Uniforma (geometría diferencial)

Forma diferencial de grado uno o sección de un paquete cotangente

En geometría diferencial , una forma única en una variedad diferenciable es una sección suave del haz cotangente . ^[1] De manera equivalente, una forma única en una variedad es un mapeo suave del espacio total del haz tangente de cuya restricción a cada fibra es un funcional lineal en el espacio tangente. ^[2] Simbólicamente, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },}$$

${\displaystyle \alpha _{x}}$

A menudo, las formas únicas se describen localmente , particularmente en coordenadas locales . En un sistema de coordenadas local, una forma única es una combinación lineal de los diferenciales de las coordenadas:

$${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$

covariantecampo tensorial ${\displaystyle f_{i}}$

Ejemplos

La forma unidimensional diferencial no trivial más básica es la forma de "cambio de ángulo". Esta se define como la derivada de la "función" del ángulo (que sólo se define hasta una constante aditiva), que se puede definir explícitamente en términos de la función atan2 . Al tomar la derivada se obtiene la siguiente fórmula para la derivada total : ${\displaystyle d\theta .}$ ${\displaystyle \theta (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$

los cambiosnúmero de devanados ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2\pi .}$

En el lenguaje de la geometría diferencial , esta derivada es una forma única y es cerrada (su derivada es cero) pero no exacta (no es la derivada de una forma 0, es decir, una función), y de hecho genera la primera cohomología de De Rham del plano perforado . Este es el ejemplo más básico de tal forma y es fundamental en geometría diferencial.

Diferencial de una función

Let ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ be open (for example, an interval ${\displaystyle (a,b)}$), and consider a differentiable function ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$ with derivative ${\displaystyle f'.}$ The differential ${\displaystyle df}$ of ${\displaystyle f,}$ at a point ${\displaystyle x_{0}\in U,}$ is defined as a certain linear map of the variable ${\displaystyle dx.}$ Specifically, ${\displaystyle df(x_{0},\cdot ):dx\mapsto f'(x_{0})dx.}$ (The meaning of the symbol ${\displaystyle dx}$ is thus revealed: it is simply an argument, or independent variable, of the linear function ${\displaystyle df(x_{0},\cdot ).}$) Hence the map ${\displaystyle x\mapsto df(x)}$ sends each point ${\displaystyle x}$ to a linear functional ${\displaystyle df(x,\cdot ).}$ This is the simplest example of a differential (one-)form.

In terms of the de Rham cochain complex, one has an assignment from zero-forms (scalar functions) to one-forms; that is, ${\displaystyle f\mapsto df.}$

See also

• Differential form – Expression that may be integrated over a region
• Inner product – Generalization of the dot product; used to define Hilbert spacesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Reciprocal lattice – Fourier transform of a real-space lattice, important in solid-state physics
• Tensor – Algebraic object with geometric applications

References

1. "2 Introducing Differential Geometry‣ General Relativity by David Tong". www.damtp.cam.ac.uk. Retrieved 2022-10-04.
2. McInerney, Andrew (2013-07-09). First Steps in Differential Geometry: Riemannian, Contact, Symplectic. Springer Science & Business Media. pp. 136–155. ISBN 978-1-4614-7732-7.