexión de Ehresmann sobre este fibrado, de ahí una noción de transporte paralelo. La condición de Cartan asegura que la sección distinguida $a$ siempre se mueve bajo transporte paralelo.

Otras propiedades

Curvatura y torsión

La curvatura y la torsión son las invariantes principales de una conexión afín. Así como existen muchas formas equivalentes de definir el concepto de conexión afín, también existen muchas formas diferentes de definir la curvatura y la torsión.

Desde el punto de vista de la conexión de Cartan, la curvatura es el fracaso de la conexión afín $η$ para satisfacer la ecuación de Maurer-Cartan.

\mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

donde el segundo término del lado izquierdo es el producto de cuña que utiliza el corchete de Lie en $aff (n)$ para contraer los valores. Al expandir $η$ en el par $(θ, ω)$ y usar la estructura del álgebra de Lie $aff (n)$ , este lado izquierdo se puede expandir en las dos fórmulas

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{y}}\quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

donde los productos de cuña se evalúan mediante la multiplicación de matrices. La primera expresión se denomina torsión de la conexión y la segunda también se denomina curvatura.

Estas expresiones son 2-formas diferenciales en el espacio total de un fibrado de marcos. Sin embargo, son horizontales y equivariantes, y por lo tanto definen objetos tensoriales. Se pueden definir directamente a partir de la derivada covariante inducida $\nabla$ en $T M$ de la siguiente manera.

La torsión viene dada por la fórmula

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

Si la torsión desaparece, se dice que la conexión está libre de torsión o es simétrica .

La curvatura viene dada por la fórmula

R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.

Nótese que $[X, Y]$ es el corchete de Lie de los campos vectoriales

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

en notación de Einstein . Esto es independiente de la elección del sistema de coordenadas y

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

el vector tangente en el punto $p$ de la i $ésima$ curva de coordenadas . Las $\partial i$ son una base natural para el espacio tangente en el punto $p$ , y las $X i$ las coordenadas correspondientes para el campo vectorial $X = X i \partial i$ .

Cuando tanto la curvatura como la torsión desaparecen, la conexión define una estructura de álgebra anterior a Lie en el espacio de secciones globales del fibrado tangente.

La conexión Levi-Civita

Si $(M, g)$ es una variedad riemanniana entonces existe una conexión afín única $\nabla$ en $M$ con las dos propiedades siguientes:

la conexión está libre de torsión, es decir, $T \nabla$ es cero, por lo que $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ ;
El transporte paralelo es una isometría, es decir, se conservan los productos internos (definidos mediante $g ) entre vectores tangentes.$

Esta conexión se llama conexión Levi-Civita .

El término "simétrico" se utiliza a menudo en lugar de libre de torsión para la primera propiedad. La segunda condición significa que la conexión es una conexión métrica en el sentido de que la métrica de Riemann $g$ es paralela: $\nabla g = 0$ . Para una conexión libre de torsión, la condición es equivalente a la identidad $X g (Y, Z)$ = $g (\nabla X Y, Z)$ + $g (Y, \nabla X Z)$ , "compatibilidad con la métrica". ^[11] En coordenadas locales, los componentes de la forma se denominan símbolos de Christoffel : debido a la unicidad de la conexión de Levi-Civita, existe una fórmula para estos componentes en términos de los componentes de $g$ .

Geodésicas

Dado que las líneas rectas son un concepto en geometría afín, las conexiones afines definen una noción generalizada de líneas rectas (parametrizadas) en cualquier variedad afín, llamadas geodésicas afines. De manera abstracta, una curva paramétrica $γ : I \to M$ es una línea recta si su vector tangente permanece paralelo y equipolento consigo mismo cuando se transporta a lo largo de $γ$ . Desde el punto de vista lineal, una conexión afín $M$ distingue a las geodésicas afines de la siguiente manera: una curva suave $γ : I \to M$ es una geodésica afín si se transporta en paralelo a lo largo de $γ$ , es decir ${\dot {\gamma }}$

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)

donde $τ calle : T γ s M \to T γ t M$ es el mapa de transporte paralelo que define la conexión.

En términos de la conexión infinitesimal $\nabla$ , la derivada de esta ecuación implica

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0

para todo $t \in I$ .

Por el contrario, cualquier solución de esta ecuación diferencial produce una curva cuyo vector tangente se transporta en paralelo a lo largo de la curva. Para cada $x \in M$ y cada $X \in T x M$ , existe una única geodésica afín $γ : I \to M$ con $γ (0) = x$ y $γ̇ (0) = X$ y donde $I$ es el intervalo abierto máximo en $R$ , que contiene 0, en el que se define la geodésica. Esto se desprende del teorema de Picard-Lindelöf , y permite la definición de una función exponencial asociada a la conexión afín.

En particular, cuando $M$ es una variedad ( pseudo- ) riemanniana y $\nabla$ es la conexión de Levi-Civita , entonces las geodésicas afines son las geodésicas usuales de la geometría riemanniana y son las curvas que minimizan la distancia localmente.

Las geodésicas definidas aquí se denominan a veces parametrizadas afínmente , ya que una línea recta dada en $M$ determina una curva paramétrica $γ$ a través de la línea hasta una elección de reparametrización afín $γ (t) \to γ (at + b)$ , donde $a$ y $b$ son constantes. El vector tangente a una geodésica afín es paralelo y equipolente a lo largo de sí mismo. Una geodésica no parametrizada, o una que es meramente paralela a lo largo de sí misma sin ser necesariamente equipolente, solo necesita satisfacer

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}

para alguna función $k$ definida a lo largo de $γ$ . Las geodésicas no parametrizadas se estudian a menudo desde el punto de vista de las conexiones proyectivas .

Desarrollo

Una conexión afín define una noción de desarrollo de curvas. Intuitivamente, el desarrollo captura la noción de que si $x t$ es una curva en $M$ , entonces el espacio tangente afín en $x 0$ puede rodarse a lo largo de la curva. Al hacerlo, el punto de contacto marcado entre el espacio tangente y la variedad traza una curva $C t$ en este espacio afín: el desarrollo de $x t$ .

En términos formales, sea $τ 0 % : T x t M \to T x 0 M$ es la función de transporte paralelo lineal asociada a la conexión afín. Entonces, el desarrollo $C t$ es la curva en $T x 0 M$ que comienza en 0 y es paralela a la tangente de $x t$ para todo el tiempo $t$ :

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

En particular, $x t$ es una geodésica si y sólo si su desarrollo es una línea recta afínmente parametrizada en $T x 0 M$ . ^[12]

La teoría de superficies revisada

Si $M$ es una superficie en $R 3$ , es fácil ver que $M$ tiene una conexión afín natural. Desde el punto de vista de la conexión lineal, la derivada covariante de un campo vectorial se define diferenciando el campo vectorial, visto como una función de $M$ a $R 3$ , y luego proyectando el resultado ortogonalmente de nuevo sobre los espacios tangentes de $M$ . Es fácil ver que esta conexión afín está libre de torsión. Además, es una conexión métrica con respecto a la métrica de Riemann en $M$ inducida por el producto interno en $R 3$ , por lo tanto, es la conexión de Levi-Civita de esta métrica.

Ejemplo: la esfera unitaria en el espacio euclidiano

Sea $⟨ , ⟩ el$ producto escalar usual sobre $R 3$ , y sea $S 2$ la esfera unitaria. El espacio tangente a $S 2$ en un punto $x$ se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de $R 3$ que consiste en todos los vectores ortogonales a $x$ . De ello se deduce que un campo vectorial $Y$ sobre $S 2$ puede verse como una función $Y : S 2 \to R 3$ que satisface

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

Denotemos como $d Y$ la diferencial (matriz jacobiana) de dicha función. Entonces tenemos:

Lema . La fórmula

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

define una conexión afín en

S 2

con torsión que desaparece.

Demostración . Es sencillo demostrar que

\nabla

satisface la identidad de Leibniz y es

C \infty (S 2)

lineal en la primera variable. Por lo tanto, todo lo que se necesita demostrar aquí es que la función anterior efectivamente define un campo de vectores tangentes. Es decir, necesitamos demostrar que para todo

x

S 2

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

Considere el mapa

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

La función f es constante, por lo tanto su diferencial se anula. En particular

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

La ecuación 1 anterior es la siguiente: QED

Véase también

Notas

^ Una conexión lineal también se denomina con frecuencia conexión afín o simplemente conexión , ^[1] por lo que no hay acuerdo sobre las definiciones precisas de estos términos (John M. Lee simplemente la llama conexión ). ^[2]
^ Cartan explica que tomó prestado este término (es decir, "conexión afín") del libro de H. Weyl y se refirió a él ( Espacio-Tiempo-Materia ), aunque lo utilizó en un contexto más general. ^[4]
^ Como resultado, muchos matemáticos usan el término conexión lineal (en lugar de conexión afín ) para una conexión en el fibrado tangente, con el argumento de que el transporte paralelo es lineal y no afín. Sin embargo, la misma propiedad se cumple para cualquier conexión (Koszul o Ehresmann lineal) en un fibrado vectorial . Originalmente, el término conexión afín es la abreviatura de una conexión afín en el sentido de Cartan, y esto implica que la conexión se define en el fibrado tangente, en lugar de en un fibrado vectorial arbitrario. La noción de una conexión lineal de Cartan realmente no tiene mucho sentido, porque las representaciones lineales no son transitivas.
^ Es difícil hacer precisa la intuición de Cartan sin invocar un análisis infinitesimal suave , pero una forma de hacerlo es considerar que sus puntos son variables , es decir, mapas de algún espacio de parámetros invisible en la variedad, que luego puede diferenciarse.
^ Clásicamente, el espacio tangente se consideraba una aproximación infinitesimal, mientras que en la geometría diferencial moderna, los espacios tangentes a menudo se definen en términos de objetos diferenciales como las derivaciones. ^[8]
^ Esto puede verse como una elección de origen: en realidad basta considerar sólo el caso $p = a x$ ; Cartan implícitamente identifica esto con $x$ en $M$ .

Citas

^ Lee 1997, pág. 51.
^ Lee 2018, pág. 91.
^ Lee 2018, pág. 88, Conexiones.
^ Akivis y Rosenfeld 1993, pág. 213.
^ Weyl 1918, 5 ediciones hasta 1922.
^ Cartan 1923.
^ Cartan 1926.
^ Kobayashi y Nomizu 1996, volumen 1, secciones 1.1–1.2
^ Para más detalles, véase Lumiste (2001b). El siguiente tratamiento intuitivo es el de Cartan (1923) y Cartan (1926).
^ Cf. R. Hermann (1983), Apéndice 1–3 de Cartan (1951), y también Sharpe (1997).
^ Kobayashi y Nomizu 1996, pág. 160, vol. I
^ Este tratamiento del desarrollo es de Kobayashi y Nomizu (1996, Volumen 1, Proposición III.3.1); véase la sección III.3 para un tratamiento más geométrico. Véase también Sharpe (1997) para un análisis exhaustivo del desarrollo en otras situaciones geométricas.

Referencias

Akivis, MA; Rosenfeld, Boris (1993). Élie Cartan (1869–1951). Traducido por Goldberg, VV AMS . ISBN 978-0-8218-5355-9.
Lee, John M. (1997). Variedades de Riemann: Introducción a la curvatura . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 176. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-98322-6.OCLC 54850593 .
Lee, John M. (2018). Introducción a las variedades de Riemann. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 176 (2.ª ed.). Springer Verlag . doi :10.1007/978-3-319-91755-9. ISBN. 978-3-319-91755-9.

Bibliografía

Referencias históricas primarias

Christoffel, Elwin Bruno (1869), "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1869 (70): 46–70, doi :10.1515/crll.1869.70.46, S2CID 122999847
Levi-Civita, Tullio (1917), "Nozione di paralelismo in una varietà qualunque e conseguente specazione geometrica della curvatura Riemanniana", Rend. Circo. Estera. Palermo , 42 : 173–205, doi : 10.1007/bf03014898, S2CID 122088291
Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/ asens.753
Cartan, Élie (1986), Sobre variedades con conexión afín y la teoría de la relatividad general , Humanities Press

El tratamiento que Cartan hace de las conexiones afines, motivado por el estudio de la teoría de la relatividad. Incluye un análisis detallado de la física de los marcos de referencia y de cómo la conexión refleja la noción física de transporte a lo largo de una línea de tiempo .

Cartan, Élie (1926), "Espaces à connexion affine, projective et conforme", Acta Math. , 48 : 1–42, doi : 10.1007/BF02629755

Una explicación más motivada matemáticamente de las conexiones afines.

Cartan, Élie (1951), con apéndices de Robert Hermann (ed.), Geometry of Riemannian Spaces (traducción de James Glazebrook de Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2.ª ed.), Math Sci Press, Massachusetts (publicado en 1983) , ISBN 978-0-915692-34-7.

Conexiones afines desde el punto de vista de la geometría de Riemann . En los apéndices de Robert Hermann se analiza la motivación de la teoría de superficies, así como la noción de conexiones afines en el sentido moderno de Koszul. Se desarrollan las propiedades básicas del operador diferencial ∇ y se relacionan con las conexiones afines clásicas en el sentido de Cartan.

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 ediciones hasta 1922, con notas de Jürgen Ehlers (1980), traducido 4.ª edición Space, Time, Matter por Henry Brose, 1922 (Methuen, reimpreso 1952 por Dover) ed.), Springer, Berlín, ISBN 0-486-60267-2

Referencias secundarias

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial, vols. 1 y 2 (nueva edición), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

Esta es la referencia principal para los detalles técnicos del artículo. El Volumen 1, capítulo III, ofrece una explicación detallada de las conexiones afines desde la perspectiva de los fibrados principales en una variedad, el transporte paralelo, el desarrollo, las geodésicas y los operadores diferenciales asociados. El Volumen 1, capítulo VI, ofrece una explicación de las transformaciones afines, la torsión y la teoría general de la geodesia afín. El Volumen 2 ofrece una serie de aplicaciones de las conexiones afines a espacios homogéneos y variedades complejas , así como a otros temas variados.

Lumiste, Ülo (2001a) [1994], "Affine connection", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , ISBN 978-1-55608-010-4.
Lumiste, Ülo (2001b) [1994], "Conexiones en una variedad", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , ISBN 978-1-55608-010-4.

Dos artículos de Lumiste que dan condiciones precisas sobre los mapas de transporte paralelo para que definan conexiones afines. También tratan la curvatura, la torsión y otros temas estándar desde una perspectiva clásica (no de fibrado principal).

Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.

En este artículo se completan algunos de los detalles históricos y se ofrece una explicación más sencilla y fácil de entender de las conexiones de Cartan en general. El Apéndice A aclara la relación entre los puntos de vista de la conexión principal y el paralelismo absoluto. El Apéndice B cierra la brecha entre el modelo clásico de "rodamiento" de conexiones afines y el modelo moderno basado en haces principales y operadores diferenciales.